2017初三数学上期末考试卷及答案(2)
2017初三数学上期末考试卷及答案
2017初三数学上期末考试卷参考答案
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
1.如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果 ，AC=6，那么AE的长为( )
A.3 B.4 C.9 D.12
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ，又AC=6，
∴AE=4，
故选：B.
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用定理、找准对应关系是解题的关键.
2.下列说法正确的是( )
A.一个游戏中奖的概率是 ，则做100次这样的游戏一定会中奖
B.为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
C.一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D.若甲组数据的方差S甲2=0.2，乙组数据的方差S乙2=0.5，则乙组数据比甲组数据稳定
【考点】概率的意义;全面调查与抽样调查;中位数;众数;方差.
【分析】根据概率、方差、众数、中位数的定义对各选项进行判断即可.
【解答】A、一个游戏中奖的概率是 ，则做100次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错误，故本选项错误;
B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故本选项错误;
C、这组数据的众数是1，中位数是1，故本选项正确;
D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误;
故选C.
【点评】本题考查了概率、方差、众数、中位数等知识，属于基础题，掌握各知识点是解题的关键.
3.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是( )
A.36(1﹣x)2=36﹣25 B.36(1﹣2x)=25 C.36(1﹣x)2=25 D.36(1﹣x2)=25
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】增长率问题.
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=25，把相应数值代入即可求解.
【解答】解：第一次降价后的价格为36×(1﹣x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为36×(1﹣x)×(1﹣x)，
则列出的方程是36×(1﹣x)2=25.
故选：C.
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为( )
A.4 B.2 C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据cosB= ，可得 = ，再把AB的长代入可以计算出CB的长.
【解答】解：∵cosB= ，
∴ = ，
∵AB=6，
∴CB= ×6=4，
故选：A.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦.
5.两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比为( )
A.1： B.2：1 C.1：4 D.1：2
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可.
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长比为1：2.
故选：D.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键.
6.已知二次函数y=﹣(x+h)2，当x<﹣3时，y随x的增大而增大，当x>﹣3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值为( )
A.﹣1 B.﹣9 C.1 D.9
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=﹣3，进而可得h的值，从而可得函数解析式y=﹣(x﹣3)2，再把x=0代入函数解析式可得y的值.
【解答】解：由题意得：二次函数y=﹣(x+h)2的对称轴为x=﹣3，
故h=﹣3，
把h=﹣3代入二次函数y=﹣(x+h)2可得y=﹣(x﹣3)2，
当x=0时，y=﹣9，
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式y=a(x﹣h)2+k，对称轴为x=h.
7.如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于( )
A.20° B.30° C.35° D.70°
【考点】圆周角定理;垂径定理.
【专题】计算题.
【分析】先根据垂径定理得到 = ，然后根据圆周角定理得∠BAD= ∠BOC=35°.
【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，
∴ = ，
∴∠BAD= ∠BOC= ×70°=35°.
故选C.
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.
8.小明为了研究关于x的方程x2﹣|x|﹣k=0的根的个数问题，先将该等式转化为x2=|x|+k，再分别画出函数y=x2的图象与函数y=|x|+k的图象(如图)，当方程有且只有四个根时，k的取值范围是( )
A.k>0 B.﹣
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】直接利用根的判别式，进而结合函数图象得出k的取值范围.
【解答】解：当x>0时，y=x+k，y=x2，
则x2﹣x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
当x<0时，y=﹣x+k，y=x2，
则x2+x﹣k=0，
b2﹣4ac=1+4k>0，
解得：k>﹣ ，
如图所示一次函数一部分要与二次函数有两个交点，则k<0，
故k的取值范围是：﹣
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合应用，正确利用数形结合得出是解题关键.
二、填空题(本题共有10小题，每小题3分，共30分)
9.已知 = ，则 = ﹣ .
【考点】比例的性质.
【专题】计算题.
【分析】直接利用分比性质计算即可.
【解答】解：∵ = ，
∴ = =﹣ .
故答案为﹣ .
【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.
10.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 4 .
【考点】圆锥的计算;勾股定理.
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高.
【解答】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圆锥的高= =4.
【点评】用到的知识点为：圆锥侧面积的求法;圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形.
11.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的根，则k的值为 k>﹣3 .
【考点】根的判别式.
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.
【解答】解：由题意知，△=12+4k>0，
解得：k>﹣3.
故答案为：k>﹣3.
【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
12.小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，完飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域的概率是 .
【考点】中心对称图形;平行四边形的性质.
【分析】先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可.
【解答】解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，
根据平行线的性质可得S1=S2，
则阴影部分的面积占 ，
则飞镖落在阴影区域的概率是 .
故答案为： .
【点评】此题主要考查了几何概率，以及中心对称图形，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比.
13.过圆O内一点P的最长的弦，最短弦的长度分别是8cm，6cm，则OP= cm .
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm;最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦;根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长.
【解答】解：如图所示，直径AB⊥弦CD于点P，
根据题意，得AB=8cm，CD=6cm，OC= AB=4cm，
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根据勾股定理，得OP= = = (cm)，
故答案为： cm.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理得出CP= CD是解此题的关键.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°，中线AD，CE相交于G，且CG=3，则AB= 9 .
【考点】三角形的重心;直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据重心的概念得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质求出GE，得到CE，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【解答】解：∵中线AD，CE相交于G，
∴点G是△ABC的重心，
∴GE= CG=1.5，
∴CE=CG+GE=4.5，
∵∠C=90°，CE是中线，
∴AB=2CE=9.
故答案为：9.
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
15.若函数y=mx2﹣6x+2的图象与x轴只有一个公共点，则m= 0或 .
【考点】抛物线与x轴的交点.
【专题】计算题;分类讨论.
【分析】根据函数y=mx2﹣6x+2的图象与x轴只有一个公共点，函数y=mx2﹣6x+2为一次函数或二次函数，若为一次函数则m=0，若为二次函数则(﹣6)2﹣4×2m=0，从而求得m的值.
【解答】解：分两种情况：
①若y=mx2﹣6x+2为一次函数，则m=0;
②若y=mx2﹣6x+2为二次函数，则(﹣6)2﹣4×2m=0，
∴36﹣8m=0，解得m= ，
故答案为0或 .
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，当不确定是什么函数时，要分类讨论.
16.已知(﹣3，m)、(1，m)是抛物线y=2x2+bx+3的两点，则b= 4 .
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】由于两点(﹣3，m)、(1，m)的纵坐标相等，可得到它们是抛物线上的对称点，于是得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，再根据二次函数的性质得到﹣ =﹣1，然后解方程即可.
【解答】解：∵(﹣3，m)、(1，m)是抛物线y=2x2+bx+3的两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
而抛物线的对称轴为直线=﹣ ，
∴﹣ =﹣1，
∴b=4.
故答案为4.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质.
17.如图，菱形OCBA的顶点B，C在以点O为圆心的弧 上，若∠FOC=∠AOE，OA=1，则扇形OEF的面积为 .
【考点】扇形面积的计算;菱形的性质.
【分析】首先算出扇形OEF的圆心角，然后根据扇形面积公式S= 进行计算.
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的 上，若OA=1，∠FOC=∠AOE，
∵OA=OB=AB，
∴三角形ABO为正三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠EOF=120°，
∴S扇形= = .
故答案为： .
【点评】本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质，关键是掌握菱形四边相等和扇形面积计算公式.
18.已知一次函数y=kx+b的图象过点(1，﹣1)且不经过第一象限，设m=k2﹣ b，则m的取值范围是 ≤m< .
【考点】一次函数的性质.
【分析】根据题意得出﹣1=k+b，k<0，b<0，进而得出m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，根据k的取值，即可求得m的取值范围.
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象过点(1，﹣1)且不经过第一象限，
∴﹣1=k+b，k<0，b<0，
∴b=﹣1﹣k，
∵m=k2﹣ b，
∴m=k2+ k+ =(k+ )2+ ，
∴k=﹣ 时，m有最小值为 ，
∵k=0时，m= ，
∴ ≤m< .
【点评】本题考查了一次函数的性质，根据性质得出k的取值是解题的关键.
三、解答题(本题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(1)计算：﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
(2)解方程：x2+2x﹣8=0.
【考点】实数的运算;零指数幂;解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质以及特殊角的三角函数值化简各数进而得出答案;
(2)直接利用因式分解法解方程得出答案.
【解答】解：(1)﹣ +20160+|﹣3|+4cos30°
=﹣2 +1+3+4×
=4;
(2)x2+2x﹣8=0
(x﹣4)(x+2)=0，
解得：x1=﹣2，x2=4.
【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及实数运算，正确化简各数是解题关键.
20.某校为了更好的开展“学校特色体育教育”，从全校2015～2016学年度八年级各组随机抽取了60名学生，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图：某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 划记 频数 百分比
优秀 正正正
a 0.3
良好 正正正正正正 30 b
合格 正
9 0.15
不合格 c d
合计
(说明：40﹣﹣﹣55分为不合格，55﹣﹣﹣70分为合格，70﹣﹣﹣85分为良好，85﹣﹣﹣100分为优秀)请根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中的a= 18 ，b= 0.5 ;c= 3 ;d= 0.05
(2)请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图.
【考点】频数(率)分布直方图;频数(率)分布表.
【分析】(1)根据图中的划记即可确定a的值，然后根据频率的计算公式求解;
(2)根据(1)的结果即可作出.
【解答】解：(1)a=18，
b= =0.5，
c=60﹣18﹣30﹣9=3，
d= =0.05.
故答案是：18，0.5，3，0.05;
(2)画出的直方图如图所示
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
21.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
【考点】扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质;解直角三角形.
【分析】(1)根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO= AO= OE，解直角三角形求解.
(2)先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.
【解答】解：(1)∵直径AB⊥DE，
∴CE= DE= .
∵DE平分AO，
∴CO= AO= OE.
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO= = ，
∴∠CEO=30°.
在Rt△COE中，
OE= = =2.
∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF.
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∴S扇形OEF= ×π×22=π.
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2.
∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2.
【点评】此题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式.
22.在一个黑色的布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除了颜色之外没有其它区别，其中白球2只、红球1只、黑球1只.袋中的球已经搅匀.
(1)随机地从袋中摸出1只球，则摸出白球的概率是多少?
(2)随机地从袋中摸出1只球，放回搅匀再摸出第二个球.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次都摸出白球的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)让白球的个数除以球的总数即可;
(2)2次实验，每次都是4种结果，列举出所有情况即可.
【解答】解：(1)摸出白球的概率是 ;
(2)列举所有等可能的结果，画树状图：
∴两次都摸出白球的概率为P(两白)= = .
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= .注意本题是放回实验.
23.如图，已知二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
【考点】二次函数综合题.
【专题】综合题.
【分析】(1)二次函数图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点，两点代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式.(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值.
【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y=﹣ +bx+c，
得：
解得 ，
∴这个二次函数的解析式为y=﹣ +4x﹣6.
(2)∵该抛物线对称轴为直线x=﹣ =4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.
【点评】本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式.
24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线;
(2)若DF=3，DE=2.
①求 值;
②求∠FAB的度数.
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)作辅助线，连接OD.根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可;
(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得 = = ;②连接OC，交AD于G，由①，设BE=2x，则AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根据特殊角的三角函数值即可得到结果.
【解答】(1)证明：如图，连结OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线，
(2)解：①连接BD，
∵直径AB，
∴∠ADB=90°，
∵圆O与BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴ = = ;
②连接OC，交AD于G，
由①，设BE=2x，则AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴ ，∴ ，
解得：x1=2，x2=﹣ (不合题意，舍去)，
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB= ，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°.
【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算.比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答.
25.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4 米.
(1)求新传送带AC的长度.
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由.
参考数据： .
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】(1)在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长.
(2)通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长.然后判断PC的值是否大于2米即可.
【解答】解：(1)如图，
在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=8.
即新传送带AC的长度约为8米;
(2)结论：货物MNQP不用挪走.
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4.
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9.
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1>2，
∴货物MNQP不应挪走.
【点评】考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路.
26.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
温度x/℃ … ﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度增长量y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由;
(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，然后选择x=﹣2、0、2三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x不能为0，一次函数的特点排除另两种函数;
(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答;
(3)求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25求出x的值，再根据二次函数的性质写出x的取值范围.
【解答】解：(1)选择二次函数，设y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵x=﹣2时，y=49，
x=0时，y=49，
x=2时，y=41，
∴ ，
解得 ，
所以，y关于x的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+49;
不选另外两个函数的理由：
∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，
∴y不是x的反比例函数;
∵点(﹣4，41)，(﹣2，49)，(2，41)不在同一直线上，
∴y不是x的一次函数;
(2)由(1)得，y=﹣x2﹣2x+49=﹣(x+1)2+50，
∵a=﹣1<0，
∴当x=﹣1时，y有最大值为50，
即当温度为﹣1℃时，这种作物每天高度增长量最大;
(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过25mm，
当y=25时，﹣x2﹣2x+49=25，
整理得，x2+2x﹣24=0，
解得x1=﹣6，x2=4，
∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在﹣6℃
【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
27.△ABC中，AB=AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.
(1)如图1，如果∠BAC=90°，求证：AF⊥BE并求 的值;
(2)如图2，如果∠BAC=a，求证：AF⊥BE并用含a的式子表示 .
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C，∠BAD= ∠BAC，AD⊥BC，然后根据同角的余角相等可得∠ADE=∠C.易证△ADB∽△DEC，可得AD•CE=BD•DE.由此可得AD•CE= BC•2DF=BC•DF，即 ，由此可证到△AFD∽△BEC，则有 ，在Rt△ADB中根据三角函数的定义可得tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，从而可得 = tan(90°﹣ ∠BAC).由△AFD∽△BEC可得∠DAF=∠CBE，即可得到∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，即可得到∠AHB=90°.利用以上结论即可解决题中的两个问题.
【解答】解：如图1，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C.
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，
∴ ，
即AD•CE=BD•DE.
∵点D是BC的中点，点F是DE的中点，
∴BD= BC，DE=2DF，
∴AD•CE═ BC•2DF=BC•DF，
∴ ，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴ ，
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣ ∠BAC，BD= BC，
∴tan∠ABD=tan(90°﹣ ∠BAC)= = ，
∴ = tan(90°﹣ ∠BAC).
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE.
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°﹣90°=90°，即∠AHB=90°，
(1)如图1，
根据以上结论可得：
∠AHB=90°， = tan(90°﹣ ×90°)= ;
∴AF⊥BE， = ;
(2)如图2，
根据以上结论可得：∠AHB=90°， = tan(90°﹣ α);
∴AF⊥BE， = tan(90°﹣ α).
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的性质、同角的余角相等等知识，证到△AFD∽△BEC是解决本题的关键.
28.如图，二次函数y=ax2+bx﹣2的图象交x轴于A(1，0)、B(﹣2，0)，交y轴于点C，连接直线AC.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在二次函数的图象上，圆P与直线AC相切，切点为H.
①若P在y轴的左侧，且△CHP∽△AOC，求点P的坐标;
②若圆P的半径为4，求点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a、b的值;
(2)①由切线的性质可知PH⊥AC，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO从而可证明CP∥x轴，于是得到yP=﹣2，yP=﹣2代入抛物线的解析式可求得x1=0(舍去)，x2=﹣1，从而可求得P(﹣1，﹣2);如图1，当H′在点C上方时，由相似三角形的性质可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，从而得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求得直线C P′的解析式为y=﹣ x﹣2，然后将CP′与抛物线的解析式联立可求得点P′的坐标为(﹣ ， ).
(3)在x轴上取一点D，如图(2)，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4.在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC= ，由题意可知证明△AED∽△AOC，由相似三角形的性质可求得AD=2 ，故此可得到点D的坐标为D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0)，过点D作DP∥AC，交抛物线于P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=2x﹣2，于是得到直线PD的解析式为y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，将直线PD的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标.
【解答】解：(1)∵将x=1，y=0，x=﹣2，y=0代入y=ax2+bx﹣2得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)解①∵圆P与直线AC相切，
∴PH⊥AC.
(i)如图1，当H在点C下方时，
①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO.
∴CP∥x轴.
∴yP=﹣2.
∴x2+x﹣2=﹣2.
解得x1=0(舍去)，x2=﹣1，
∴P(﹣1，﹣2).
(ii)如图1，当H′在点C上方时.
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
设OQ=m，则QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=(m+1)2，解得，m= ，即OQ= ;
设直线C P′的解析式为y=kx﹣2，
把Q(﹣ ，0)的坐标代入，得 k﹣2=0，解得k=﹣ ，∴y=﹣ x﹣2，
由﹣ x﹣2=x2+x﹣2，解得x1=0(舍去)，x2= ，此时y=﹣ ×(﹣ )﹣2= ，
∴P′(﹣ ， ).
∴点P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣ ， )
②在x轴上取一点D，如图(2)，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4.
在Rt△AOC中，AC= = = ，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC.
∴ ，即 = ，解得AD=2 ，
∴D(1﹣2 ，0)或D(1+2 ，0).
过点D作DP∥AC，交抛物线于P，设直线AC的解析式为y=kx+b.
将点A、C的坐标代入抛物线的解析式得到： .
解得： .
∴直线AC的解析式为y=2x﹣2.
∴直线PD的解析式为y=2x+4 ﹣2或y=2x﹣4 ﹣2，
当2x+4 ﹣2=x2+x﹣2时，即x2﹣x﹣4 =0，解得x1= ，x2= ;
当2x﹣4 ﹣2=x2+x﹣2时，即x2﹣x+4 =0，方程无实数根.
∴点P的坐标为( ， ﹣1)或( ，﹣ ).
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、相似三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、勾股定理等知识点，求得点Q的坐标和点D的坐标是解题的关键.
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