天津市高考数学一模考试卷

天津市高考数学一模考试卷

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　　天津市高考数学一模考试卷选择题

　　1.集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则(∁RA)∩B=(　　)

　　A.(0，+∞) B.{﹣2，﹣1，1，2} C.{﹣2，﹣1} D.{1，2}

　　2.已知x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的取值范围为(　　)

　　A.[6，10] B.(6，10] C.(﹣2，10] D.[﹣2，10)

　　3.如图所示的程序框图，输出S的值是(　　)

　　A.30 B.10 C.15 D.21

　　4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是(　　)

　　A. B.2 C.1 D.

　　5.α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线.若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的(　　)

　　A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且 ，则A点的横坐标为(　　)

　　A. B.3 C. D.4

　　7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 • 的值为(　　)

　　A.﹣ B. C. D.

　　8.已知函数f(x)= ，若有三个不同的实数a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为(　　)

　　A.(2π，2017π) B.(2π，2018π) C.( ， ) D.(π，2017π)

　　天津市高考数学一模考试卷非选择题

　　二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

　　9.设i为虚数单位，则复数 =　　.

　　10.在(2x2﹣ )5的二项展开式中，x的系数为　　.

　　11.已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=　　.

　　12.已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程 ，(t为参数)设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值　　.

　　13.已知下列命题：

　　①命题：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3;

　　②若f(x)=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x);

　　③若f(x)=x+ ，则∃x0∈(0，+∞)，f(x0)=1;

　　④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21;

　　⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.

　　其中真命题是　　.(只填写序号)

　　14.定义在R上的函数f(x)满足：f(2)=1，且对于任意的x∈R，都有f′(x)< ，则不等式f(log2x)> 的解集为　　.

　　三、解答题(本大题共6小题，共80分)

　　15.(13分)已知函数

　　(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;

　　(Ⅱ)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.

　　16.(13分)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡.

　　(Ⅰ)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;

　　(Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

　　17.(13分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2.

　　(Ⅰ)求证：CE∥平面PAD;

　　(Ⅱ)求PD与平面PCE所成角的正弦值;

　　(Ⅲ)在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在，求 的值;如果不存在，说明理由.

　　18.(13分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2.

　　(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

　　(Ⅱ)设bn= ，Tn为{bn}的前n项和，求T2n.

　　19.(14分)已知函数f(x)=x﹣ ﹣2lnx，a∈R.

　　(1)讨论函数f(x)的单调性;

　　(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1

　　(3)在(2)的条件下，证明：f(x2)

　　20.(14分)已知椭圆E： (a>b>0)的离心率 ，且点 在椭圆E上.

　　(Ⅰ)求椭圆E的方程;

　　(Ⅱ)直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点 .求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.

　　天津市高考数学一模考试卷答案

　　一、选择题

　　1.集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则(∁RA)∩B=(　　)

　　A.(0，+∞) B.{﹣2，﹣1，1，2} C.{﹣2，﹣1} D.{1，2}

　　【考点】交、并、补集的混合运算.

　　【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可.

　　【解答】解：集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，

　　则∁RA={x|x≤0}，

　　所以(∁RA)∩B={﹣2，﹣1}.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了交集和补集的定义与运算问题，是基础题.

　　2.已知x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的取值范围为(　　)

　　A.[6，10] B.(6，10] C.(﹣2，10] D.[﹣2，10)

　　【考点】简单线性规划.

　　【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

　　【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

　　化目标函数为y=﹣3x+z，

　　由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，z取最大值，

　　由 ，得A(4，﹣2)，此时zmax=3×4﹣2=10;

　　当直线y=﹣3x+z过点B时，由 ，解得B(0，﹣2)，故z>3×0﹣2=﹣2.

　　综上，z=3x+y的取值范围为(﹣2，10].

　　故选：C.

　　【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

　　3.如图所示的程序框图，输出S的值是(　　)

　　A.30 B.10 C.15 D.21

　　【考点】程序框图.

　　【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案.

　　【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3

　　当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4

　　当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5

　　当S=15时，不满足进入循环的条件，

　　故输出的S值为15

　　故选C.

　　【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理.

　　4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是(　　)

　　A. B.2 C.1 D.

　　【考点】由三视图求面积、体积.

　　【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC.取AB的中点D，连接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB.

　　【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC.

　　取AB的中点D，连接CD，PD，

　　则CD⊥AB，PD⊥AB，

　　CD= ，PD= = = .

　　∴S△PAB= = .

　　故选：A.

　　【点评】本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

　　5.α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线.若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的(　　)

　　A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

　　【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可.

　　【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，

　　∵l∥m，l⊄α，l⊄β，

　　∴l∥α，l∥β，

　　必要性：过l作平面γ交β于直线n，

　　∵l∥β，

　　∴l∥n，

　　若n与m重合，则l∥m，

　　若n与m不重合，则n⊄α，

　　∵l∥α，∴n∥α，

　　∵n⊂β，α∩β=m，

　　∴n∥m，

　　故l∥m，

　　故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，

　　故选：C

　　【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键.

　　6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且 ，则A点的横坐标为(　　)

　　A. B.3 C. D.4

　　【考点】圆锥曲线的共同特征.

　　【分析】根据双曲线 得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(﹣3，y0)，根据|AK|= |AF|及AF=AB=x0﹣(﹣3)=x0+3，进而可求得A点坐标.

　　【解答】解：∵双曲线 ，其右焦点坐标为(3，0).

　　∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，

　　∴K(﹣3，0)

　　设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(﹣3，y0)

　　∵|AK|= |AF|，又AF=AB=x0﹣(﹣3)=x0+3，

　　∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=(x0+3)2，即12x0=(x0+3)2，

　　解得x0=3.

　　故选B.

　　【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握.

　　7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 • 的值为(　　)

　　A.﹣ B. C. D.

　　【考点】平面向量数量积的运算.

　　【分析】由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案.

　　【解答】解：如图，

　　∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，

　　∴ • = =

　　= =

　　= = =

　　= .

　　故选：B.

　　【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题.

　　8.已知函数f(x)= ，若有三个不同的实数a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为(　　)

　　A.(2π，2017π) B.(2π，2018π) C.( ， ) D.(π，2017π)

　　【考点】根的存在性及根的个数判断.

　　【分析】作出y=f(x)的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案.

　　【解答】解：当x∈[0，π]时，f(x)=cos(x﹣ )=sinx，

　　∴f(x)在[0，π]上关于x= 对称，且fmax(x)=1，

　　又当x∈(π，+∞)时，f(x)=log2017 是增函数，

　　作出y=f(x)的函数图象如图所示：

　　令log2017 =1得x=2017π，

　　∵f(a)=f(b)=f(c)，

　　∴a+b=π，c∈(π，2017π)，

　　∴a+b+c=π+c∈(2π，2018π).

　　故选：B.

　　【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题.

　　二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

　　9.设i为虚数单位，则复数 =　﹣4﹣3i　.

　　【考点】复数代数形式的乘除运算.

　　【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 得答案.

　　【解答】解： = ，

　　故答案为：﹣4﹣3i.

　　【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

　　10.在(2x2﹣ )5的二项展开式中，x的系数为　﹣ 　.

　　【考点】二项式系数的性质.

　　【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求出x的系数是什么.

　　【解答】解：∵二项式(2x﹣ )5展开式的通项公式是

　　Tr+1= •(2x2)5﹣r• =(﹣1)r• •25﹣r• •x10﹣3r，

　　令10﹣3r=1，解得r=3;

　　∴T3+1=(﹣1)3• •22• •x;

　　∴x的系数是﹣ •22• =﹣ .

　　故答案为：﹣ .

　　【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础性题目.

　　11.已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=　 　.

　　【考点】余弦定理;正弦定理.

　　【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出.

　　【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，

　　∴由正弦定理得a=2c，

　　由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，

　　将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB= = = .

　　故答案为： .

　　【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题.

　　12.已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程 ，(t为参数)设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值　 　.

　　【考点】简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程.

　　【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P(0，1)为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离.

　　【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程：

　　x2+y2﹣2y=0，即x2+(y﹣1)2=1

　　∴曲线C表示以点P(0，1)为圆心，半径为1的圆

　　∵直L的参数方程是：

　　∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8=0

　　∴可得L与x轴的交点M坐标为(2，0)

　　∴

　　由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于

　　故答案为：

　　【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题.

　　13.已知下列命题：

　　①命题：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3;

　　②若f(x)=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x);

　　③若f(x)=x+ ，则∃x0∈(0，+∞)，f(x0)=1;

　　④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21;

　　⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.

　　其中真命题是　①②④⑤　.(只填写序号)

　　【考点】命题的真假判断与应用.

　　【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定;

　　②，若f(x)=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，;

　　③，对于函数f(x)=x+ ，当且仅当x=1时，f(x)=1;

　　④， ，;

　　⑤，若A>B，则a>b，⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，.

　　【解答】解：对于①，命题：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3，正确;

　　对于②，若f(x)=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，正确;

　　对于③，对于函数f(x)=x+ ，当且仅当x=0时，f(x)=1，故错;

　　对于④，等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3， ，故正确;

　　对于⑤，在△ABC中，若A>B，则a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，故正确.

　　故答案为：①②④⑤

　　【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了函数、数列等基础知识，属于中档题.

　　14.定义在R上的函数f(x)满足：f(2)=1，且对于任意的x∈R，都有f′(x)< ，则不等式f(log2x)> 的解集为　{x丨0