苏教版初三数学上期末试卷(2)
苏教版初三数学上期末试卷
苏教版初三数学上期末试卷参考答案
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内.)
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2﹣6x+2 B.2x2﹣y+1=0 C.5x2=0 D. +x=2
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】利用一元二次方程的定义分别分析得出答案.
【解答】解：A、x2﹣6x+2不是等式，不是一元二次方程，故此选项错误;
B、2x2﹣y+1=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误;
C、5x2=0，符合一元二次方程的定义，故此选项正确;
D、 +x=2，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误.
故选：C.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程具备的条件是解题关键.
2.抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2(x﹣3)2﹣4 ( )
A.向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B.向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C.向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D.向右平移3个单位，再向下平移4个单位
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先根据二次函数的性质得到两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线平移的情况.
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y=2(x﹣3)2﹣4 的顶点坐标为(3，﹣4)，
因为把点(0，0)先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可得到点(3，﹣4)，
所以把抛物线y=2x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y=2(x﹣3)2﹣4.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
3.如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为( )
A.5cm B.10cm C.20cm D.5πcm
【考点】圆锥的计算.
【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径.
【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R=30，由 Rl=300π得l=20π;
由2πr=l得r=10cm;
故选B.
【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键.
4.如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则另一组数据x1+5，x2+5，…，xn+5的方差是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【考点】方差.
【分析】根据题意得;数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+5，x2+5，…，xn+5的平均数为a+5，在根据方差公式进行计算：S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…(xn﹣ )2]即可得到答案.
【解答】解：根据题意得;数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1+5，x2+5，…，xn+5的平均数为a+5，
根据方差公式：S2= [(x1﹣a)2+(x2﹣a)2+…(xn﹣a)2]=3.
则;S2= {[(x1+5)﹣(a+5)]2+[(x2+5)﹣(a+5)]2+…(xn+5)﹣(a+5)]}2，
= [(x1﹣a)2+(x2﹣a)2+…(xn﹣a)2]，
=5.
故选：A.
【点评】此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可.
5.有下列四个命题：
①直径是弦;
②经过三个点一定可以作圆;
③三角形的外心到三角形各边的距离相等;
④平分弦的直径垂直于弦.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【考点】命题与定理.
【分析】根据弦的定义、三角形的内心、垂径定理分别对每一项进行分析即可.
【解答】解：①直径是弦，故本选项正确;
②经过不在同一直线的三个点可以确定一个圆，故本选项错误;
③三角形的内心到三角形各边的距离相等，故本选项错误;
④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项错误.
其中正确的有1个;
故选D.
【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是弦的定义、三角形的内心、垂径定理，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
6.如图，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【考点】切线的性质.
【分析】连接BD，AP，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数.
【解答】解：解：连接BD，AP，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBA= = ，
∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°.
故选D.
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°.
7.关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0 D.k<1且k≠0
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac>0
【解答】解：依题意列方程组
，
解得k<1且k≠0.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
8.在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致.
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0，错误;
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0，由直线可知，﹣m<0，错误;
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，﹣m<0，错误;
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，﹣m>0，正确，
故选D.
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中.
9.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为( )
A. + B. +π C. ﹣ D.2 +
【考点】扇形面积的计算;菱形的性质;切线的性质.
【分析】设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积.
【解答】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG= AB= ×2= ，AG=1，
∴圆B的半径为 ，
∴S△ABG= ×1× =
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2(S△ABG﹣S扇形ABG)+S扇形FBE=2( ﹣ )+ = + .
故选A.
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键.
10.在平面直角坐标系中，点A(a，a)，以点B(0，4)为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为( )
A.3 B. C.2 D. ﹣1
【考点】切线的性质;坐标与图形性质.
【专题】计算题.
【分析】连结AB、BC，如图，由A点坐标易得点A在直线y=x上，作BH⊥直线y=x于H，则△BOH为等腰直角三角形，所以BH= OB=2 ，再根据切线的性质得∠ACB=90°，则利用勾股定理得到AC= ，易得AB最小时，AC的值最小，利用垂线段最短得到AB的最小值为2 ，所以AC的最小值为 = .
【解答】解：连结AB、BC，如图，
∵A点坐标为(a，a)，
∴点A在直线y=x上，
作BH⊥直线y=x于H，
∵∠AOB=45°，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH= OB=2 ，
∵直线AC与⊙B相切，切点为C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= = ，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A在H点时，AB最小，此时AB=BH=2 ，
∴AC的最小值为 = .
故选B.
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决本题的关键是确定AB的最小值.
二、填空题(本大题共有8小题，每小题2分，共16分.请把结果直接填在题中的横线上.)
11.抛物线y=4(x+3)2﹣2的顶点坐标是 (﹣3，﹣2) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据顶点式y=a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，可直接写出顶点坐标.
【解答】解：抛物线y=4(x+3)2﹣2的顶点坐标是(﹣3，﹣2).
故答案为：(﹣3，﹣2).
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=h.
12.在一模考试中，某小组8名同学的数学成绩如下：108，100，108，112，120，95，118，92.这8名同学这次成绩的极差为 28 分.
【考点】极差.
【分析】根据极差的定义：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，求解即可.
【解答】解：这组数据的极差为：120﹣92=28.
故答案为：28.
【点评】本题考查了极差的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握极差的定义.
13.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是 ﹣1 .
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】年利润翻一番就是原来的两倍，设在这两年中利润的年平均增长率是x，原来的年利润为1，那么第一年的年利润为1+x，第二年的年利润为(1+x)(1+x)，然后根据年利润翻一番列出方程，解方程即可求出结果.
【解答】解：设在这两年中利润的年平均增长率是x，原来的年利润为1，
依题意得(1+x)2=2，
∴1+x=± ，
∴x= ﹣1，或x=﹣ ﹣1(负值舍去).
∴在这两年中利润的年平均增长率是 ﹣1.
故答案为 ﹣1.
【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×(1±x)2=后来的量，增长用+，减少用﹣.
14.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 12mm .
【考点】正多边形和圆.
【分析】根据题意得出圆内接半径r为12mm，则OB=12，求得BD=OB•sin30°，则BC=2BD，即可得出结果.
【解答】解：根据题意得：圆内接半径r为12mm，如图所示：
则OB=12，
∴BD=OB•sin30°=12× =6(mm)，
则BC=2×6=12(cm)，
完全覆盖住的正六边形的边长最大为12mm.
故答案为：12mm.
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、等腰三角形的性质等知识;运用三角函数求出圆内接正六边形的边长是解决问题的关键.
15.如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为 4 .
【考点】垂径定理;等腰直角三角形;圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE= OC=2 ，然后利用CD=2CE进行计算.
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE= OC=2 ，
∴CD=2CE=4 .
故答案为4 .
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理.
16.如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD= ﹣1，则∠ACD= 112.5 °.
【考点】切线的性质.
【分析】如图，连结OC.根据切线的性质得到OC⊥DC，根据线段的和得到OD= ，根据勾股定理得到CD=1，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠OCA= ∠DOC=22.5°，再根据角的和得到∠ACD的度数.
【解答】解：如图，连结OC.
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BD= ﹣1，OA=OB=OC=1，
∴OD= ，
∴CD= = =1，
∴OC=CD，
∴∠DOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA= ∠DOC=22.5°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°.
故答案为：112.5.
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质.本题关键是得到△OCD是等腰直角三角形.
17.当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为 3 .
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】压轴题.
【分析】设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到抛物线的对称轴等于 =﹣ ，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得结果.
【解答】解：设y=x2﹣2x+3，
∵当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2﹣2x+3的值相等，
∴ =﹣ ，
∴m+n=2，
∴当x=m+n时，
即x=2时，x2﹣2x+3=(2)2﹣2×(2)+3=3，
故答案为：3.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键.
18.抛物线y=2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=﹣x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=﹣x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【解答】解：y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2
令y=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A(1，0)，B(3，0)，
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=2(x﹣4)2﹣2(3≤x≤5)，
当y=﹣x+m1与C2相切时，
令y=﹣x+m1=y=2(x﹣4)2﹣2，
即2x2﹣15x+30﹣m1=0，
△=8m1﹣15=0，
解得m1= ，
当y=﹣x+m2过点B时，
即0=﹣3+m2，
m2=3，
当
故答案为
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
三、解答题(本大题共8小题，共54分，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤.)
19.解方程：
(1)(x﹣1)2=1;
(2)2x2﹣3x﹣1=0.
【考点】解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-直接开平方法.
【分析】(1)两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)开方得：x﹣1=±1，
解得：x1=2，x2=0;
(2)2x2﹣3x﹣1=0，
b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17，
x= ，
x1= ，x2= .
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20.在一个不透明的口袋中，放有三个标号分别为1，2，3的质地、大小都相同的小球任意摸出一个小球，记下标号后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下标号.求两次摸到的小球的标号都是奇数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
【考点】列表法与树状图法.
【专题】计算题.
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸到的小球的标号都是奇数的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：树状图如下：
共有9种等可能的结果数，两次摸到的小球的标号都是奇数的结果数为4，
所以P(两次摸到的小球的标号都是奇数)= .
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
21.某校2016届九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：
A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差
A班 100 a 93 93 c
B班 99 95 b 93 8.4
(1)直接写出表中a、b、c的值;
(2)依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由.
【考点】方差;加权平均数;中位数;众数.
【分析】(1)求出A班的平均分确定出a的值，求出A班的方差确定出c的值，求出B班的中位数确定出b的值即可;
(2)分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持B成绩好的原因.
【解答】解：(1)A班的平均分= =94，
A班的方差= ，
B班的中位数为(96+95)÷2=95.5，
故答案为：a=94 b=95.5 c=12;
(2)①B班平均分高于A班;
②B班的成绩集中在中上游，故支持B班成绩好;
【点评】本题考查了方差的计算，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.要学会分析统计数据，运用统计知识解决问题.
22.在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2，﹣2)，E(0，﹣3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(﹣2，﹣2)，E(0，﹣3)，判断直线l与⊙P的位置关系.
【考点】直线与圆的位置关系;点与圆的位置关系;作图—复杂作图.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】(1)在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可;
(2)连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可.
【解答】解：(1)如图所示：
△ABC外接圆的圆心为(﹣1，0)，点D在⊙P上;
(2)方法一：连接PD，
设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，
∵P(﹣1，0)、D(﹣2，﹣2)，
∴ ，
解得 ，
∴此直线的解析式为y=2x+2;
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，
∵D(﹣2，﹣2)，E(0，﹣3)，
∴ ，
解得 ，
∴此直线的解析式为y=﹣ x﹣3，
∵2×(﹣ )=﹣1，
∴PD⊥DE，
∵点D在⊙P上，
∴直线l与⊙P相切.
方法二：连接PE，PD，
∵直线 l过点 D(﹣2，﹣2 )，E (0，﹣3 )，
∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，..
∴PE2=PD2+DE2.
∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°.
∴PD⊥DE.
∵点D在⊙P上，
∴直线l与⊙P相切.
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.
23.如图，AC是⊙O的直径，PB切⊙O于点D，交AC的延长线于点B，且∠DAB=∠B.
(1)求∠B的度数;
(2)若BD=9，求BC的长.
【考点】切线的性质.
【分析】(1)连结OD，根据切线的性质得出OD⊥PB，再由圆周角定理得出∠COD=2∠DAB，根据∠DAB=∠B，可知∠COD=2∠B，再由直角三角形的性质即可得出结论;
(2)在Rt△BOD中，根据锐角三角函数的定义得出OD及OB的长，进而可得出结论.
【解答】解：(1)连结OD，
∵PB切⊙O于点D，
∴OD⊥PB
∵∠COD=2∠DAB，∠DAB=∠B，
∴∠COD=2∠B，
∴在Rt△BOD中，∠B=30°;
(2)在Rt△BOD中，
∵BD=9，∠B=30°，
∴OD=OC=3 ，OB=6 ，
∴BC=3 .
【点评】本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
24.某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过调研得到两条信息：
信息一：如果投资A种产品，所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间满足正比例函数关系：yA=kx;
信息二：如果投资B种产品，所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间满足二次函数关系：yB=ax2+bx
根据公司信息部报告，yA、yB(万元)与投资金额x(万元)的部分对应值如下表所示：
X(万元) 1 2
yA(万元) 0.8 1.6
yB(万元) 2.3 4.4
(1)填空：yA= 0.8x ;yB= ﹣0.1x2+2.4x ;
(2)如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W(万元)，B种产品的投资金额为x(万元)，试求出W与x之间的函数关系式;
(3)请你设计一个在(2)中公司能获得最大总利润的投资方案.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)依图可知yA、yB的答案.
(2)设投资x万元生产B产品，则投资万元生产A产品求出w与x的函数关系式.
(3)把w与x的函数关系式用配方法化简可解.
【解答】解：(1)将(1，0.8)代入函数关系式yA=kx，可得：0.8=k，
故yA=0.8x，
将(1，2.3)(2，4.4)代入yB=ax2+bx
可得： ，
解得：
故yB=﹣0.1x2+2.4x;
(2)设投资x万元生产B产品，则投资万元生产A产品，则
W=0.8﹣0.1x2+2.4x=﹣0.1x2+1.6x+16;
(3)由(2)得：W=﹣0.1x2+1.6x+16=﹣0.1(x﹣8)2+22.4，
故投资8万元生产B产品，12万元生产A产品可获得最大利润22.4万元.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数与一次函数解析式，正确得出W与x之间的关系式是解题关键，
25.问题提出：如图，已知：线段AB，试在平面内找到符合条件的所有点C，使∠ACB=30°.(利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法).
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：先作出等边三角形AOB，然后以点O 为圆心，OA长为半径作⊙O，则优弧AB上的点即为所要求作的点(点A、B除外)，根据对称性，在AB的另一侧符合条件的点C易得.请根据提示，完成作图.
自主探索：在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)、B(﹣1，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 (0，2+ )或(0，﹣2﹣ ) .
【考点】作图—复杂作图;圆周角定理.
【专题】计算题;作图题.
【分析】(1)利用题中所给思路画出两段优弧即可;
(2)类似(1)中的画法作出满足条件的C点，如图2，然后利用勾股定理计算出CD的长，从而确定C点坐标，利用对称可得到C′点的坐标.
【解答】解：(1)如图1，两段优弧(不含A、B两端点)为所作;
(2)如图2，
先作等腰直角△PAB，再以P点为圆心，PA为半径作⊙O交y轴于C点，
作PD⊥y轴于D，易得P(1，2)，PA=2 ，
∴PC=2 ，
∴CD= = ，
∴OC=2+ ，
∴C(0，2+ )，
同理可得C′(0，﹣2﹣ )，
综上所述，满足条件的C点坐标为C(0，2+ )或(0，﹣2﹣ ).
故答案为(0，2+ )或(0，﹣2﹣ ).
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.解决本题的关键是圆周角定理的运用.
26.二次函数图象的顶点在原点O，经过点A(1， );点F(0，1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：△PFM为等腰三角形;
(3)点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，作PQ⊥FM交FM于点Q，当点P从横坐标2015处运动到横坐标2016处时，请直接写出点Q运动的路径长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2，将点A的坐标代入求得a的值即可;
(2)由两点间的距离公式可求得PM和PF的长，从而得到PM=PF;
(3)由等腰三角形的性质可知点Q是FM的中点，从而得到OQ是△FHM的中位线，由三角形中位线的性质可求得当点P的横坐标为2015时，OQ=1007.5;当点P的横坐标为2016时，OQ=1008，故此可求得点Q运动的路径长.
【解答】解：(1)二次函数解析式为：y=ax2，
∵经过点A(1， )，
∴a= ，
∴二次函数的解析式y= x2.
(2)∵点P是(1)中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，
设P(x， x2)，则M(x，﹣1)，
∴PM= x2+1.
由两点间的距离公式可知：PF= = = = .
∴PF=PM 即△PFM为等腰三角形.
(3)如图所示：过点P作PQ⊥FM，垂足为Q.
∵PF=PM，PQ⊥FM，
∴FQ=QM.
∵OF=OH，FQ=QM，
∴OQ∥HM，且OQ= MH.
当点P的横坐标为2015时，OQ=HM= =1007.5.
当点P的横坐标为2016时，OQ=HM= =1008.
∴点Q运动的路径长=1008﹣1007.5=0.5.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质，证得OQ是△FHM的中位线，利用三角形的中位线的性质求得当点P的横坐标为2015时和当点P的横坐标为2016时OQ的长是解题的关键.
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