广东茂名高考数学一模试卷(2)
广东茂名高考数学一模试卷
广东茂名高考数学一模试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=( )
A.(0，2] B.(0，2) C.[0，2] D.[2，+∞)
【考点】交集及其运算.
【分析】由一元二次不等式的解法、指数函数的值域求出集合M、N，由交集的运算求出答案.
【解答】解：依题意得，M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]，
且N={y|y=2x}={y|y>0}=(0，+∞)，
∴M∩N=(0，2]，
故选：A.
【点评】本题考查交集及其运算，一元二次不等式的解法，以及指数函数的值域，属于基础题.
2.设i为虚数单位，复数(2﹣i)z=1+i，则z的共轭复数 在复平面中对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出.
【解答】解：复数(2﹣i)z=1+i，
∴(2+i)(2﹣i)z=(2+i)(1+i)，
∴z=
则z的共轭复数 = ﹣ i在复平面中对应的点 在第四象限.
故选：D.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
3.如图，函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0，|φ|< )的图象过点(0， )，则f(x)的图象的一个对称中心是( )
A.(﹣ ，0) B.(﹣ ，0) C.( ，0) D.( ，0)
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点(0， )，可得sinφ= ，由|φ|< ，可解得φ，由2x+ =kπ，k∈Z可解得f(x)的图象的对称中心是：( ，0)，k∈Z，对比选项即可得解.
【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点(0， )，
可得：2sinφ= ，即sinφ= ，由于|φ|< ，
解得：φ= ，
即有：f(x)=2sin(2x+ ).
由2x+ =kπ，k∈Z可解得：x= ，k∈Z，
故f(x)的图象的对称中心是：( ，0)，k∈Z
当k=0时，f(x)的图象的对称中心是：( ，0)，
故选：B.
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ )的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题.
4.设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(﹣x)≠f(x).命题q：f(x)=x|x|在(﹣∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )
A.p为假 B.￢q为真 C.p∨q为真 D.p∧q为假
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可.
【解答】解：函数f(x)不是偶函数，仍然可∃x，使f(﹣x)=f(x)，故p为假;
f(x)=x|x|= 在R上都是增函数，q为假;
故 p∨q为假，
故选：C.
【点评】本题考查了复合命题的真假，判断函数的单调性.是一道基础题.
5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤;在细的一端截下1尺，重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6 斤 B.9 斤 C.9.5斤 D.12 斤
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由此利用等差数列性质能求出结果.
【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，
设首项a1=4，则a5=2，
由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6，
所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.
故选：A.
【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.
6.已知定义域为R的偶函数f(x)在(﹣∞，0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2，+∞) B. C. D.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f(log2x)>2⇔|log2x|>1;化简可得log2x>1或log2x<﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案.
【解答】解：f(x)是R的偶函数，在(﹣∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，+∞)上是增函数，
所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1;
即log2x>1或log2x<﹣1;
解可得x>2或 .
故选：B.
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程.
7.执行如图的程序框图，若输出的结果是 ，则输入的a为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】程序框图.
【分析】算法的功能是求S= + +…+ 的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S= + +…+ 的值，
∵S= =1﹣ = .∴n=5，
∴跳出循环的n值为5，
∴判断框的条件为n<5.即a=5.
故选：C.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.
8.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+ π，则该几何体的体积为( )
A.4π B.2π C. π D.3π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球.表面积为6π+ π= +2πr×2r+2πr2，解得r.再利用体积计算公式即可得出.
【解答】解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球.
表面积为6π+ π= +2πr×2r+2πr2，解得r=1.
∴该几何体的体积V= r2×r+πr2×2r+ =3π.
故选：D.
【点评】本题考查了圆柱、圆球、三棱锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有( )
A.6种 B.24种 C.30种 D.36种
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论.
【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共 种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共 种方法，故总的方法种数为 ﹣ =36﹣6=30.
故选：C.
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题.
10.过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为( )
A. B. C.R D.
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】由题意画出图形，可知A﹣BCD是正四面体，设AB=a，结合球心为正四面体的中心通过求解直角三角形得答案.
【解答】解：由条件可知A﹣BCD是正四面体，如图：
A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，
则过点B、C、D的截面圆半径 ，
正四面体A﹣BCD的高 ，则截面BCD与球心的距离 ，
∴ ，解得 .
故选：A.
【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，是中档题.
11.过双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的右焦点F2(c，0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】圆锥曲线的综合;双曲线的简单性质.
【分析】说明M是F2P的中点.设抛物线的焦点为F1，则F1为(﹣c，0)，也是双曲线的焦点.画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线.通过PF2⊥PF1，可得|PF2|= ，设P(x，y)，推出 c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可.
【解答】解：如图9，∵ ，∴M是F2P的中点.
设抛物线的焦点为F1，则F1为(﹣c，0)，也是双曲线的焦点.
连接PF1，OM.∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为
△PF2F1的中位线.∵OM=a，∴|PF1|=2 a.∵OM⊥PF2，
∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|= ，设P(x，y)，则 c﹣x=2a，
于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c(c﹣2 a)，过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a.
由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c(c﹣2a)+4 a2=4(c2﹣a2)，
变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2
有 e2﹣e﹣1=0，所以e= ，负值已经舍去.
故选：D.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.
12.已知f(x)=|xex|，又g(x)=f2(x)﹣tf(x)(t∈R)，若满足g(x)=﹣1的x有四个，则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.
【分析】令y=xex，则y'=(1+x)ex，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xex图象，利用图象变换得f(x)=|xex|图象，令f(x)=m，则关于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0两根分别在 ，满足g(x)=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可.
【解答】解：令y=xex，则y'=(1+x)ex，由y'=0，得x=﹣1，
当x∈(﹣∞，﹣1)时，y'<0，函数y单调递减，
当x∈(﹣1，+∞)时，y'>0，函
数y单调递增.作出y=xex图象，
利用图象变换得f(x)=|xex|图象(如图10)，
令f(x)=m，则关于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0
两根分别在 时(如图11)，
满足g(x)=﹣1的x有4个，由 ，
解得 .
故选：B.
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上.
13.如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为 133.8
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图求出x=0.024，由此能估计工人生产能力的平均数.
【解答】解：由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)×10=1，
解得x=0.024.
估计工人生产能力的平均数为：
=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8.
故答案为：133.8.
【点评】本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用.
14.已知 ，则二项式 展开式中的常数项是 240 .
【考点】二项式定理的应用;定积分.
【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论.
【解答】解： =sinx =2，则二项式 = 展开式的通项公式为 ，
令 ，求得r=4，所以二项式 展开式中的常数项是 ×24=240.
故答案为：240.
【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题.
15.若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P(a，b)在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动，则 的取值范围是 (﹣∞，﹣2]∪[2，+∞) .
【考点】简单线性规划.
【分析】由已知列式求得m值，代入约束条件，作出可行域，结合 的几何意义，即区域OAB内点P(a，b)与点Q(1，2)连线的斜率求解.
【解答】解：∵圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，
∴圆心 在直在线x﹣y=0上，则 ，
约束条件 表示的平面区域如图：
表示区域OAB内点P(a，b)与点Q(1，2)连线的斜率.
∵ ， ，
∴ 的取值范围是(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞).
故答案为：(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞).
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题.
16.已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且 (n∈N*).若不等式 对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 [﹣3，0] .
【考点】数列与函数的综合.
【分析】利用已知条件，结合等差数列的性质， ，得到an=2n﹣1，n∈N*，然后①当n为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3，②当n为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解 λ≤0，然后推出实数λ的取值范围.
【解答】解： ，
⇒an=2n﹣1，n∈N*⇒
①当n为奇数时， ，
是关于n(n∈N*)的增函数.
所以n=1时f(n)最小值为f(1)=2﹣2+3=3，这时﹣λ≤3，λ≥﹣3，
②当n为偶数时， 恒成立，
n为偶数时， 是增函数，当n=2时，g(n)最小值为g(2)=4+1﹣5=0，
这时 λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3，0].
故答案为：[﹣3，0].
【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2017•茂名一模)已知函f(x)=sin(2x﹣ )﹣cos2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合;
(Ⅱ)设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，b=1， ，且a>b，求角B和角C.
【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数.
【分析】(I)根据两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值化简解析式，由三角函数的周期公式函数f(x)的最小正周期，由正弦函数的最值求出最大值及取得最大值时x的集合;
(II)由(Ⅰ)化简 ，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由条件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C，并结合条件验证边角关系.
【解答】解：(Ⅰ)由题意得，f(x)=sin2xcos ﹣cos2xsin ﹣cos2x…(1分)
= …(2分)
∴函数f(x)的最小正周期为 …(3分)
当 ，即 时，
f(x)取最大值为 ，…(4分)
这时x的集合为 …
(Ⅱ)由(I)知， ，
∴ ，…(6分)
∵0
∴ ，…(8分)
，
∴由正弦定理得 ，则 ，…(9分)
∵C为三角形的内角，∴ …(10分)
;…(11分)
，
由a>b得A>B，则 舍去，
∴ …(12分)
【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，注意内角的范围和边角关系.
18.(12分)(2017•茂名一模)调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级;若2≤ω≤3，则长势为二级;若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：
种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5
(x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (0，0，1) (1，2，1)
种植地编号 A6 A7 A8 A9 A10
(x，y，z) (1，1，2) (1，1，1) (1，2，2) (1，2，1) (1，1，1)
(Ⅰ)在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率;
(Ⅱ)从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A﹣B，求X的分布列及其数学期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10，空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，求出这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n，这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数，然后求解概率.
(Ⅱ)随机变量X=A﹣B的所有可能取值为1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可.
【解答】解：(Ⅰ)由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10…(1分)
空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，…(2分)
在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n= …(3分)
这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数 …
∴这两地的空气温度的指标z相同的概率 …(6分)
(Ⅱ)由题意得10块种植地的综合指标如下表：
编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
综合指标 4 4 6 1 4 4 3 5 4 3
其中长势等级是一级(ω≥4)有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7个，
长势等级不是一级(ω<4)的有A4，A7，A10，共3个，…(7分)
随机变量X=A﹣B的所有可能取值为1，2，3，4，5，…(8分)
w=4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w=3的有A7，A10共2块地，这时有X=4﹣3=1
所以 ，…(9分)
同理 ， ， …(10分)
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
…(11分)
…(12分)
【点评】本题考查离散性随机变量的分布列的求法，概率的求法，考查转化思想以及计算能力.
19.(12分)(2017•茂名一模)如图1，在边长为 的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点.
(Ⅰ)求证：MN∥平面OBC;
(Ⅱ)求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)法一：取OG中点F，连结BF、FN，证明MN∥BF，然后证明MN∥平面OBC.法二：延长EM、OB交于点Q，连结GQ，证明M为EQ中点，推出MN∥QG，然后证明MN∥平面OBC.
(Ⅱ)法一：证明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，证明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，说明∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可.
法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出面BOE的一个法向量，平面MGE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.
【解答】(Ⅰ)证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，
则中位线FN∥ OE且FN= OE，
又BM∥ OE且BM= OE …(1分)
所以FN∥BM且FN=BM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，…(2分)
又MN⊄平面OBC，BF⊂平面OBC，所以MN∥平面OBC.…(4分)
法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ，
因为BM∥OE且BM=OE，所以 ，
M为EQ中点，…(1分)
所以中位线MN∥QG …(2分)
又MN⊄平面OBC，QG⊂面OBC，所以MN∥平面OBC.…(4分)
(Ⅱ)解：法一如图14，因为OB=OC= ，∠BOC=120°，
所以 ，…
又BG=2GC.所以 ， ，
∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…(6分)
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，QE⊂面OBE OG⊥QE，…(8分)
又M为EQ中点，所以OQ=OE= ，所以OM⊥QE，OM∩OG=O，
所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角.…(9分)
所以Rt△MOG中， ， ，…(11分) ，∴二面角 G﹣ME﹣B的余弦值为 …(12分)
法二：如图15，∵OB=OC= ，∠BOC=120°，
∴ ，…
又BG=2GC，∴ ， ，
∴OB2+OG2=BG2，
∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…(6分)
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，OE⊂面OBE，∴OG⊥OE…(8分)
建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则M( ，G(0，1，0)，E( ， ，…(9分)
而 是平面BOE的一个法向量，…(11分)
设平面MGE的法向量为 ，
则 ，
令 z=1，则 ，
面MGE的一个法向量为 ，…(10分)
所以
所以，二面角 G﹣ME﹣B的余弦值为 …(12分)
【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.
20.(12分)(2017•茂名一模)设x，y∈R，向量 分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量 ， ，且 .
(Ⅰ)求点M(x，y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设椭圆 ，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值.
【考点】圆锥曲线的定值问题;圆锥曲线的轨迹问题;直线与椭圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)通过 ，得到 ，说明点M(x，y)到两个定点F1( ，0)，F2( ，0)的距离之和为4，推出点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，然后求解即可.
(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵ ， ，且 ，
∴
∴点M(x，y)到两个定点F1( ，0)，F2( ，0)的距离之和为4…(2分)
∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，
设所求椭圆的标准方程为 ，
a=2∴b2=a2﹣c2=1…(3分)
其方程为 …(4分)
(Ⅱ)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，
∴△>0，由韦达定理可得： ， .…
所以 …(6分)
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积 …(7分)
= …(8分)
设
将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0…(10分)
由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…(11分)
又因为 ，
故 为定值.…(12分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力.
21.(12分)(2017•茂名一模)已知函数f(x)=x3﹣x+2 .
(Ⅰ)求函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)令g(x)= +lnx，若函数y=g(x)在(e，+∞)内有极值，求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意t∈(1，+∞)，s∈(0，1)，求证： .
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(Ⅱ)化简g(x)的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h(x)=x2﹣(a+2)x+1，要使y=g(x)在(e，+∞)上有极值，转化为 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围.
(Ⅲ)转化已知条件为∀t∈(1，+∞)，都有g(t)≥g(x2)，通过函数的单调性以及最值，推出 = ，构造函数 ，利用导数以及单调性求解即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵f(1)=13﹣1+2×1=2.…(1分)
…(2分)
∴函数y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：
y﹣2=3(x﹣1)，即3x﹣y﹣1=0. …(3分)
(Ⅱ)解：
定义域为(0，1)∪(1，+∞)∴ …(4分)
设h(x)=x2﹣(a+2)x+1，要使y=g(x)在(e，+∞)上有极值，
则 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1，x2，
∴△=(a+2)2﹣4>0∴a>0或a<﹣4①…
而且一根在区间(e，+∞)上，不妨设x2>e，又因为x1•x2=1，∴ ，
又h(0)=1，
∴
联立①②可得： …(6分)
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当x∈(1，x2)，g'(x)<0，∴g(x)单调递减，
x∈(x2+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增
∴g(x)在(1，+∞)上有最小值g(x2)即∀t∈(1，+∞)，都有g(t)≥g(x2)…(7分)
又当x∈(0，x1)，g'(x)>0∴g(x)单调递增，当x∈(x1，1)，g'(x)<0，∴g(x)单调递减，
∴g(x)在(0，1)上有最大值g(x1)即对∀s∈(0，1)，都有g(s)≤g(x1)…(8分)
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈(0， )，x2∈(e，+∞)，
∴ =
= …(10分)
，
∴ ，
∴k(x)在(e，+∞)上单调递增，∴ …(11分)
∴ …(12分)
【点评】本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程](共1小题，满分10分)
22.(10分)(2017•茂名一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 .
(Ⅰ)写出曲线C1，C2的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C1的左焦点且倾斜角为 的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C1，C2的普通方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程为： (t为参数)，将其代入曲线C2整理可得： ，利用参数的几何运用求|AB|.
【解答】解：(Ⅰ) …(1分)
即C1的普通方程为 .…(3分)
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C2可化为 x2+y2+4x﹣2y+4=0，…(3分)
即(x+2)2+(y﹣1)2=1.…(4分)
(Ⅱ)曲线C1左焦点为(﹣4，0)，…
直线l的倾斜角为 ， .…(6分)
所以直线l的参数方程为： (t为参数)，…(7分)
将其代入曲线C2整理可得： ，…(8分)
所以△= .
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则 .…(9分)
所以 .…(10分)
【点评】本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题.
[选修4-5：不等式选讲](共1小题，满分0分)
23.(2017•茂名一模)已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|，g(x)=|x﹣1|+2.
(Ⅰ)若a=1，解不等式f(x)<6;
(Ⅱ)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可;
(Ⅱ)问题转化为{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，分别求出f(x)，g(x)的最小值，得到关于a的不等式，解出即可.
【解答】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)<6，即|2x﹣1|+|2x+3|<6，
即 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴﹣2
所以不等式f(x)<6的解集为{x|﹣2
(Ⅱ)对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，
则有{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，
又f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|
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