2017苏教版九年级数学上期末考试题(2)

　　(3)已知点C是抛物线上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标.

　　【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数与不等式(组).

　　【分析】(1)利用待定系数法即可求得;

　　(2)判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得;

　　(3)求得抛物线与x轴的交点M，则S△ABM=6，从而判定M出即为C1点，过M点作AB的平行线交抛物线于C2，根据平行线的性质判定此时三角形ABC2的面积=6，求得平行线与抛物线的交点，即为C点.

　　【解答】解：(1)∵抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(﹣1，0)、B(2，3).

　　∴ ，

　　解得 ， ，

　　∴a=﹣1，b=1，c=3;

　　(2)∵a=﹣1<0，

　　∴抛物线的开口向下，

　　∴x<﹣1或x>2时，抛物线上的部分在直线的下方，

　　∴当y12.

　　故答案为 x<﹣1或x>2.

　　(3)∵a=﹣1，b=1，c=3;

　　∴抛物线为y1=﹣x2+2x+3，直线为y2=x+1.

　　∵令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，

　　∴抛物线的另一个交点为M(3，0)，

　　∴AM=4，

　　∴S△ABM= AM×3=6，

　　∴C1点与M的重合，

　　过M点作AB的平行线交抛物线于C2，

　　此时三角形ABC2的面积=6，

　　设平行线的解析式为y=x+n，

　　∵平行线经过(3，0)，

　　∴平行线的解析式为y=x﹣3，

　　解 得 或 ，

　　∴C的坐标为(3，0)或(﹣2，﹣5).

　　【点评】本题考查了二次函数的综合运用.关键是由已知条件求抛物线解析式和直线的解析式，根据抛物线与x轴的交点，判断三角形的面积，利用平移的性质解题.

　　23.如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= .求：

　　(1)BC的长;

　　(2)sin∠ADC的值.

　　【考点】解直角三角形.

　　【分析】(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= ，求出BE的长即可;

　　(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案.

　　【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，

　　∵cosC= ，

　　∴∠C=45°，

　　在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，

　　∴AE=CE=1，

　　在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，

　　∴BE=3AE=3，

　　∴BC=BE+CE=4;

　　(2)∵AD是△ABC的中线，

　　∴CD= BC=2，

　　∴DE=CD﹣CE=1，

　　∵AE⊥BC，DE=AE，

　　∴∠ADC=45°，

　　∴sin∠ADC= .

　　【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用.

　　24.如图，从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD.图中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm.求工件GEHCPD的面积.(参考数据：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ )

　　【考点】解直角三角形的应用.

　　【专题】计算题.

　　【分析】工件GEHCPD的面积=矩形面积减去其余三个三角形的面积.其余三角形正好等于矩形面积的一半，只需求得矩形边长即可.

　　【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm

　　∴AE=AG÷tan11°18'≈10

　　那么DF=10

　　∵FC=6cm，∠PCF=33°42′

　　∴PF=FC×tan33°42′≈4

　　那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6

　　∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD

　　所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余两个三角形是下边矩形的一半.

　　∴工件GEHCPD的面积=矩形面积÷2=6×16÷2=48.

　　【点评】解决本题的关键是根据题意得到所求面积与大矩形的关系.

　　25.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=﹣ x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元).若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳 x2元的附加费，设月利润为w外(元).

　　(1)当x=1000时，y=　140　元/件;

　　(2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)，并求当x为何值时，在国内销售的月利润为360000元?

　　(3)如果某月要求将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?

　　【考点】二次函数的应用.

　　【分析】(1)将x的值代入y关于x的解析式即可解题;

　　(2)根据利润等于销售利润去掉附加费即可求得w内、w外的值，再根据月利润为360000元即可求得x的值，即可解题;

　　(3)根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的一次函数式，即可解题.

　　【解答】解：(1)将x=1000代入y=﹣ x+150得：

　　y=140，

　　故答案为 140;

　　(2)w内=x(y﹣20)﹣62500=﹣ x2+130x﹣62500，

　　w外=﹣ x2+(150﹣a)x;

　　当﹣ x2+130x﹣62500=360000时，

　　解得：x=6500，

　　故当x为6500时，在国内销售的月利润为360000元;

　　(3)当x=5000时，w内=337500，

　　w外=﹣5000a+500000，

　　若w内

　　若w内=w外，则a=32.5;

　　若w内>w外，则a>32.5，

　　所以，当10≤a<32.5时，选择在国外销售;

　　当a=32.5时，在国外和国内销售都一样;

　　当32.5

　　【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键.

　　26.如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB.

　　(1)求证：PB是⊙O的切线;

　　(2)当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长.

　　【考点】切线的判定与性质.

　　【专题】证明题.

　　【分析】(1)根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案;

　　(2)根据相似三角形的判定与性质，可得 = = ，根据解方程组，可得答案.

　　【解答】(1)证明：∵PA切⊙O于点A，

　　∴∠MAP=90°，

　　∴∠P+M=90°.

　　∵∠COB=∠APB，

　　∴∠M+∠MOB=90°，

　　∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，

　　∵PB经过直径的外端点，

　　∴PB是⊙O的切线;

　　(2)∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，

　　∴△OBM∽△APM，

　　∴ = = ，

　　= ①，

　　= ②

　　联立①②得 ，

　　解得 ，

　　当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2.

　　【点评】本题考查了切线的判定与性质，(1)利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质;(2)利用了相似三角形的判定与性质，解方程组.

　　27.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15.动点P从点B出发，沿BD向点D匀速运动;线段EF从DC出发，沿DA向点A匀速运动，且与BD交于点Q，连接PE、PF.若P、Q两点同时出发，速度均为1个单位∕秒，当P、Q两点相遇时，整个运动停止.设运动时间为t(s).

　　(1)当PE∥AB时，求t的值;

　　(2)设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式;

　　(3)如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点时，求t的值.

　　【考点】圆的综合题.

　　【分析】(1)由勾股定理求出BD，当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，则PK=AE，PK∥AD，则 ，得出AE=PK= t，由AD=AE+ED= +t=9，解方程即可;

　　(2)过点P作BC的平行线，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行线的性质得出证出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15﹣2t，得出S= PG•AB，即可得出结果;

　　(3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，则∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，则EF为直径，由圆周角定理得出∠EPF=90°，证出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出对应边成比例 = ，即可求出t的值.

　　【解答】解：(1)∵∠A=90°

　　∴BD= = =15，

　　当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，

　　作PK⊥AB于K，如图1所示：

　　则PK=AE，PK∥AD，

　　则 ，即 ，

　　∴AE=PK= t，

　　∴AD=AE+ED= +t=9，

　　解得：t= ;

　　(2)过点P作BC的平行线，交EF于G，如图2所示：

　　∵BD=15=BC，

　　∴∠BCD=∠BDC，

　　∵AD∥BC，EF∥DC，

　　∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC，

　　∴∠DEQ=∠EQD，

　　∴DQ=DE=t，

　　同理：PG=PQ=15﹣2t，

　　∴S= PG•AB= ×12(15﹣2t)=90﹣12t

　　(3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，如图3所示：

　　则∠PME=∠FNP=90°，

　　∴∠MPE+∠PEM=90°，

　　若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，

　　∴EF为直径，

　　∴∠EPF=90°，

　　∴∠MPE+∠FPN=90°，

　　∴∠PEM=∠FPN，

　　∴△EMP∽△PNF，

　　∴ = ，即 ，

　　解得：t= 或 ，

　　∵2t≤15，

　　∴t≤ ，

　　∴t= .

　　【点评】本题是圆的综合题目，考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用圆周角定理才能得出结果.

　　28.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点.

　　(1)求抛物线的解析式;

　　(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似?

　　(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在，请说明理由.

　　【考点】二次函数综合题.

　　【专题】压轴题.

　　【分析】(1)根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式;

　　(2)分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长;若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO， = ，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长;

　　(3)分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案..

　　【解答】解：(1)过点E作EG⊥x轴于G点.

　　∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，

　　∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°.

　　∵∠CDE=90°，

　　∴∠ODC+∠GDE=90°.

　　∵∠ODC+∠OCD=90°，

　　∴∠OCD=∠GDE.

　　在△OCD和△GED中 ，

　　∴△ODC≌△GED (AAS)，

　　∴EG=OD=1，DG=OC=2.

　　∴点E的坐标为(3，1).

　　∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，

　　∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+k，

　　将C、E点的坐标代入解析式，得

　　.

　　解得 ，

　　抛物线的解析式为y= (x﹣2)2+ ;

　　(2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，

　　∴PD∥OC，

　　∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，

　　∴四边形PDOC是矩形，

　　∴PC=OD=1，

　　∴t=1;

　　②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO， = .

　　∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF.

　　∴PC=PD，

　　∴DF= CD.

　　∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，

　　∴CD= ，

　　∴DF= .

　　∵ = ，

　　∴PC=PD= × = ，

　　t= ，

　　综上所述：t=1或t= 时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似;

　　(3)存在，

　　四边形MDEN是平行四边形时，M1(2，1)，N1(4，2);

　　四边形MNDE是平行四边形时，M2(2，3)，N2(0，2);

　　四边形NDME是平行四边形时，M3(2， )，N3(2， ).

　　【点评】本题考察了二次函数综合题，(1)利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式;(2)利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键;(3)利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键.

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