2017河北数学中考模拟试卷解析(2)
2017河北数学中考模拟试题解析
一.选择题(共10小题)
1. 的值等于( )
A.4 B.﹣4 C.±4 D.
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根.
【解答】解： ，
故选：A.
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根.
2.函数y= 中，自变量x的取值范围为( )
A.x> B.x≠ C.x≠ 且x≠0 D.x<
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x﹣3≠0，解得x的范围.
【解答】解：根据题意得：2x﹣3≠0，
解得：x≠ .
故选B.
【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.
3.下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案.
【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误;
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确;
C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误;
D、不是轴对称图形是中心对称图形，故此选项错误;
故选：B.
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
4.下列运算正确的是( )
A.x4+x2=x6 B.x2•x3=x6 C.(x2)3=x6 D.x2﹣y2=(x﹣y)2
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和公式法进行因式分解对各个选项进行判断即可.
【解答】解：x4与x2不是同类项，不能合并，A错误;
x2•x3=x5，B错误;
(x2)3=x6，C正确;
x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)，D错误，
故选：C.
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和因式分解，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和利用平方差公式进行因式分解是解题的关键.
5.若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案.
【解答】解：∵一组数据3，x，4，5，6的众数是3，
∴x=3，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6，
最中间的数是4，则这组数据的中位数为4;
故选B.
【点评】本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数.
6.若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的( )
A.﹣4 B.0 C.1 D.3
【分析】根据一次函数的性质，若y随x的增大而减小，则k<0.
【解答】解：∵y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
而四个选项中，只有A符合题意，
故选A.
【点评】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.
7.已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两根，则△ABC的周长是 ( )
A.10 B.8 C.6 D.8或10
【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是2和4，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长.
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
∴(x﹣2)(x﹣4)=0，
∴x1=2，x2=4.
由三角形的三边关系可得：(两边之和大于第三边)，
∴腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2=10.
故选：A.
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根据三角形的三边关系求出三角形的周长，此题难度不大，但容易出错，注意三角形三边关系是解决问题的关键.
8.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径.若∠D=32°，则∠OAC=( )
A.64° B.58° C.72° D.55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论.
【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°.
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°.
故选B.
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
9.如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为( )
A.3 B.6 C.3π D.6π
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论.
【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr= ×2π×10，解得r=6.
故选B.
【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键.
10.如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的.
【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC(AAS)，
∴OB=CD，
∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1(x>0).
故选：A.
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象.
二.填空题(共6小题)
11.时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将16200用科学记数法表示为：1.62×104.
故答案为：1.62×104.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.因式分解：m2n﹣6mn+9n= .
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解.
【解答】解：m2n﹣6mn+9n
=n(m2﹣6m+9)
=n(m﹣3)2.
故答案为：n(m﹣3)2.
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.
13.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB= .
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质可得∠CA1D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
由翻折的性质得，∠CA1D=∠A=50°，
所以∠A1DB=∠CA1D﹣∠B=50°﹣40°=10°.
故答案为：10.
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，以及翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键.
14.如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为 m(结果保留根号).
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.
【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60× =30 (m).
故答案为：30 .
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中.
15.不等式组 的解集是 .
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
【解答】解： ，
由①得：x<4;
由②得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x<4.
故答案为：3≤x<4
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.如图，△ABC和△DEF有一部分重叠在一起(图中阴影部分)，重叠部分的面积是△ABC面积的 ，是△DEF面积的 ，且△ABC与△DEF面积之和为26，则重叠部分面积是 .
【分析】设△ABC面积为S，则△DEF面积为26﹣S，根据题意列方程即可得到结论.
【解答】解：设△ABC面积为S，则△DEF面积为26﹣S，
∵叠部分的面积是△ABC面积的 ，是△DEF面积的 ，
∴ S= (26﹣S)，
解得：S=14，
∴重叠部分面积= ×14=4，
故答案为：4.
【点评】本题考查了三角形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键.
三.解答题(共3小题)
17.解方程： =5.
【分析】观察可得最简公分母是x(x+3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解：方程的两边同乘x(x+3)，得
x+3+5x2=5x(x+3)，
解得x= .
检验：把x= 代入x(x+3)= ≠0.
∴原方程的解为：x= .
【点评】考查了解分式方程，注意：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
18.先化简，再求值：2a(a+2b)+(a﹣2b)2，其中a=﹣1， .
【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案.
【解答】解：原式=2a2+4ab+a2﹣4ab+4b2
=3a2+4b2，
当a=1，b= 时;
原式=3×(﹣1)2+4×( )2=15.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键.
19.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.
(1)作∠A的平分线AD，交BC于点D(用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑);
(2)计算S△DAC：S△ABC的值.
【分析】(1)首先以A为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、AC于M、N两点;再分别以M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D即可.
(2)分别计算出S△DAC和S△ABC的面积，作比值即可.
【解答】解：(1)如图所示：
(2)解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD= AD.
∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD.
∴S△DAC= ，S△ABC= .
∴S△DAC：S△ABC= ： =1：3.
【点评】本题主要考查了作一个角的角平分线、直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半的性质以及三角形面积公式的运用，属于基础性题目.
四.解答题(共3小题)
20.为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体育测试成绩中随机抽取200名学生的体育测试成绩作为样本.体育成绩分为四个等次：优秀、良好、及格、不及格.
体育锻炼时间 人数
4≤x≤6
2≤x<4 43
0≤x<2 15
(1)试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数;
(2)统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表(如图表所示)，请将图表填写完整(记学生课外体育锻炼时间为x小时);
(3)全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数.
【分析】(1)直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇形圆心角的度数;
(2)首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案;
(3)直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得出学生中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数.
【解答】解：(1)由题意可得：
样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：(1﹣15%﹣14%﹣26%)×360°=162°;
(2)∵体育成绩“优秀”和“良好”的学生有：200×(1﹣14%﹣26%)=120(人)，
∴4≤x≤6范围内的人数为：120﹣43﹣15=62(人);
故答案为：62;
(3)由题意可得： ×14400=7440(人)，
答：估计课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数为7440人.
【点评】此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表格中数据得出正确信息是解题关键.
21.某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
(1)该班男生和女生各有多少人?
(2)某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生?
【分析】(1)设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论;
(2)设招录的男生为m名，则招录的女生为(30﹣m)名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.
【解答】解：(1)设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得： ，解得： .
∴该班男生有27人，女生有15人.
(2)设招录的男生为m名，则招录的女生为(30﹣m)名，
依题意得：50m+45(30﹣m)≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：工厂在该班至少要招录22名男生.
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)根据数量关系列出二元一次方程组;(2)根据数量关系列出关于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键.
22.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
【分析】(1)欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可.
(2)先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定.
【解答】证明;(1)∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB=∠DBE，
∴∠CEB=∠CBE.
(2))∵△ABC≌△ABD，
∴BC=BD，
∵∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB，
∴CE=BD
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC=BD，
∴四边形CEDB是菱形.
【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.
五.解答题(共3小题)
23.如图，直线y=mx与双曲线y= 相交于A、B两点，A点的坐标为(1，2)，AC⊥x轴于C，连结BC.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出当mx> 时，x的取值范围;
(3)在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形?若存在，请求出点D坐标;若不存在，请说明理由.
【分析】(1)把A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例函数解析式;
(2)由题意，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可;
(3)存在，理由为：由四边形ABDC为平行四边形，得到AC=BD，且AC∥BD，由AC与x轴垂直，得到BD与x轴垂直，根据A坐标确定出AC的长，即为BD的长，联立一次函数与反比例函数解析式求出B坐标，即可确定出D坐标.
【解答】解：(1)把A(1，2)代入y=mx得：m=2，
则一次函数解析式是y=2x，
把A(1，2)代入y= 得：k=2，
则反比例解析式是y= ;
(2)根据图象可得：﹣11;
(3)存在，理由为：
如图所示，四边形ABDC为平行四边形，
∴AC=BD，AC∥BD，
∵AC⊥x轴，
∴BD⊥x轴，
由A(1，2)，得到AC=2，
∴BD=2，
联立得： ，
消去y得：2x= ，即x2=1，
解得：x=1或x=﹣1，
∵B(﹣1，﹣2)，
∴D的坐标(﹣1，﹣4).
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式以及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
24.如图，AB是⊙O的直径，点D是 上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB;
(3)在(2)的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.
【分析】(1)利用圆周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，则∠CBE+∠ABE=90°，则根据切线的判定方法可判断BC是⊙O的切线;
(2)证明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到结论;’
(3)连结DE，先证明OD∥BE，则可判断△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到关于PD的方程，再解方程求出PD即可.
【解答】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线;
(2)证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠AED，
∴∠AED=∠1，
∵∠FDE=∠EDB，
∴△DFE∽△DEB，
∴DE：DF=DB：DE，
∴DE2=DF•DB;
(3)连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
而∠1=∠2，
∴∠ODB=∠1，
∴OD∥BE，
∴△POD∽△PBE，
∴ = ，
∵PA=AO，
∴PA=AO=BO，
∴ = ，即 = ，
∴PD=4.
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的判定方法;运用相似三角形的判定和性质解决线段之间的关系.通过相似比得到PD的方程可解决(3)小题.
25.如图，已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
(1)求点A，B，C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【分析】(1)分别令y=0，x=0，即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积.
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题.
【解答】解：(1)令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴点A坐标(2，0)，点B坐标(﹣4，0)，
令x=0，得y=2，∴点C坐标(0，2).
(2)由图象①AB为平行四边形的边时，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标(﹣7，﹣ )或(5，﹣ )，此时点F(﹣1，﹣ )，
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6× = .
②当点E在抛物线顶点时，点E(﹣1， )，设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积= ×6× = .
(3)如图所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN= = ，
∴点M1坐标(﹣1，2+ )，点M2坐标(﹣1，2﹣ ).
②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+2，
∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3(﹣1.﹣1)，
∴点M3坐标为(﹣1，﹣1).
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在.
综上所述点M坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，2+ )或(﹣1，2﹣ ).
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.
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