高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用

　　函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。

　　函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)

　　本文列举几例分类剖析：

　　一、方程思想

　　1.知三求二

　　等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

　　例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.

　　解(1)由a10=a1+9d=30，

　　a20=a1+19d=50，

　　解得a1=12，

　　因为n∈N*，所以n=11.

　　2.转化为基本量

　　在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

　　例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.

　　解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

　　由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

　　将a1q3=―8代入(1)，

　　得q2=―2(舍去);

　　将a1q3=8代入(1)，得q=±2.

　　当q=2时，a1=1，S8=255;

　　当q=―2时，a1=―1，S8=85.

　　3.加减消元法利用Sn求an

　　利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.

　　例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

　　a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

　　若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.

　　解将等式左边看成Sn，令

　　Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

　　依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

　　又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

　　两式相减可得

　　Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

　　又因为数列{bn}的通项公式为

　　bn=2n―1，

　　所以an=n (n≥2).

　　当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.

　　从而对一切n∈N*，都有an=n.

　　所以数列{an}的通项公式是an=n.

　　4.等差、等比的综合问题

　　这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.

　　例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.

　　解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.

　　由已知得a1+a2+a3=7，

　　(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

　　解得a2=2.设数列{an}的公比为q，

　　由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

　　又S3=7，可知2q+2+2q=7，

　　即2q2―5q+2=0，

　　解得q1=2，q2=12.

　　由题意得q>1，所以q=2.

　　可得a1=1，

　　从而数列{an}的通项为an=2n―1.

　　二、函数思想

　　数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式

　　an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

　　前n项和的公式

　　Sn=na1+n(n―1)2d

　　=d2n2+(a1―d2)n，

　　当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.

　　1.运用函数解析式解数列问题

　　在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.

　　例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.

　　分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.

　　解设Sn=an2+bn(a≠0)，则

　　a×102+b×10=100，

　　a×1002+b×100=10.

　　解得a=―11100，

　　b=11110.

　　所以Sn=―11100n2+11110n.

　　从而S110=―11100×1102+11110×110

　　=―110.

　　函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为

　　n=111102×11100=55211=50211.

　　因为n∈N*，

　　所以n=50时Sn有最大值.

　　2.利用函数单调性解数列问题

　　通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.

　　例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.

　　解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

　　则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 　　因为x≥2，

　　所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

　　所以f ′(x)<0.

　　即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.

　　故当n≥2时，an>an+1.

　　例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.

　　(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;

　　(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.

　　(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.

　　解由题设易得an=n―72，

　　所以bn=2n―52n―7.

　　由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

　　可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.

　　当x<72时，f(x)为减函数，

　　且f(x)<1;

　　当x>72时，f(x)为减函数，

　　且f(x)>1.

　　所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.

　　(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.

　　由于bn=1+1n―1+a1，

　　故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.

　　解由题，得an=n―1+a1，

　　所以bn=1+1n―1+a1.

　　考察函数f(x)=1+1x―1+a1，

　　当x<1―a1时，f(x)为减函数，

　　且f(x)<1;

　　当x>1―a1时，f(x)为减函数，

　　且f(x)>1.

　　所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，

　　所以a1的取值范围是―7
　　3.利用函数周期性解数列问题

　　例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.

　　分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.

　　解由已知

　　两式相减得

　　通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.

　　高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解

　　数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

　　数学思想方法是对数学及规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是数学认识过程中提炼上升的数学观点方法。学生大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自主性，往往就成为离不开教师这个拐棍的被动学习者，学的数学知识不能用数学思想方法有效连接，支离破碎。所以，学生在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思考，才有利于对数学本质的认识，才能知道如何去思考和解决问题。

　　高中数学基本数学思想

　　1.转化与化归思想：

　　是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证

　　2.逻辑划分思想(即分类与整合思想)：

　　是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是： 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证

　　3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)：

　　就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.

　　4. 数形结合思想：

　　将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.

　　5. 整体思想：

　　处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.

　　在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标， 步步正确推理就够了.

　　中学数学中还有一些数学思想，如：

　　集合的思想;

　　补集思想;

　　归纳与递推思想;

　　对称思想;

　　逆反思想;

　　类比思想;

　　参变数思想

　　有限与无限的思想;

　　特殊与一般的思想.

　　它们大多是本文所述基本数学思想在一定知识环境中的具体体现.所以在中学数学中，只要掌握数学基础知识，把握代数，三角，立体几何，解析几何的每部分的知识点及联系，掌握几个常用的基本数学思想和将它们统一起来的整体思想，就定能找到解题途径.提高数学解题能力。