高一数学教材下册《向量的数量积》练习及解析(2)
高一数学教材下册《向量的数量积》练习及解析
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010•江西)已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________.
解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉=2cos60°=1.
答案：1
8.(2010•浙江)已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是________.
解析：由于α⊥(α-2β)，所以α•(α-2β)=|α|2-2α•β=0，故2α•β=1，所以|2α+β|=4|α|2+4α•β+|β|2=4+2+4=10.
答案：10
9.已知|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.
解析：由λb-a与a垂直，(λb-a)•a=λa•b-a2=0，所以λ=2.
答案：2
10.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则 )的最小值是________.
解析：令| |=x且0≤x≤2，则| |=2-x.
=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.
∴ 的最小值为-2.
答案：-2
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤.)
11.已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的λ的取值范围.
解：由|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°，
则a•b=|a||b|cos45°=2×1×22=1.
而(2a+λb)•(λa-3b)=2λa2-6a•b+λ2a•b-3λb2=λ2+λ-6.
设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ，
则cosθ=(2a+λb)•(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0，且cosθ≠1，
∴(2a+λb)•(λa-3b)>0，∴λ2+λ-6>0，
∴λ>2或λ<-3.
假设cosθ=1，则2a+λb=k(λa-3b)(k>0)，
∴2=kλ，λ=-3k，解得k2=-23.
故使向量2a+λb和λa-3b夹角为0°的λ不存在.
所以当λ>2或λ<-3时，向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角.
评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ=a•b|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ=1，θ=0°;cosθ=0，θ=90°;cosθ=-1，θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1，θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角.
12.设在平面上有两个向量a=(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b=-12，32.
(1)求证：向量a+b与a-b垂直;
(2)当向量3a+b与a-3b的模相等时，求α的大小.
解：(1)证明：因为(a+b)•(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-14+34=0，故a+b与a-b垂直.
(2)由|3a+b|=|a-3b|，两边平方得3|a|2+23a•b+|b|2=|a|2-23a•b+3|b|2，
所以2(|a|2-|b|2)+43a•b=0，而|a|=|b|，所以a•b=0，则-12•cosα+32•sinα=0，
即cos(α+60°)=0，
∴α+60°=k•180°+90°，
即α=k•180°+30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α=30°或α=210°.
13.已知向量a=(cos(-θ)，sin(-θ))，b=cosπ2-θ，sinπ2-θ，
(1)求证：a⊥b;
(2)若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b，y=-ka+tb满足x⊥y，试求此时k+t2t的最小值.
解：(1)证明：∵a•b=cos(-θ)•cosπ2-θ+
sin(-θ)•sinπ2-θ=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
∴a⊥b.
(2)由x⊥y，得x•y=0，
即[a+(t2+3)b]•(-ka+tb)=0，
∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a•b=0，
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.
又|a|2=1，|b|2=1，∴-k+t3+3t=0，
∴k=t3+3t，
∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3
=t+122+114.
故当t=-12时，k+t2t有最小值114.
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