高中数学几何论文(2)
高中数学几何论文
高中数学几何论文篇三
摘 要：几何概型是高中新课程人教A版《必修3》第三章概率部分的一个新增内容，也是概率这一部分的一个难点，高考中选择、填空题会有所涉及。本文就笔者在教学中遇到的一些问题和经验进行了归纳和整理以期和大家一探讨和帮助学生理解 并灵活应用几何概型去解决相关问题。
关键词：点分布;找测度;几何概型;转化;平面区域
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661(2014)09-172-03
几何概型是高中新课程人教A版《必修3》第三章概率部分的一个新增内容，也是概率这一部分的一个难点，高考中选择、填空题会有所涉及。学生对明显是点分布的几何概型问题较容易理解，然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律。本文就笔者在教学中遇到的一些问题和经验进行了归纳和整理以期和大家一起探讨和帮助学生理解并灵活应用几何概型去解决相关问题，主要还是得从以下几个方面去把握。
一、教学的背景
“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课本中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。笔者根据所教学生的状况及新课程标准和学科指导意见的要求，对教材作了一些处理并尽可能选用与日常生活息息相关的例子。对于概念，主要让学生学会几何概型与古典概型的比较;立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题;注意数形结合思想的运用，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型。具体有以下一些整理。
二、概念的理解
1、高中新课程人教A版《必修3》中P136对几何概型是这样定义的：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，计算公式如下：
而在实际教学中笔者发现，这一概念不如索性这样去定义更为合适与明了：
一般地，在几何区域 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 内”为事件 ，则事件 发生的概率 .
说明：(1) 的测度不为 ;
(2)其中"测度"的意义依 确定，当 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积;同时还有可能是角度，在后面的例题中笔者会进一步举例说明这一点。
(3)在区域 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.
2、与古典概型相比较：
(1)不同点：在一次试验中，几何概型中所有可能的结果有无限个;
(2)相同点：每一种结果发生的可能性相等。
三、典题的分析
1、测度为长度的几何概型
例1：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟(已知停靠的3分钟包含在15分钟之内)。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后能立即上车的概率?
解析：此题可把时间等价成刻度为[0，15]的线段上的点，则几何区域 的测度为15， 乘客到达车站后能立即上车的区域为线段[12，15]上的点，则区域 的测度为3，故p=
变式1：求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.
解析：设上辆车于时刻A离开，而下一辆车于时刻B到达，时刻C出发。线段AC的长度为15即D的测度;设P是线段AB上的点，且BC=3，PB=10，如图1所示， 记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段AP(AP=2即d的测度)上时，事件A发生，所
以 = A P B C
答：乘客到站候车时间大于10 分钟的概率是2/15。
变式2：求乘客到站候车时间不超过10分钟的概率.
解析：此题即为变式1的对立事件，故乘客到站候车时间不超过10分钟的概率P=1-
例2：在等腰直角三角形 中，在斜边 上任取一点 ，求 小于 的概率.
解析：点 随机地落在线段 上，故线段 为区域 .当点 位于图2中线段 内时， ，故线段 即为区域 .
在 上截取 .于是
.
变式1：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM 解析：本题把射线等价于圆弧AB(以C为圆心)上的点，符合几何概型，因为这时射线CM可看作在 内是等可能分布的。如图3，在AB上截取 ，则 ，则区域D为弧AB，区域d为弧AD，则p=
变式2：
变式3：
(参考答案： 提示：变式2中区域D为线段BC;变式3中区域D为角度CAB)
评注：例1中的一个时刻是一元问题，相当于坐标中的一维，基本上都可等价到特定线段上的点，使问题转化为几何中的线段长度之比;例2中的一条射线，也是一元，但我们为什么不等价到线段上的点，而是等价到了弧上的点，那是因为等价到线段上的点破坏了等可能性(因为同等线段长射线扫过的区域不同，但同等弧长射线扫过的区域相同)，而变式1和3中更是进一步转化成了角度之比。故我们在等价的过程中不仅要注意要一一对应，而且还需考虑符合几何概型的等可能性，这样就易理解易解决了。
2、测度为面积的几何概型
例3：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30―7：30之间把报纸送到你家，你父亲 离开家去工作的时间在早上7：00―8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
解析：以横坐标X表示报纸送到时间，以纵坐标Y表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内(D)任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分(d)， 就表示父亲在离开家前能得到报纸，即时间A发生，所以
变式1：甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率.
解析：把两人到达的时间等价于平面直角坐标平面内的点，符合几何概型。以x，y表示两人到达时刻，则会面的充要条件为 如图3，区域D为正方形，区域d为阴影部分，则两人能会面的概率
变式2：上例其他不变，但甲等乙20分钟，乙等甲只等15分钟，则概率如何?
解析：实质是 改为
变式3：上例其他不变，但不巧甲那天的手表慢了15分钟，则概率如何?
解析：实质是 改为
例4：如图6，假设你在这个图形上随机撒一粒黄豆，计算它落到阴影部分的概率.
P=阴影部分三角形的面积/圆的面积=
评注：在例3中涉及到两个时间，一般情况下都可等价转化为直角坐标内的二维点集即转化为相应区域的面积之比;也就是线性规划问题。题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域. 我们发现，要表示二元一次不等式 的平面区域，按两步解决：
(1)作出直线 ;(2)取一特殊点验证，直线的哪侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域. 准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，易求得概率.
根据以上的解法和分析，我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步：
(1)构设变量. 从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y.
(2)集合表示. 用 表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果. 一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
(3)作出区域. 把以上集合所表示的平面区域作出，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域.
(4)计算求解. 根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求得.
在以上四步中，第二步和第三步是解答的关键，通过这两步，可以发现随机事件所对应的几何图形. 第三步的作图需理解其原理.
而例4中将问题转化为了平面图形内的点的分布问题，也就是阴影部分三角形的面积/圆的面积。
3.测度为体积的几何概型
例5：在正方体 内随机取一点E，则点E落在四棱锥O-ABCD(O是正方体对角线的交点)内的概率是多少?
解析：P(E落在四棱锥O-ABCD内)=
例6：在单位长度为1的线段AB上任取三点C，D，E，求AC，AD，AE能构成三角形的概率.
解析：本题可转化为在[0，1]上分别取三个数，求使得任意两数之和大于第三个数的概率。
而在[0，1]上分别取三个数等价于空间直角坐标系的一点(x，y，z)， 使得任意两数之和大于第三个数即 ，分析可得，如图7，区域D为边长为1的正方体AG，区域d为六面体DBEGF，故p=
评注：例6涉及三数，即三元(三维)问题，
可与空间坐标一一对，一般情况下三元可
以向空间坐标转化进而转化为体积之比问题。
4、几何概型的拓展应用
例7： 。
解析：这里D的测度即区间 的长度，d的测度即区间 的长度，所以P=1/2
例8：一枚半径为1的硬币随机落在边长为3的正方形所在的平面内，且硬币一定落在正方形内或与正方形有交点，求硬币与正方形没有公共点的概率。
解析：如图8，ABCD为已知正方形外且与已知正方形四边距离均为1的正方形， 是在已知正方形内部且与已知正方形四边距离均为1的正方形。当硬币的圆心落在正方形ABCD内(除A、B、C、D这四个顶点)时，就能保证硬币一定落在已知正方形四边内或与已知正方形有公共点
而当硬币的圆心落在正方形 内时，
硬币与已知正方形没有公共点，所以：
d的测度= ，故所求的概率 。
变式：设有一个由许多个小正三角形构成的正三角形网格，其中每个小正三角形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率。
解析：此题即将正方形转化成了正三角形，解法不变;参考答案：
例9：(2007宁夏高考)设关于x的一元二次方程
(I) 若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数， b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率;
(Ⅱ)若a是从区间[0，3]上任取的一个数， b是从区间[0，2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率;
解析：(1)是古典概率，故
(2)是几何概型：见(图9)设事件A：“方程 有实根”.当a>0，b>0时，方程有实根的等价条件为 ;
试验的全部结果所构成的区域为
构成事件A的区域为
所以所求的概率为
评注：对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概型问题，利用几何概型的概率公式求解.
四、教学的反思
《浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见》中对于几何概型是这样要求的：1.通过实例，初步体会几何概型的意义;2.了解随机均匀数的产生过程;3.通过实例，初步体会运用模拟方法估计概率;4.结合实例和阅读材料，了解人类认识随机现象的过程，并且说明本节学习重在了解，不必补充复杂的问题，鉴于此说明笔者对教学中遇到的几何概型问题做了如上这些整理，大致可以把高中数学中的几何概率问题解法归纳为：
1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解;2.把基本事件转化为与之对应的区域D;3.把随机事件A转化为与之对应的区域d;4.利用几何概型概率公式计算。其中最关键的就是适当选择观察角度，长度，面积和体积有时甚至是角度，而抓住题中关键的语句就是找到正确角度的突破口。同时鉴于学科指导意见，我们在教学中也要注意不必补充复杂的问题，以免走入教学的误区，增加学生的负担，毕竟高中阶段对于几何概型的要求并不高。
在教学的过程中注重体现以学生发展为本的理念，注意学生的逻辑思维要从经验型向理论型转化，进而从感性认识能动地跃进到理性认识又要从理性认识能动地指导实践，使得学生在更高的层次理解问题。在理解数学的内涵和外延的同时，让学生在知识技能，过程和方法，情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。
参考文献：
[1] 钱卫娣.隐性几何概型三招致胜.实验中学教育集团.西南师范大学出版社.2008.11.数学教学通讯.
[2] 浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见.
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