辽宁省高三数学一模试卷答案解析(2)
辽宁省高三数学一模试卷答案解析解答题
(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.)
17.(12分)(2015•沈阳一模)已知函数f(x)= sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[0， ]时，求函数f(x)的值域.
【考点】： 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【专题】： 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】： (I)先化简求得解析式f(x)=sin(2x﹣ )+ ，从而可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)先求2x﹣ 的范围，可得sin(2x﹣ )的范围，从而可求函数f(x)的值域.
【解析】： 解：(I)f(x)= sin2x+sinxcosx= + sin2x …(2分)
=sin(2x﹣ )+ .…(4分)
函数f(x)的最小正周期为T=π.…(6分)
因为﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z，.…(8分)
(Ⅱ)当x∈[0， ]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]
sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1]，…(10分)
所以函数f(x)的值域为f(x)∈[0，1+ ].…(12分)
【点评】： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查.
18.(12分)(2015•沈阳一模)某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示
参加社团活动 不参加社团活动 合计
学习积极性高 17 8 25
学习积极性一般 5 20 25
合计 22 28 50
(Ⅰ)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(Ⅱ)试运用独立性检验的思想方法【分析】：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系?并说明理由.
x2= .
P(x2≥k) 0.05 0.01 0.001
K 3.841 6.635 10.828
【考点】： 独立性检验的应用.
【专题】： 计算题;概率与统计.
【分析】： (Ⅰ)求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率.
(Ⅱ)根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系.
【解析】： 解：(Ⅰ)积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，
所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是 = ;
抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，
所以其概率为 = ;
(Ⅱ)x2= ≈11.7
∵x2>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系.
【点评】： 本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错.
19.(12分)(2015•沈阳一模)如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE= .
(Ⅰ)证明：平面EAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求四棱锥E﹣ABCD的体积.
【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.
【专题】： 空间位置关系与距离.
【分析】： (I)取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD.
(II)VE﹣ABCD= ，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积.
【解析】： (I)证明：取AB的中点O，连结EO、CO.
由AE=BE= ，知△AEB为等腰直角三角形.
故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，
则△ABC是等边三角形，从而CO= .
又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，
所以EO⊥CO.
又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD.
又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD.…(8分)
(II)解：VE﹣ABCD=
=
= .…(12分)
【点评】： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.
20.(12分)(2015•沈阳一模)已知椭圆C： + =1(a>b>0)，e= ，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为 ，且 =λ (其中λ>1).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)求实数λ的值.
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】： (I)由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)由 ，可知A，B，F三点共线，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意.当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k(x﹣1).由 ，得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值.
【解析】： 解：(I)由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，
椭圆的标准方程是 .…(4分)
(Ⅱ)由 ，可知A，B，F三点共线，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k(x﹣1).
由 ，消去y得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0.①
由①的判别式△=64k4﹣4(4k2+3)(4k2﹣12)=144(k2+1)>0.
因为 ，…(6分)
所以 = ，所以 .…(8分)
将 代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，
解得x= .…(10分)
又因为 =(1﹣x1，﹣y1)， =(x2﹣1，y2)， ，
，解得 .…(12分)
【点评】： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.
21.(12分)(2015•沈阳一模)已知函数f(x)=alnx(a>0)，e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值;
(Ⅱ)当x>0时，求证：f(x)≥a(1﹣ );
(Ⅲ)在区间(1，e)上 >1恒成立，求实数a的取值范围.
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】： 导数的综合应用.
【分析】： (Ⅰ)求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值;
(Ⅱ)构造函数，利用导数证明不等式即可;
(Ⅲ)利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论.
【解析】： 【解析】：(I)函数的f(x)的导数f′(x)= ，
∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2，
∴f′(2)= =2，解得a=4.…(2分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣ )=a(lnx﹣1+ );
则函数的导数g′(x)=a( ).…(4分)
令g′(x)>0，即a( )>0，解得x>1，
∴g(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增.
∴g(x)最小值为g(1)=0，
故f(x)≥a(1﹣ )成立.…(6分)
(Ⅲ)令h(x)=alnx+1﹣x，则h′(x)= ﹣1，
令h′(x)>0，解得x
当a>e时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x)>h(1)=0.…(9分)
当1
∴只需h(x)≥0，即a≥e﹣1.…(10分)
当a≤1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)≥0，
∵h(e)=a+1﹣e<0不合题意.…(11分)
综上，a≥e﹣1…(12分)
【点评】： 本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力.
选修4-1：几何证明选讲
22.(10分)(2015•沈阳一模)如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG.
(Ⅰ)求证：C是劣弧BD的中点;
(Ⅱ)求证：BF=FG.
【考点】： 与圆有关的比例线段.
【专题】： 计算题.
【分析】： (I)要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论.
(II)由已知及(I)的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论.
【解析】： 解：(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴
∵CE⊥AB
∴
∵
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点(5分)
(II)∵
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG(10分)
【点评】： 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同(等)角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键.
选修4-4：坐标系与参数方程
23.(2015•沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α= .
(Ⅰ)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值.
【考点】： 参数方程化成普通方程.
【专题】： 坐标系和参数方程.
【分析】： (Ⅰ)利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程;
(Ⅱ)把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求.
【解析】： 解：(I)消去θ，得圆的标准方程为2+y2=16.…(2分)
直线l的参数方程为 ，即 (t为参数) …(5分)
(Ⅱ)把直线的方程 代入x2+y2=16，
得(1+ t)2+(2+ t)2=16，即t2+(2+ )t﹣11=0，…(8分)
所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11. …(10分)
【点评】： 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题.
选修4-5：不等式选讲
24.(2015•沈阳一模)设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|>m对一切实数x均成立，求m的取值范围.
【考点】： 绝对值不等式的解法;函数最值的应用.
【专题】： 计算题;压轴题;分类讨论.
【分析】： (1)分类讨论，当x≥4时，当 时，当 时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集.
(2)利用绝对值的性质，求出f(x)+3|x﹣4|的最小值为9，故m<9.
【解析】： 解：(1)当x≥4时f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0得 x>﹣5，所以，x≥4时，不等式成立.
当 时，f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0，得x>1，所以，1
当 时，f(x)=﹣x﹣5>0，得x<﹣5，所以，x<﹣5成立
综上，原不等式的解集为：{x|x>1或x<﹣5}.
(2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9，当 ，
所以，f(x)+3|x﹣4|的最小值为9，故 m<9.
【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想.
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