高一数学教材下册《向量的数量积》练习及解析

高一数学教材下册《向量的数量积》练习及解析

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　　高一数学《向量的数量积》练习及解析

　　一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)

　　1.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m的值为(　　)

　　A.-2　 B.2

　　C.-12 D.不存在

　　解析：由题设知：a=(m+1，-3)，b=(1，m-1)，

　　∴a+b=(m+2，m-4)，

　　a-b=(m，-m-2).

　　∵(a+b)⊥(a-b)，

　　∴(a+b)•(a-b)=0，

　　∴m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0，

　　解之得m=-2.

　　故应选A.

　　答案：A

　　2.设a，b是非零向量，若函数f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线，则必有(　　)

　　A.a⊥b B.a∥b

　　C.|a|=|b| D.|a|≠|b|

　　解析：f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图象是一条直线，

　　即f(x)的表达式是关于x的一次函数.

　　而(xa+b)•(a-xb)=x|a|2-x2a•b+a•b-x|b|2，

　　故a•b=0，又∵a，b为非零向量，

　　∴a⊥b，故应选A.

　　答案：A

　　3.向量a=(-1,1)，且a与a+2b方向相同，则a•b的范围是(　　)

　　A.(1，+∞) B.(-1,1)

　　C.(-1，+∞) D.(-∞，1)

　　解析：∵a与a+2b同向，

　　∴可设a+2b=λa(λ>0)，

　　则有b=λ-12a，又∵|a|=12+12=2，

　　∴a•b=λ-12•|a|2=λ-12×2=λ-1>-1，

　　∴a•b的范围是(-1，+∞)，故应选C.

　　答案：C

　　4.已知△ABC中， a•b<0，S△ABC=154，

　　|a|=3，|b|=5，则∠BAC等于(　　)

　　A.30° B.-150°

　　C.150° D.30°或150°

　　解析：∵S△ABC=12|a||b|sin∠BAC=154，

　　∴sin∠BAC=12，

　　又a•b<0，∴∠BAC为钝角，

　　∴∠BAC=150°.

　　答案：C

　　5.(2010•辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设 则△OAB的面积等于(　　)

　　A.|a|2|b|2-(a•b)2

　　B.|a|2|b|2+(a•b)2

　　C.12|a|2|b|2-(a•b)2

　　D.12|a|2|b|2+(a•b)2

　　解析：cos〈a，b〉=a•b|a|•|b|，

　　sin∠AOB=1-cos2〈a，b〉=1-a•b|a|•|b|2，

　　所以S△OAB=12|a||b|

　　sin∠AOB=12|a|2|b|2-(a•b)2.

　　答案：C

　　6.(2010•湖南)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则 等于(　　)

　　A.-16 B.-8

　　C.8 D.16

　　解析：解法一：因为cosA=ACAB，

　　故 cosA=AC2=16，故选D.

　　解法二： 在 上的投影为| |cosA=| |，

　　故 cosA=AC2=16，故选D.

　　答案：D

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