高中数学反证法例题

　　反证法首先假设某命题不成立(即在原命题的题设下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。下面由学习啦小编给你带来关于高中数学反证法例题，希望对你有帮助!

　　高中数学反证法例题一

　　选择题

　　1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)

　　A.有一个解

　　B.有两个解

　　C.至少有三个解

　　D.至少有两个解

　　[答案]　C

　　[解析]　在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

　　2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(　　)

　　A.a、b、c都是奇数

　　B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

　　C.a、b、c都是偶数

　　D.a、b、c中至少有两个偶数

　　[答案]　B

　　[解析]　a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数;②有两个奇数，一个偶数;③有一个奇数，两个偶数;④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.

　　3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(　　)

　　A.假设三内角都不大于60°

　　B.假设三内角都大于60°

　　C.假设三内角至多有一个大于60°

　　D.假设三内角至多有两个大于60°

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.

　　4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)

　　A.假设a，b，c都是偶数

　　B.假设a、b，c都不是偶数

　　C.假设a，b，c至多有一个偶数

　　D.假设a，b，c至多有两个偶数

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.

　　5.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)

　　A.a

　　B.a≤b

　　C.a=b

　　D.a≥b

　　[答案]　B

　　[解析]　“a>b”的否定应为“a=b或a

　　6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)

　　A.一定是异面直线

　　B.一定是相交直线

　　C.不可能是平行直线

　　D.不可能是相交直线

　　[答案]　C

　　[解析]　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.

　　7.设a，b，c∈(-∞，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中(　　)

　　A.都不大于-2

　　B.都不小于-2

　　C.至少有一个不大于-2

　　D.至少有一个不小于-2

　　[答案]　C

　　[解析]　a+1b+c+1a+b+1c

　　=a+1a+b+1b+c+1c

　　∵a，b，c∈(-∞，0)，

　　∴a+1a=--a+-1a≤-2

　　b+1b=--b+-1b≤-2

　　c+1c=--c+-1c≤-2

　　∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

　　∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.

　　8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)

　　A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

　　B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

　　C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

　　D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

　　[答案]　B

　　[解析]　对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

　　则有l∥m，与l、m异面矛盾;对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α);对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一.

　　9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)

　　A.甲

　　B.乙

　　C.丙

　　D.丁

　　[答案]　C

　　[解析]　因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.

　　10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)

　　A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1

　　B.存在正整数n，使xn=xn+1

　　C.存在正整数n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1

　　D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

　　[答案]　D

　　[解析]　命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”.故应选D.

　　高中数学反证法例题二

　　填空题

　　11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.

　　[答案]　没有一个是三角形或四边形或五边形

　　[解析]　“至少有一个”的否定是“没有一个”.

　　12.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________.

　　[答案]　a，b都不能被5整除

　　[解析]　“至少有一个”的否定是“都不能”.

　　13.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

　　①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立;

　　②所以一个三角形中不能有两个直角;

　　③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.

　　正确顺序的序号排列为____________.

　　[答案]　③①②

　　[解析]　由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.

　　14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

　　假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.

　　显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.

　　[答案]　质数只有有限多个　除p1、p2、…、pn之外

　　[解析]　由反证法的步骤可得.

　　高中数学反证法例题三

　　解答题

　　15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.

　　求证：a>0，b>0，c>0.

　　[证明]　用反证法：

　　假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

　　不妨设a<0，b<0，c>0，则由a+b+c>0，

　　可得c>-(a+b)，

　　又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)

　　ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab

　　即ab+bc+ca<-a2-ab-b2

　　∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，

　　这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.

　　因此a>0，b>0，c>0成立.

　　16.已知a，b，c∈(0,1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.

　　[证明]　证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，

　　同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.

　　三式相加，得

　　(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，

　　即32>32，矛盾.

　　所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.

　　证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得

　　(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①

　　因为0

　　同理，0

　　所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②

　　因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.

　　17.已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R.

　　(1)若a+b≥0，求证：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

　　(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.

　　[解析]　(1)证明：∵a+b≥0，∴a≥-b.

　　由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).

　　又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).

　　两式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

　　(2)逆命题：

　　f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.

　　下面用反证法证之.

　　假设a+b<0，那么：

　　a+b<0?a<-b?f(a)

　　?f(a)+f(b)

　　这与已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命题得证.

　　18.(2010?湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

　　[解析]　假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs=br+bt成立.

　　∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.

　　两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，

　　由于r

　　故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.