高考文科数学一模试卷及答案(2)
高考文科数学一模试卷解答题
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17.(12分)(2013•天心区校级二模)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ，且c=3.
(1)求角C;
(2)若向量 与 共线，求a、b的值.
【考点】： 余弦定理;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦定理.
【专题】： 计算题.
【分析】： (1)利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin(2C﹣30°)=1，结合C的范围可求C
(2)由(1)C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求
【解析】： 解：(1)∵ ，
∴
∴sin(2C﹣30°)=1
∵0°
∴C=60°
(2)由(1)可得A+B=120°
∵ 与 共线，
∴sinB﹣2sinA=0
∴sin(120°﹣A)=2sinA
整理可得， 即tanA=
∴A=30°，B=90°
∵c=3.
∴a= ，b=2
【点评】： 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用
18.(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD= AB=2，点E为AC中点.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示.
(1)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB;
(2)求点C到平面ABD的距离.
【考点】： 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.
【专题】： 空间位置关系与距离.
【分析】： (1)取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB.
(2)设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得 ，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，由 = 即可解得点C到平面ABD的距离.
【解析】： (1)取CD的中点F，连结EF，BF，
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线
∴AD∥EF，
EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB
∴AD∥平面EFB.
(2)设点C到平面ABD的距离为h，
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AD，而AD⊥DC•
∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•
∴ •
∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，
∴ =
∴可解得：h=2.
【点评】： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题.
19.(12分)(2010•鲤城区校级二模)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x(℃) 10 11 13 12 8 6
就诊人数y(人) 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?
【考点】： 回归分析的初步应用;等可能事件的概率.
【专题】： 计算题;方案型.
【分析】： (Ⅰ)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果.
(Ⅱ)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程.
(Ⅲ)根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想.
【解析】： 解：(Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型，
设抽到相邻两个月的数据为事件A
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，
每种情况都是等可能出现的其中，
满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种
∴
(Ⅱ)由数据求得 ，
由公式求得b=
再由 求得a=﹣
∴y关于x的线性回归方程为
(Ⅲ)当x=10时，y= ，| |= <2
∴该小组所得线性回归方程是理想的.
【点评】： 本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中.
20.(12分)(2015•邢台模拟)已知A(﹣2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2 .
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线AP的倾斜角为 ，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】： (Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为 (a>b>0)，F(c，0).由题意知 ，解得即可得出.
(II)以BD为直径的圆与直线PF相切.由题意可知，c=1，F(1，0)，直线AP的方程为y=﹣x﹣2.则点D坐标为(2，﹣4)，BD中点E的坐标为(2，﹣2)，圆的半径r=2.直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0.可得点P的坐标.可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0.利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d.只要证明d=r.
【解析】： 解：(Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为 (a>b>0)，F(c，0).
由题意知 ，解得 .
故椭圆C的方程为 .
(Ⅱ)以BD为直径的圆与直线PF相切.
证明如下：由题意可知，c=1，F(1，0)，直线AP的方程为y=﹣x﹣2.
则点D坐标为(2，﹣4)，BD中点E的坐标为(2，﹣2)，圆的半径r=2.
由 得7x2+16x+4=0.
设点P的坐标为(x0，y0)，则 .
∵点F坐标为(1，0)，直线PF的斜率为 ，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0.
点E到直线PF的距离d= =2.
∴d=r.
故以BD为直径的圆与直线PF相切.
【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
21.(12分)(2012•武汉模拟)设a∈R，函数f(x)=lnx﹣ax.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知x1= (e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2> .
【考点】： 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【专题】： 计算题.
【分析】： (I)先求函数f(x)的导函数f′(x)，并确定函数的定义域，再解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可分别求得函数f(x)的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负;
(II)将x1= 代入函数f(x)，即可得a的值，再利用(I)中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点x2是在区间( ， )上，即可证明结论
【解析】： 解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞).
求导数，得f′(x)= ﹣a= .
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)是(0，+∞)上的增函数，无极值;
②若a>0，令f′(x)=0，得x= .
当x∈(0， )时，f′(x)>0，f(x)是增函数;
当x∈( ，+∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
∴当x= 时，f(x)有极大值，极大值为f( )=ln ﹣1=﹣lna﹣1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，+∞)，无极值;当a>0时，f(x)的递增区间为(0， )，递减区间为( ，+∞)，极大值为﹣lna﹣1
(Ⅱ)∵x1= 是函数f(x)的零点，
∴f ( )=0，即 ﹣a =0，解得a= = .
∴f(x)=lnx﹣ x.
∵f( )= ﹣ >0，f( )= ﹣ <0，∴f( )•f( )<0.
由(Ⅰ)知，函数f(x)在(2 ，+∞)上单调递减，
∴函数f(x)在区间( ， )上有唯一零点，
因此x2> .
【点评】： 本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题
三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;多涂、多答，按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-1：几何证明选讲]
22.(10分)(2014•葫芦岛二模)如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.
(1)求证：∠PEC=∠PDF;
(2)求PE•PF的值.
【考点】： 与圆有关的比例线段.
【专题】： 选作题;立体几何.
【分析】： (1)证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF;
(2)证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值.
【解析】： (1)证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四点共圆.
∴∠PEC=∠CBA.
又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆.
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣(10分)
【点评】： 本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23.(2012•洛阳模拟)已知直线l： (t为参数)，曲线C1： (θ为参数).
(Ⅰ)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|;
(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
【考点】： 圆的参数方程;函数的图象与图象变化;直线与圆相交的性质;直线的参数方程.
【专题】： 计算题.
【分析】： (I)将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|.
(II)将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可.
【解析】： 解：(I)l的普通方程为y= (x﹣1)，C1的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组 ，解得交点坐标为A(1，0)，B( ，﹣ )
所以|AB|= =1;
(II)曲线C2： (θ为参数).
设所求的点为P( cosθ， sinθ)，
则P到直线l的距离d= = [ sin( )+2]
当sin( )=﹣1时，d取得最小值 .
【点评】： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路.
[选修4-5;不等式选讲]
24.(2012•包头一模)选修4﹣5;不等式选讲.
设不等式|2x﹣1|<1的解集是M，a，b∈M.
(I)试比较ab+1与a+b的大小;
(II)设max表示数集A的最大数.h=max ，求证：h≥2.
【考点】： 平均值不等式;不等式比较大小;绝对值不等式的解法.
【专题】： 压轴题;不等式的解法及应用.
【分析】： (I)解绝对值不等式求出M=( 0，1)，可得 0
(II)由题意可得 h≥ ，h≥ ，h≥ ，可得 h3≥ = ≥8，从而证得 h≥2.
【解析】： 解：(I)由不等式|2x﹣1|<1 可得﹣1<2x﹣1<1，解得 0
由 a，b∈M，可得 0
∴(ab+1)﹣(a+b)=(a﹣1)(b﹣1)>0，
∴(ab+1)>(a+b).
(II)设max表示数集A的最大数，∵h=max ，
∴h≥ ，h≥ ，h≥ ，
∴h3≥ = ≥8，故 h≥2.
【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
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