九年级上数学期末考试试卷(2)

　　A.1 B.3 C.5 D.7

　　【考点】二次函数图象与系数的关系.

　　【专题】数形结合.

　　【分析】先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点.若a<0，010﹣h，然后解不等式后进行判断.

　　【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，

　　而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，

　　∴h﹣0>10﹣h，解得h>5.

　　故选D.

　　【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0，c);抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

　　二、填空题：每小题3分，共24分.

　　11.已知点M(3，﹣4)与点N关于原点O对称，点N的坐标为　(﹣3，4)　.

　　【考点】关于原点对称的点的坐标.

　　【分析】根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答案.

　　【解答】解：∵3的相反数是﹣3，﹣4的相反数是4，

　　∴点M(3，﹣4)关于原点的对称点的坐标为 (﹣3，4)，

　　故答案为：(﹣3，4).

　　【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a的相反数为﹣a.

　　12.在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是　4π　.

　　【考点】弧长的计算.

　　【分析】根据弧长公式列式计算即可.

　　【解答】解：在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是：

　　=4π，

　　故答案为4π.

　　【点评】本题主要考查了弧长公式：l= (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R).注意：①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

　　13.已知⊙O的半径为5cm，弦CD=6cm，则圆心O到弦CD的距离是　4　cm.

　　【考点】垂径定理;勾股定理.

　　【分析】根据题意画出图形，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，先根据垂径定理求出CE的长，再由勾股定理求出OE的长即可.

　　【解答】解：如图所示，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，

　　∵弦CD=6cm，OC=5cm，

　　∴CE= CD=3cm，

　　∴OE= = =4cm.

　　故答案为：4.

　　【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

　　14.某市为响应国家“厉行节约，反对浪费”号召，减少了对办公经费的投入.2014年投入3000万元预计2016年投入2430万元，则该市办公经费的年平均下降率为　10%　.

　　【考点】一元二次方程的应用.

　　【专题】增长率问题.

　　【分析】等量关系为：2014年的投入资金×(1﹣增长率)2=2016年的投入资金，把相关数值代入计算求得合适解即可.

　　【解答】解：设该市办公经费的年平均下降率为x，依题意有

　　3000×(1﹣x)2=2430，

　　解得(1﹣x)2=0.81，

　　∵1﹣x>0，

　　∴1﹣x=0.9，

　　∴x=10%.

　　答：该市办公经费的年平均下降率为10%.

　　故答案为：10%.

　　【点评】考查一元二次方程的应用;求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.

　　15.二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为　3　.

　　【考点】二次函数综合题;二次函数图象上点的坐标特征.

　　【分析】由二次函数y=x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了.

　　【解答】解：由表达式y=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3)，

　　则与x轴坐标为：A(1，0)，B(3，0)，

　　令x=0，得y=3，即C(0，3)

　　∴△ABC的面积为： .

　　【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了.

　　16.在同一平面上⊙O外一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为2cm，则⊙O的半径为　2.5　cm.

　　【考点】点与圆的位置关系.

　　【分析】画出图形，根据图形和题意得出PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径.

　　【解答】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，

　　∵圆外一点P到⊙O的最长距离为7cm，最短距离为2cm，

　　∴圆的直径是7﹣2=5(cm)，

　　∴圆的半径是2.5cm.

　　故答案为：2.5.

　　【点评】本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线PO(O为圆心)，交⊙O于A、B两点，则得出P到⊙O的最长距离是PA长，最短距离是PB的长.

　　17.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　2　.

　　【考点】反比例函数系数k的几何意义.

　　【专题】压轴题.

　　【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断.

　　【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，

　　∵点A在双曲线 上，

　　∴四边形AEOD的面积为1，

　　∵点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，

　　∴四边形BEOC的面积为3，

　　∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2.

　　故答案为：2.

　　【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.

　　18.如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB，BC交于点D，E.连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　( ， )　.

　　【考点】相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征.

　　【分析】首先设点D的坐标是(m， )，点E的坐标是(n， )，应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少;然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3;最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少.

　　【解答】解：如图1，

　　∵点D、E是反比例函数y= (x>0)的图象上的点，

　　∴设点D的坐标是(m， )，点E的坐标是(n， )，

　　又∵∠BCA=90°，AC=BC=2 ，

　　∴C(n，0)，B(n，2 )，A(n﹣2 ，0)，

　　设直线AB的解析式是：y=ax+b，

　　则

　　解得

　　∴直线AB的解析式是：y=x+2 ﹣n.

　　又∵△BDE∽△BCA，

　　∴∠BDE=∠BCA=90°，

　　∴直线y=x与直线DE垂直，

　　∴点D、E关于直线y=x对称，

　　∴ = ，

　　∴mn=3，或m+n=0(舍去)，

　　又∵点D在直线AB上，

　　∴ =m+2 ﹣n，mn=3，

　　整理，可得

　　2n2﹣2 n﹣3=0，

　　解得n= 或n=﹣ (舍去)，

　　∴点E的坐标是( ， ).

　　故答案为：( ， ).

　　【点评】(1)此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

　　(2)此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k;②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称;③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

　　三、解答题：共66分.

　　19.解方程：

　　(1)x2+6x﹣16=0

　　(2)x2+1=2 x.

　　【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

　　【分析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.

　　【解答】解：(1)x2+6x﹣16=0，

　　(x﹣2)(x+8)=0

　　x﹣2=0，x+8=0，

　　x1=2，x2=﹣8;

　　(2)x2+1=2 x，

　　x2﹣2 x+1=0

　　b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×1×1=16，

　　x= ，

　　x1= +2，x2= ﹣2.

　　【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.

　　20.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)现在已备足可以砌50m的墙的材料，使矩形花园的面积为300m2，试求BC的长.

　　【考点】一元二次方程的应用.

　　【专题】几何图形问题.

　　【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=(50﹣2x)米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.

　　【解答】解：设BC的长为xm，根据题意，得

　　(50﹣x)x=300，

　　解方程，得x=20，x=30(不合题意，舍去).

　　所以，BC的长为20m.

　　答：BC的长为20m.

　　【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据.

　　21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC延长线上.

　　(1)求证：AD是⊙O的切线;

　　(2)若AB=3，∠B=30°，求∠D的长.

　　【考点】切线的判定.

　　【专题】证明题.

　　【分析】(1)连接OA，如图，由0A=OB得到∠2=∠B，根据圆周角定理，由BC是⊙O的直径得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，则∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根据切线的判定定理可得到AD是⊙O的切线;

　　(2)在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC= AB= ，然后证明△ACD为等腰三角形即可得到CD的长.

　　【解答】(1)证明：连接OA，如图，

　　∵0A=OB，

　　∴∠2=∠B，

　　∵BC是⊙O的直径，

　　∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，

　　∵∠CAD=∠B，

　　∴∠2=∠CAD，

　　∴∠CAD+∠1=90°，

　　∴OA⊥AD，

　　∴AD是⊙O的切线;

　　(2)解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，

　　∴AC= AB= ×3= ，

　　∵∠ACB=90°﹣∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，

　　∴∠D=30°，

　　∴CD=CA= .

　　【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.

　　22.在一个口袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”“丽”、“黄”、“石”的文字.

　　(1)先从袋摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是写有“美丽”二字的概率;

　　(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球.求两次摸出的球上写有“黄石”二字的概率.

　　【考点】列表法与树状图法.

　　【分析】(1)画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解;

　　(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上写有“黄石”二字的结果数，然后根据概率公式求解.

　　【解答】解：

　　用1、2、3、4别表示美、丽、黄、石，

　　(1)画树形图如下，

　　由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，

　　∴P(美丽)= = ;

　　(2)画树状图如下，

　　由树状图可知，所有等可能的情况有12种，其中出现“3，4”的情况有2种，

　　∴P(黄石)= = .

　　【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

　　23.已知抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A(﹣1，3)，B(3，3)

　　(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;

　　(2)若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围.

　　【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.

　　【专题】计算题.

　　【分析】(1)直接把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线C1的解析式，再把解析式配成顶点式可的抛物线的顶点坐标;

　　(2)由于AB∥x轴，把A、B两点坐标代入y=ax2可计算出对应的a的值，然后根据抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点可确定a的范围.

　　【解答】解：(1)将A(﹣1，3)、B(3，3)代入y=x+bx+c得 ，解得b=﹣2，c=0，

　　所以抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x;

　　∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1

　　∴抛物线C1的顶点坐标为(1，﹣1);

　　(2)当抛物线C2恰好经过A点时，将A(﹣1，3)代入y=ax2得a=3，

　　当抛物线C2恰好过经过B点，将B(3，3)代入y=ax2得9a=3，解得a= ，

　　所以a的取值范围为 ≤a<3.

　　【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.

　　24.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

　　时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90

　　售价(元/件) x+40 90

　　每天销量(件) 200﹣2x

　　已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

　　(1)求出y与x的函数关系式;

　　(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?

　　(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

　　【考点】二次函数的应用.

　　【专题】销售问题.

　　【分析】(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案;

　　(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案;

　　(3)根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案.

　　【解答】解：(1)当1≤x<50时，y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，

　　当50≤x≤90时，

　　y=(90﹣30)=﹣120x+12000，

　　综上所述：y= ;

　　(2)当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，

　　当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，

　　当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

　　当x=50时，y最大=6000，

　　综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元;

　　(3)当1≤x<50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，

　　因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50，共30天;

　　当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，

　　因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，

　　所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元.

　　【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值.

　　25.已知∠ACD=90°，MN是过A点的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，连接BC.

　　(1)如图1，将△BCD绕点C逆时针方向旋转90°得到△ECA.

　　①求证：点E在直线MN上;

　　②猜想线段AB、BD、CB满足怎样的数量关系，并证明你的猜想.

　　(2)当MN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段AB、BD、CB又满足怎样的数列关系，并证明你的猜想.

　　【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

　　【分析】(1)①由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋转的性质得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出结论;

　　②证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出BE= BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出结论;

　　(2)过点C作CE⊥CB与MN交于点E，则∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，证出∠CAE=∠CDB，由ASA证明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出EB= BC，即可得出结论.

　　【解答】(1)①证明：∵DB⊥MN，

　　∴∠ABD=90°，在四边形ACDB中，

　　∵∠ACD=90°，

　　∴∠ACD+∠ABD=180°，

　　∴∠CAB+∠CDB=180°，

　　由旋转的性质得：△ECA≌△BCD，

　　∴∠EAC=∠BDC，

　　∴∠CAB+∠EAC=180°，

　　∴点E在直线MN上;

　　②解：AB+BD= BC，理由如下：

　　∵∠ACD=90°，

　　∴∠ACB+∠BCD=90°，

　　由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，

　　∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，

　　∴△ECB为等腰直角三角形，

　　∴BE= BC，

　　∵BE=AE+AB，

　　由①知AE=BD，

　　∴AB+BD= BC;

　　(2)解：AB﹣BD= BC，理由如下：

　　过点C作CE⊥CB与MN交于点E，如图2所示：

　　则∠ECB=90°，

　　∵∠ACD=90°，

　　∴∠ACE=∠DCB，

　　∵DB⊥AB，

　　∴∠CAE=∠CDB，

　　在△ACE和△DCB中， ，

　　∴△ACE≌△DCB(ASA)，

　　∴AE=DB，EC=BC，

　　∴EB=AB﹣AE=AB﹣DB，△ECB为等腰直角三角形，

　　∴EB= BC，

　　∴AB﹣BD= BC.

　　【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四边形内角和定理、勾股定理等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

　　26.如图，在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合.点A、C分别在坐标轴上，反比例函数y= (k>0)的图象与AB、BC分别交于点E、F(E、F不与B点重合)，连接OE，OF.

　　(1)若B点的坐标为(4，2)，且E为AB的中点.

　　①求四边形BEOF的面积.

　　②求证：F为BC的中点.

　　(2)猜想 与 的大小关系，并证明你的猜想.

　　【考点】反比例函数综合题.

　　【专题】综合题;反比例函数及其应用.

　　【分析】(1)①由B的坐标得到AB与BC的长，进而求出矩形OCBA的面积，由B坐标，根据E为AB中点，求出E坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AEO与三角形OCF的面积，由矩形ABCO面积﹣三角形AOE面积﹣三角形OCF面积=四边形BEOF面积，求出即可;②连接OB，由矩形面积求出三角形OBC面积，由三角形OCF面积得到三角形OBC面积为三角形OCF面积的2倍，而两三角形高相同，故底BC=2CF，即F为中点，得知;

　　(2) = ，理由为：设B点坐标为(a，b)(a>0，b>0)，表示出A，C，E，F坐标，进而表示出AE，BE，CF，BF，分别求出 与 的值，验证即可.

　　【解答】解：(1)①∵B点的坐标为(4，2)，

　　∴S矩形OCBA=4×2=8，

　　∵E为AB的中点，

　　∴E点的坐标为(2，2)，

　　∵点E、F在双曲线上，

　　∴k=4，

　　∴S△AEO=S△FCO= k=2，

　　∴S四边形BE0F=S矩形ABCO﹣S△AEO﹣S△OFC=8﹣2﹣2=4;

　　②连接OB，

　　易知S△OBC= S矩形ABCO=4，

　　∵S△OFC=2，

　　∴S△OBC=2S△OFC，

　　∵S△OCF= S△OBC，

　　∴BC=2FC，

　　∴F为BC的中点;

　　(2) = ，理由为：

　　设B点坐标为(a，b)(a>0，b>0)，

　　则点A(0，b)，C(a，0)，E( ，b)，F(a， )，

　　∴AE=| |，BE=|a﹣ |=| |，CF=| |，BF=|b﹣ |=| |，

　　∴ = =| |， = =| |，

　　则 = .

　　【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数k的几何意义，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.

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