2017年北海数学中考练习试题(2)
【分析】先解不等式2x+b<2时，得x< ;再求出函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为y=﹣2x﹣b，解不等式﹣2x﹣b<2，得x>﹣ ;根据x满足0
【解答】解：∵y=2x+b，
∴当y<2时，2x+b<2，解得x< ;
∵函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式为﹣y=2x+b，即y=﹣2x﹣b，
∴当y<2时，﹣2x﹣b<2，解得x>﹣ ;
∴﹣
∵x满足0
∴﹣ =0， =3，
∴b=﹣2，b=﹣4，
∴b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2.
故答案为﹣4≤b≤﹣2.
三、解答题(本大题共10小题，共76.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.计算：20160﹣|﹣ |+ +2sin45°.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】利用零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角形函数值计算.
【解答】解：原式=1﹣ ﹣3+2×
=1﹣ ﹣3+
=﹣2.
20.先化简，再求值：( ﹣x+1)÷ ，其中x= ﹣2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•
= •
= ，
当x= ﹣2时，
原式= = =2 .
21.解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集.
【解答】解：由①得x≥4，
由②得x<1，
∴原不等式组无解，
22.国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革.为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
获奖等次 频数 频率
一等奖 10 0.05
二等奖 20 0.10
三等奖 30 b
优胜奖 a 0.30
鼓励奖 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a= 60 ，b= 0.15 ，且补全频数分布直方图;
(2)若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少?
(3)在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率.
【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;频数(率)分布直方图;扇形统计图.
【分析】(1)根据公式频率=频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值即可;
(2)根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数=优胜奖的频率×360°计算即可;
(3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可.
【解答】解：(1)样本总数为10÷0.05=200人，
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案为200，0.15;
(2)优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°;
(3)列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P(选中A、B)= = .
23.，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y= (x>0)的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，
(1)求反比例函数y= 的解析式;
(2)求cos∠OAB的值;
(3)求经过C、D两点的一次函数解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)设点D的坐标为(4，m)(m>0)，则点A的坐标为(4，3+m)，由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论;
(2)由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论;
(3)由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论.
【解答】解：(1)设点D的坐标为(4，m)(m>0)，则点A的坐标为(4，3+m)，
∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为(2， ).
∵点C、点D均在反比例函数y= 的函数图象上，
∴ ，解得： .
∴反比例函数的解析式为y= .
(2)∵m=1，
∴点A的坐标为(4，4)，
∴OB=4，AB=4.
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA= =4 ，cos∠OAB= = = .
(3))∵m=1，
∴点C的坐标为(2，2)，点D的坐标为(4，1).
设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
则有 ，解得： .
∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣ x+3.
24.，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.
【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.
【分析】(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可;
(2)根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可.
【解答】解：(1)由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB(SAS);
(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由(1)得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=2 ，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2.
25.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.
(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答);
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多?
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
A型车 B型车
进货价格(元/辆) 1100 1400
销售价格(元/辆) 今年的销售价格 2400
【考点】一次函数的应用;分式方程的应用.
【分析】(1)设去年A型车每辆x元，那么今年每辆(x+400)元，列出方程即可解决问题.
(2)设今年7月份进A型车m辆，则B型车(50﹣m)辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题.
【解答】解：(1)设去年A型车每辆x元，那么今年每辆(x+400)元，
根据题意得 ，
解之得x=1600，
经检验，x=1600是方程的解.
答：今年A型车每辆2000元.
(2)设今年7月份进A型车m辆，则B型车(50﹣m)辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m
解之得m≥ ，
∵y=m+(50﹣m)=﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m=17时，可以获得最大利润.
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆.
26.已知点P(x0，y0)和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算.
例如：求点P(﹣1，2)到直线y=3x+7的距离.
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7.
所以点P(﹣1，2)到直线y=3x+7的距离为：d= = = = .
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点P(1，﹣1)到直线y=x﹣1的距离;
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由;
(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可;
(2)先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y= x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y= x+9相切;
(3)利用两平行线间的距离定义，在直线y=﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可.
【解答】解：(1)因为直线y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，
所以点P(1，﹣1)到直线y=x﹣1的距离为：d= = = = ;
(2)⊙Q与直线y= x+9的位置关系为相切.
理由如下：
圆心Q(0，5)到直线y= x+9的距离为：d= = =2，
而⊙O的半径r为2，即d=r，
所以⊙Q与直线y= x+9相切;
(3)当x=0时，y=﹣2x+4=4，即点(0，4)在直线y=﹣2x+4，
因为点(0，4)到直线y=﹣2x﹣6的距离为：d= = =2 ，
因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，
所以这两条直线之间的距离为2 .
27.，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°(点M，C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2)
(1)当点M落在AB上时，x= 4 ;
(2)当点M落在AD上时，x= ;
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
【考点】三角形综合题.
【分析】(1)当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题.
(2)1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得 = = ，由此即可解决问题.
(3)分三种情形①当0
【解答】解：(1)当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4 ，所以x= =4.
故答案为4.
(2)1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E.
∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴ = = ，∵AC=8 ，
∴PA= ，
∴x= ÷ = .
故答案为 .
(3)①当0
∵AP= x，
∴EF=PE=x，
∴y=S△PEF= •PE•EF= x2.
②当4
∵PQ=PC=8 ﹣ x，
∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，
∴y=S△PMQ﹣S△MEG= (8 ﹣ x)2﹣ (16﹣3x)2=﹣ x2+32x﹣64.
③当
∴y=S△PMQ= PQ2= (8 ﹣ x)2=x2﹣16x+64.
综上所述y= .
28.已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值;
(2)由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;
(3)作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可.
【解答】解：(1)∵y=a(x+3)(x﹣1)，
∴点A的坐标为(﹣3，0)、点B两的坐标为(1，0)，
∵直线y=﹣ x+b经过点A，
∴b=﹣3 ，
∴y=﹣ x﹣3 ，
当x=2时，y=﹣5 ，
则点D的坐标为(2，﹣5 )，
∵点D在抛物线上，
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5 ，
解得，a=﹣ ，
则抛物线的解析式为y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3 ;
(2)1中，作PH⊥x轴于H，设点 P坐标(m，n)，
当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，即n=﹣a(m﹣1)，
∴ 解得m=﹣4或1(舍弃)，
当m=﹣4时，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴ = ，
∴AB2=AC•PB，
∴42= ，
解得a=﹣ 或 (舍弃)，
则n=5a=﹣ ，
∴点P坐标(﹣4，﹣ ).
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，
∴ = ，
∴n=﹣3a(m﹣1)，
∴ ，
解得m=﹣6或1(舍弃)，
当m=﹣6时，n=21a，
∵△PBA∽△ABC，
∴ = ，即AB2=BC•PB，
∴42= • ，
解得a=﹣ 或 (不合题意舍弃)，
则点P坐标(﹣6，﹣3 )，
综上所述，符合条件的点P的坐标(﹣4，﹣ )和(﹣6，﹣3 ).
(3)2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN= = = ，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE= = EF，
∴Q的运动时间t= + =BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标(1，﹣4 ).
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