高三理科数学一模考试卷及答案
高三的理科数学大家复习的如何?马上就要一模考试了，数学往年的一模试卷要抓紧时间做。下面由学习啦小编为大家提供关于高三理科数学一模考试卷及答案，希望对大家有帮助!
高三理科数学一模考试卷选择题
本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1.已知z= (i为虚数单位)，则|z|=( )
A. B.1 C. D.2
2.计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为( )
A. B. C. D.
3.设命题p：∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为( )
A.∃a0<1，函数f(x)=xa0(x>0)是减函数
B.∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)不是减函数
C.∃a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数
D.∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)是减函数
4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点P移动4次后位于点(0，2)的概率是( )
A. B. C. D.
5.设F1，F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使 • =0，且| |=| |，则双曲线的离心率为( )
A.1± B.1+ C.2 D.
6.一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的体积等于( )
A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3
7.已知向量 =(1，λ)， =(2，1)，若2 + 与 =(1，﹣2)共线，则 在 方向上的投影是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
8.已知函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函数f(x)的单调递减区间的是( )
A.[0， ] B.[ ，π] C.[ ， ] D.[ ， ]
9.在如下程序框图中，已知f0(x)=sinx，则输出的结果是( )
A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx
10.(x2﹣3x+2)5的展开式中，含x项的系数为( )
A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120
11.如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.4 π B.12π C.12 π D.24π
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)= ，函数g(x)=(2x﹣x2)ex+m，若∀x1∈[﹣4，﹣2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣2] B.(﹣∞， +2] C.[ +2，+∞) D.(﹣∞， ﹣2]
高三理科数学一模考试卷非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=2x+1，则f(﹣2)等于 .
14.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2+y2﹣4x+3=0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为 .
15.若变量x，y满足 ，则z= 的取值范围是 .
16.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为 .
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn，点( ，Sn)在曲线y=2x2﹣2上.
(1)求证：数列{an}是等比数列;
(2)设数列{bn}满足bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn.
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证：平面BEF⊥平面PCD;
(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.
19.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：
学生 A B C D E
数学(x分) 89 91 93 95 97
物理(y分) 87 89 89 92 93
(1)根据表中数据，求物理分y关于数学分x的回归方程;
(2)试估计某同学数学考100分时，他的物理得分;
(3)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，试解决下列问题：
①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率;
②求随机变变量X的分布列及数学期望E(X).
(附：回归方程：： = x+ 中 = ， = ﹣b )
20.如图所示，已知点A(﹣1，0)是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B(1，﹣1).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证：直线QN过定点.
21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2，且函数f(x)在点(2，f(2))处 的切线的一个方向向量是(2，﹣3).
(1)若关于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在区间[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围;
(2)证明： ( )2> (n∈N*，且n≥2)
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22.如图，AB是圆O的直径，C，F为圆O上的点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C，且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M.
(1)求证：DF=BM;
(2)若圆O的半径为1，∠BAC=60°，试求线段CD的长.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为 (t为参数，a为常数).
(1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程;
(2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1：2，求实数a的值.
[选修4-5：不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|，g(x)=x+1.
(1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求实数k的取值范围.
高三理科数学一模考试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1.已知z= (i为虚数单位)，则|z|=( )
A. B.1 C. D.2
【考点】复数求模.
【专题】计算题;转化思想;定义法;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出.
【解答】解：z= = = = = + i，
∴|z|= =1，
故选：B.
【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题.
2.计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为( )
A. B. C. D.
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果.
【解答】解：﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°
=sin(47°﹣17°)=sin30°= ，
故选：A.
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题.
3.设命题p：∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为( )
A.∃a0<1，函数f(x)=xa0(x>0)是减函数
B.∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)不是减函数
C.∃a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数
D.∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)是减函数
【考点】命题的否定.
【专题】计算题;规律型;简易逻辑.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.
【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题p：∀a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为：∃a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数.
故选：C.
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题.
4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点P移动4次后位于点(0，2)的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】根据题意，分析可得质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次，进而借助排列、组合知识，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案.
【解答】解：根据题意，质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次;
则其概率为C41×( )1×( )3= ，
故选：D.
【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次的情况，这里要借助排列组合的知识.
5.设F1，F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使 • =0，且| |=| |，则双曲线的离心率为( )
A.1± B.1+ C.2 D.
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|=2c，令x=c代入双曲线的方程，可得 =2c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值.
【解答】解：由题意可得PF2⊥x轴，且|PF2|=2c，
由x=c代入双曲线的方程可得y=±b =± ，
即有 =2c，即c2﹣a2﹣2ac=0，
由e= ，可得e2﹣2e﹣1=0，
解得e=1+ (负的舍去).
故选：B.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，以及运用方程求解的思想，考查运算能力，属于基础题.
6.一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的体积等于( )
A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】计算题;函数思想;综合法;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】根据已知求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案.
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
圆锥形物体的母线长l=4m，侧面展开图的圆心角为 ，
故2πr= l，
解得：r= m，
故圆锥的高h= = m，
故圆锥的体积V= = πm3，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征和体积公式是解答的关键.
7.已知向量 =(1，λ)， =(2，1)，若2 + 与 =(1，﹣2)共线，则 在 方向上的投影是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.
【分析】根据向量共线求出λ，再代入平面向量的投影公式计算.
【解答】解：2 + =(4，2λ+1)，
∵2 + 与 =(1，﹣2)共线，
∴﹣8﹣(2λ+1)=0，解得λ=﹣ .
∴ ， =2﹣ =﹣ .
∴ 在 方向上的投影为| |× = =﹣ .
故选：D.
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线与数量积的关系，属于基础题.
8.已知函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函数f(x)的单调递减区间的是( )
A.[0， ] B.[ ，π] C.[ ， ] D.[ ， ]
【考点】余弦函数的图象.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递减区间.
【解答】解：由函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0)，函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ，
可得 • = ，∴ω=2，函数f(x)=3cos( ﹣2x)=3cos(2x﹣ ).
令2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，
可得函数的减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z.
结合所给的选项，
故选：C.
【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的单调性，属于基础题.
9.在如下程序框图中，已知f0(x)=sinx，则输出的结果是( )
A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx
【考点】程序框图.
【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算函数及导函数的函数值，模拟程序的运行，分析程序运行过程中函数值呈现周期性变化，求出周期T后，不难得到输出结果.
【解答】解：∵f0(x)=sinx，
f1(x)=cosx，
f2(x)=﹣sinx，
f3(x)=﹣cosx，
f4(x)=sinx，
f5(x)=cosx.
∴题目中的函数为周期函数，且周期T=4，
∴f2005(x)=f1(x)=cosx.
故选：B.
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模.
10.(x2﹣3x+2)5的展开式中，含x项的系数为( )
A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120
【考点】二项式定理的应用.
【专题】转化思想;综合法;二项式定理.
【分析】根据(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5，利用二项式定理展开，可得含x项的系数.
【解答】解：由于(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5
=[ •x5﹣ •x4+ •x3﹣ •x2+ •x﹣1]•[ •x5﹣2 •x4+4 •x3﹣8 •x2+16 •x﹣32]，
故展开式中，含x项的系数为﹣32• ﹣16• =﹣240，
故选：A.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.
11.如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.4 π B.12π C.12 π D.24π
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】几何体为直三棱柱，作出直观图，根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置，计算半径.
【解答】解：由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C'，
作出直观图如图所示：则AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2.∴AC=2 .
∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O，
∴外接球半径r=OA= AC'= = .
∴外接球的表面积S=4π× =12π.
故选B.
【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征，属于中档题.
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)= ，函数g(x)=(2x﹣x2)ex+m，若∀x1∈[﹣4，﹣2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞，﹣2] B.(﹣∞， +2] C.[ +2，+∞) D.(﹣∞， ﹣2]
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由f(x+2)=f(x)，可得周期T=2，可得f(x)在[0，2]的最小值即为f(x)在[﹣4，﹣2]的最小值，运用二次函数和指数函数的单调性，求得f(x)的最小值;对g(x)，求得导数，求得单调区间和极值，最值，可得g(x)的最小值，由题意可得f(x)min≥g(x)min，解不等式即可得到所求范围.
【解答】解：由f(x+2)=f(x)，可得周期T=2，
可得f(x)在[0，2]的最小值即为f(x)在[﹣4，﹣2]的最小值，
当0≤x<1时，f(x)= ﹣2x2>f(1)= ﹣2=﹣ ，
当1≤x<2时，f(x)= ，
f(x)在[1， )递减，在[ ，2)递增，
可得f(x)在x= 处取得最小值，且为﹣2;
由﹣2<﹣ ，可得f(x)在[0，2]的最小值为﹣2;
对于g(x)=(2x﹣x2)ex+m，g′(x)=(2﹣x2)ex，
当x∈[﹣1， ]时，g′(x)>0，g(x)递增;
当x∈[ ，2]时，g′(x)<0，g(x)递减.
可得x= 处g(x)取得极大值，也为最大值;
g(﹣1)=﹣3e﹣1+m
由题意可得f(x)min≥g(x)min，
即为﹣2≥﹣3e﹣1+m，即m≤ ﹣2.
故选：D.
【点评】本题考查了函数的性质和运用，考查周期性和单调性的运用，注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=2x+1，则f(﹣2)等于 5 .
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的定义有f(﹣2)=f(2)，从而将x=2带入x>0时的解析式f(x)=2x+1即可求出f(2)，从而得出f(﹣2)的值.
【解答】解：f(﹣2)=f(2)=22+1=5.
故答案为：5.
【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数求值时，要注意函数的定义域.
14.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2+y2﹣4x+3=0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】化圆的一般式方程为标准方程，求出圆心坐标和圆与x轴的交点，结合隐含条件求得椭圆的标准方程.
【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得(x﹣2)2+y2=1，
∴圆E的圆心为(2，0)，与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，
由题意可得，椭圆的右顶点为(2，0)，右焦点为(1，0)，
则a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，
则椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题.
15.若变量x，y满足 ，则z= 的取值范围是 [0，1] .
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;转化法;不等式.
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合斜率公式进行求解即可.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z的几何意义为区域内的点到点(﹣1，0)的斜率，
由图象知CD的斜率最小为0，
AD的斜率最大，
由 得 .即A(0，1)，
此时z= = =1，
即0≤z≤1，
故答案为：[0，1]
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键.
16.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为 600 m .
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】数形结合;数形结合法;解三角形.
【分析】在△ACM中由正弦定理解出AC，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得出CD.
【解答】解：在△ACM中，∠MCA=60°﹣15°=45°，∠AMC=180°﹣60°=120°，
由正弦定理得 ，即 ，解得AC=600 .
在△ACD中，∵tan∠DAC= = ，
∴DC=ACtan∠DAC=600 × =600 .
故答案为：600 .
【点评】本题考查了解三角形的应用，寻找合适的三角形是解题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{an}的前n项和为Sn，点( ，Sn)在曲线y=2x2﹣2上.
(1)求证：数列{an}是等比数列;
(2)设数列{bn}满足bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(1)通过Sn=2an﹣2与Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)作差，进而可得数列{an}是首项、公比均为2的等比数列;
(2)通过(1)裂项可知bn=4( ﹣ )，进而并项相加即得结论.
【解答】(1)证明：依题意，Sn=2an﹣2，
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)，
两式相减得：an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，
又∵a1=2a1﹣2，即a1=2，
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列;
(2)解：由(1)可知an=2n，
∴bn= = = =4( ﹣ )，
∴Tn=4(1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
=4(1﹣ )
= .
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题.
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点.
(1)求证：平面BEF⊥平面PCD;
(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.
【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.
【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(1)先推导出四边形ABED是矩形，从而AB⊥平面PAD，进而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD.
(2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.
【解答】证明：(1)∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四边形ABED是矩形，
∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，
∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，且CD⊥AD，
又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，
∵EF∩BE=E，∴EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，
又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
解：(2)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，
∵PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，∠PAD=120°，
∴PA= = =2，AD=BE= =2，
BC= = =2，
则P(0，﹣1， )，D(0，2，0)，B( )，C(2 ，2，0)，
=(0，3，﹣ )， =(﹣ )， =( )，
设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，
则 ，取x= ，得 =( ， )，
设直线PD与平面PBC所成的角为θ，
sinθ=|cos< >|=| |=| |= .
∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为 .
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
19.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：
学生 A B C D E
数学(x分) 89 91 93 95 97
物理(y分) 87 89 89 92 93
(1)根据表中数据，求物理分y关于数学分x的回归方程;
(2)试估计某同学数学考100分时，他的物理得分;
(3)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，试解决下列问题：
①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率;
②求随机变变量X的分布列及数学期望E(X).
(附：回归方程：： = x+ 中 = ， = ﹣b )
【考点】线性回归方程.
【专题】函数思想;综合法;概率与统计.
【分析】(1)根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程;
(2)根据回归方程估计;
(3)依次计算X=0，1，2时的概率，列出分布列计算数学期望.
【解答】解：(1) ， .
=(﹣4)2+(﹣2)2+0+22+42=40.
=(﹣4)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣1)+0+2×2+4×3=30.
∴ = ， =90﹣0.75×93=20.25.
∴物理分y关于数学分x的回归方程为 =0.75x+20.25.
(2)当x=100时， =0.75×100+20.25=95.25分.
(3)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
P(X=0)= = .
P(X=1)= = .
P(X=2)= = .
①至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率为P=P(X=0)+P(X=1)= .
②X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴X的数学期望E(X)=0× +1× +2× =1.
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，古典概型的概率计算，随机变量的数学期望，属于基础题.
20.如图所示，已知点A(﹣1，0)是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B(1，﹣1).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证：直线QN过定点.
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由题意，抛物线的准线方程为x=﹣1，即可求出抛物线的方程;
(2)设AM的方程为y=k(x+1)，代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，则y1y2=4，直线MB的方程为y+1= (x﹣1)，可得y2y3+4(y2+y3)+4=0，直线QN的方程为y﹣y2= (x﹣x2)，可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0，即可得出直线QN过定点.
【解答】(1)解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣1，
∴抛物线的方程为y2=4x;
(2)证明：设AM的方程为y=k(x+1)，代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，则y1y2=4，
由kMQ= = = ，
直线MB的方程为y+1= (x﹣1)，
∴y1+1= (x1﹣1)，
可得y1=﹣ ，
∴ =﹣ ，
∴y2y3+4(y2+y3)+4=0
直线QN的方程为y﹣y2= (x﹣x2)
可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0，
∴x=1，y=﹣4，
∴直线QN过定点(1，﹣4)
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2，且函数f(x)在点(2，f(2))处 的切线的一个方向向量是(2，﹣3).
(1)若关于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在区间[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围;
(2)证明： ( )2> (n∈N*，且n≥2)
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.
【专题】转化思想;分析法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，即为g(x)=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[ ，2]上有两个交点，求得g(x)的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围;
(2)可得当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减.即有lnx﹣ x2<﹣ ，即为lnx< (x2﹣1)，即有 > = ﹣ ，可令x=2，3，…，n，累加即可得证.
【解答】解：(1)函数f(x)=lnx﹣ax2的导数为f′(x)= ﹣2ax，
由题意可得在点(2，f(2))处的切线斜率为 ﹣4a=﹣ ，
解得a= ，
即有f(x)=lnx﹣ x2，
由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，
即为g(x)=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[ ，2]上有两个交点，
由g(x)的导数为g′(x)= +2x﹣3= ，
当
当1
则有g(1)<﹣b≤g( )，
即为﹣2<﹣b≤﹣ln2﹣ ，解得ln2+ ≤b<2;
(2)证明：由f(x)=lnx﹣ x2的导数为f′(x)= ﹣x= ，
当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减.
即有lnx﹣ x2<﹣ ，即为lnx< (x2﹣1)，
即有 > = ﹣ ，
则有 + +…+ >1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
=1+ ﹣ ﹣ = =
=(3+ )• > .
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22.如图，AB是圆O的直径，C，F为圆O上的点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C，且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M.
(1)求证：DF=BM;
(2)若圆O的半径为1，∠BAC=60°，试求线段CD的长.
【考点】与圆有关的比例线段.
【专题】转化思想;转化法;推理和证明.
【分析】(1)根据三角形全等以及切割线定理进行证明即可证明DF=BM;
(2)根据三角形中的边角关系进行求解即可.
【解答】解：(1)连接OC，CB，则有∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACO，则OC∥AD，
∵DC是圆O的切线，∴CD⊥OC，
则CD⊥AD，
由题意得△AMC≌△ADC，
∴DC=CM，DA=AM，
由切割线定理得DC2=DF•DA=DF•AM=CM2，①，
在Rt△ABC中，由射影定理得CM2=AM•BM，②，
由①②得DF•AM=AM•MB，即DF=MB.
(2)在Rt△ABC中，AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2× = ，
则CM= AC= ，
于是CD=CM= ，
即CD的长为 .
【点评】本题主要考查几何的推理和证明，根据切割线定理以及三角形全等关系是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为 (t为参数，a为常数).
(1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程;
(2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1：2，求实数a的值.
【考点】参数方程化成普通方程;参数的意义.
【专题】数形结合;转化法;直线与圆;坐标系和参数方程.
【分析】(1)利用极坐标公式，把极坐标方程化为普通方程，消去参数t，把参数方程化为普通方程;
(2)根据题意，得出直线l被圆C截得的弦所对的圆心角为120°，圆心C到直线l的距离d= r，由此列出方程求出a的值.
【解答】解：(1)圆C的极坐标方程ρ=4cosθ﹣2sinθ可化为ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，
利用极坐标公式，化为普通方程是x2+y2=4x﹣2y，
即(x﹣2)2+(y+1)2=5;
直线l的参数方程为 ，
消去参数t，化为普通方程是y= ﹣ax;
(2)圆C的方程为(x﹣2)2+(y+1)2=5，圆心C为(2，﹣1)，半径r= ，
直线l的方程为y= ﹣ax，即ax+y﹣ =0，
直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧，
∴直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°，
∴圆心C到直线l的距离d= r= ，
即 = ，
整理得11a2﹣24a+4=0，
解得a=2或a= .
【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，由题意得出圆心C到直线l的距离d等于半径r的一半是解题的关键.
[选修4-5：不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|，g(x)=x+1.
(1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立，求实数k的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】综合题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】(1)问题转化为|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0，设函数y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可;
(2)问题 等价于|2k﹣1|≤2，解出即可.
【解答】解(1)k=1时，不等式f(x)>g(x)化为：|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0，
设函数y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1，则y= ，
令y>0，解得：x>4或x< ，
∴原不等式的解集是{x|x< 或x>4};
(2)∵f(x)﹣|kx﹣1|+|kx﹣2k|>|kx﹣1﹣kx+2k|﹣|2k﹣1|，
∴存在x0∈R，使得不等式f(x0)≤2成立
等价于|2k﹣1|≤2，解得：﹣ ≤k≤ ，
故所求实数k的范围是[﹣ ， ].
【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题.
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