第一学期初三级数学期末试卷题

　　【分析】当0

　　【解答】解：当0

　　如图，作PD⊥x轴于点D，

　　∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)，

　　∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，

　　∴S△PAB=S梯形OBPD﹣S△OAB﹣S△ADP=×14(a+1)﹣a2﹣×1×(14﹣a)=18，

　　解得：a1=3，a2=12;

　　故答案为：3或12

　　【点评】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，点的坐标的运用，解答时运用三角形和梯形的面积建立方程求解是关键.

　　23.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(﹣2，0)，半径为2，点P为直线y=﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　4　.

　　【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+6时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=6，根据勾股定理即可得到结论.

　　【解答】解：如图，作AP⊥直线y=﹣x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，

　　∵A的坐标为(﹣2，0)，

　　设直线与x轴，y轴分别交于B，C，

　　∴B(0，6)，C(8，0)，

　　∴OB=6，AC=，10，

　　∴BC==10，

　　∴AC=BC，

　　在△APC与△BOC中，

　　，

　　∴△APC≌△BOC，

　　∴AP=OB=6，

　　∴PQ==4.

　　故答案为4

　　【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

　　24.如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=　　.

　　【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果.

　　【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，

　　∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，

　　∴==，=，

　　∴=，

　　∵∠ABI=∠ABC，

　　∴△ABI∽△CBA;

　　∴=，

　　∵AB=AC，

　　∴AI=BI=4;

　　∵∠ACB=∠FGE，

　　∴AC∥FG，

　　∴==，

　　∴QI=AI=.

　　故答案为：.

　　【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键.

　　25.如图，已知正方形纸片ABCD的边是⊙O半径的4倍，点O是正方形ABCD的中心，将纸片保持图示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，则tan∠A1EF的值为　　.

　　【分析】在RT△FMO中利用勾股定理得出AF与r的关系，设r=6a，则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，利用A1N∥OM得到求出AN，NA1，再证明∠1=∠2即可解决问题.

　　【解答】解：如图，连接AA1，EO，作OM⊥AB，A1N⊥AB，垂足分别为M、N.

　　设⊙O的半径为r，则AM=MO=2r，设AF=FA1=x，

　　在RT△FMO中，∵FO2=FM2+MO2，

　　∴(r+x)2=(2r﹣x)2+(2r)2，

　　∴7r=6x，

　　设r=6a则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，

　　∵A1N∥OM，

　　∴，

　　∴，

　　∴A1N=a，FN=a，AN=a，

　　∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，

　　∴∠1=∠3=∠2，

　　∴tan∠2=tan∠1==.

　　故答案为.

　　【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，用设未知数列方程的数学思想是解决问题的关键.

　　二、解答题(共30分)

　　26.(8分)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：

　　售价x(元/千克) 50 60 70

　　销售量y(千克) 100 80 60

　　(1)求y与x之间的函数表达式;

　　(2)设商品每天的总利润为W(元)，则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润?最大利润是多少?

　　(3)如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少?请说明理由.

　　【分析】(1)待定系数法求解可得;

　　(2)根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况.

　　(3)求得W=1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案.

　　【解答】解：(1)设y=kx+b，

　　将(50，100)、(60，80)代入，得：

　　，

　　解得：，

　　∴y=﹣2x+200 (40≤x≤80);

　　(2)W=(x﹣40)(﹣2x+200)

　　=﹣2x2+280x﹣8000

　　=﹣2(x﹣70)2+1800，

　　∴当x=70时，W取得最大值为1800，

　　答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.

　　(3)当W=1350时，得：﹣2x2+280x﹣8000=1350，

　　解得：x=55或x=85，

　　∵该抛物线的开口向下，

　　所以当55≤x≤85时，W≥1350，

　　又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，

　　∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80.

　　【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质.

　　27.(10分)如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=4S△EDF，求ED的长;

　　(2)如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.

　　①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论;

　　②求EF的长;

　　(3)如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=2，CE=，求的值.

　　【分析】(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF=S△DEF，则易得S△ABC=5S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;

　　(2)首先判断四边形AEMF为菱形;再连结AM交EF于点O，设AE=x，则EM=x，CE=8﹣x，先证明△CME∽△CBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF;

　　(3)作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x的值，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，即可得出结论.

　　【解答】解：(1)∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

　　∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

　　∴S△AEF≌S△DEF，

　　∵S四边形ECBF=4S△EDF，

　　∴S△ABC=5S△AEF，

　　在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

　　∴AB=10，

　　∵∠EAF=∠BAC，

　　∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

　　∴=()2，即()2=，

　　∴AE=2，

　　由折叠知，DE=AE=2

　　(2)连结AM交EF于点O，如图2，

　　∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

　　∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

　　∵MF∥AC，

　　∴∠AEF=∠MFE，

　　∴∠AEF=∠AFE，

　　∴AE=AF，

　　∴AE=EM=MF=AF，

　　∴四边形AEMF为菱形，

　　设AE=x，则EM=x，CE=8﹣x，

　　∵四边形AEMF为菱形，

　　∴EM∥AB，

　　∴△CME∽△CBA，

　　∴==，

　　即，

　　解得x=，CM=，

　　在Rt△ACM中，AM==，

　　∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，

　　∴EF=2×=;

　　(3)如图③，作FH⊥BC于H，

　　∵EC∥FH，

　　∴△NCE∽△NFH，

　　∴，

　　∴

　　∴

　　设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣2，BH=6﹣(7x﹣2)=8﹣7x，

　　∵FH∥AC，

　　∴△BFH∽△BAC，

　　∴，

　　∴，

　　∴x=

　　∴FH=4x=，BH=8﹣7x=，

　　在Rt△BFH中，BF==4，

　　∴AF=AB﹣BF=10﹣4=6，

　　∴==.

　　【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质;灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长.解决此类题目时要各个击破.本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型.

　　28.(12分)如图，直线y=﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.

　　(1)求抛物线的解析式;

　　(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?

　　(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请直接写出点P的坐标;如果不存在，请说明理由.

　　【分析】(1)首先根据直线y=﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是(0，3)，点C的坐标是(4，0);然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出a、c的值是多少，即可求出抛物线的解析式.

　　(2)首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，则点M的坐标是(x，﹣2x+3)，求出EM的值是多少;最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可.

　　(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可.

　　【解答】解：(1)∵直线y=﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，

　　∴点B的坐标是(0，3)，点C的坐标是(，0)，

　　∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，

　　∴，

　　解得，

　　∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+x+3.

　　(2)如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

　　∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

　　∴设点E的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，

　　则点M的坐标是(x，﹣2x+3)，

　　∴EM=﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)=﹣2x2+3x，

　　∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

　　=EM•OC

　　=×(﹣2x2+3x)×

　　=﹣(x﹣)2+，

　　∴当x=时，即点E的坐标是(，)时，△BEC的面积最大，最大面积是.

　　(3)在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.

　　①如图2，AM∥PQ，AM=PQ.

　　由(2)，可得点M的横坐标是，

　　∵点M在直线y=﹣2x+3上，

　　∴点M的坐标是(，)，

　　又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=，

　　∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，

　　∵点A的坐标是(﹣1，0)，

　　∴xP﹣xA=xQ﹣xM，x﹣(﹣1)=﹣

　　解得x=﹣，

　　此时P(﹣，﹣3);

　　②如图3，由(2)知，可得点M的横坐标是，

　　∵点M在直线y=﹣2x+3上，

　　∴点M的坐标是(，)，

　　又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=，

　　∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是，

　　∵点A的坐标是(﹣1，0)，

　　∴xQ﹣xA=xP﹣xM，即﹣(﹣1)=x﹣

　　解得x=2，

　　此时P(2，﹣3);

　　③如图4，由(2)知，可得点M的横坐标是，

　　∵点M在直线y=﹣2x+3上，

　　∴点M的坐标是(，)，

　　又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=，

　　∴设点P的坐标是(x，﹣2x2+x+3)，点Q的横坐标是，

　　∵点A的坐标是(﹣1，0)，

　　∴xP﹣xA=xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)=﹣，

　　解得x=﹣，

　　此时P(﹣，2);

　　综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2).

　　【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系

　　九年级数学上期末试卷参考

　　一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)

　　1.如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　4.某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年)，下列说法正确的是(　　)

　　A.至少有两人生日相同

　　B.可能有两人生日相同，且可能性较大

　　C.不可能有两人生日相同

　　D.可能有两人生日相同，但可能性较小

　　5.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(　　)

　　A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

　　C.无实数根 D.无法确定

　　7.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　8.已知直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2+x2y1的值为(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　9.某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于30元的概率为(　　)

　　A. B. C. D.

　　10.如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

　　11.若==≠0，则=　 　.

　　12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为

　　(2)如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(请填写正确答案的序号)　 　.

　　13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是　 　度.

　　14.如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=﹣(x<0)的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　 　.

　　三、解答题(本大题共9小题，共58分)

　　15.(5分)如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)

　　16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：点A(1，3)，点B(4，2)，点C(2，1).

　　(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;

　　(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使，并写出点A2，B2，C2的坐标.

　　17.(6分)在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

　　小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米;

　　小丽：测量甲树的影长为4米(如图1);

　　小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.

　　(1)请直接写出甲树的高度为　 　米;

　　(2)求乙树的高度.

　　18.(7分)如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.

　　(1)求证：四边形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长.

　　19.(7分)有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字.

　　(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果;

　　(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点(x，y)落在双曲线y=上的概率.

　　20.(7分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

　　(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.

　　(1)求证：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的长.

　　22.(6分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

　　(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?

　　(2)求k的值;

　　(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度?

　　23.(7分)如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0，1)，点B坐标为(0，﹣2)，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过A、C两点.

　　(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

　　(2)若点P是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)

　　1.如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根据组合图形的俯视图，对照四个选项即可得出结论.

　　【解答】解：由题意得：俯视图与选项B中图形一致.

　　故选：B.

　　【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是会画简单组合图形的三视图.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，掌握简单组合体三视图的画法是关键.

　　2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值()叫做黄金比.

　　【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有(20+x)：20=20：x，解得x=12.36cm.

　　方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm.

　　故选：A.

　　【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.

　　【解答】解：∵x2﹣8x+3=0

　　∴x2﹣8x=﹣3

　　∴x2﹣8x+16=﹣3+16

　　∴(x﹣4)2=13

　　∴m=﹣4，n=13

　　故选：C.

　　【点评】配方法的一般步骤：

　　(1)把常数项移到等号的右边;

　　(2)把二次项的系数化为1;

　　(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

　　选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

　　4.某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年)，下列说法正确的是(　　)

　　A.至少有两人生日相同

　　B.可能有两人生日相同，且可能性较大

　　C.不可能有两人生日相同

　　D.可能有两人生日相同，但可能性较小

　　【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可.

　　【解答】解：A、因为每年有365天而某学校只有320人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件.故本选项错误;

　　B、因为=>50%，所以可能性较大.正确;

　　C、两人生日相同是随机事件，故本选项错误;

　　D、由B可知，可能性较大，故本选项错误.

　　故选：B.

　　【点评】本题主要考查可能性大小的比较，关键是确定所给事件的类型;随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件;概率较小的事件发生的可能性较小.

　　5.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论.

　　【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AB∥CD，

　　∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，

　　∴△DEF∽△BAF，

　　∵S△DEF：S△ABF=4：25，

　　∴DE：AB=2：5，

　　∵AB=CD，

　　∴DE：EC=2：3.

　　故选：B.

　　【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(　　)

　　A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

　　C.无实数根 D.无法确定

　　【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况.

　　【解答】解：△=12﹣4×1=﹣3<0，

　　所以方程无实数根.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根;当△=0时，方程有两个相等的实数根;当△<0时，方程无实数根.

　　7.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　【分析】菱形的判定方法有三种：

　　①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形;

　　②四边相等;

　　③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.∴可添加：AB=AD或AC⊥BD.

　　【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

　　那么可添加的条件是：AB=BC.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查菱形的判定，答案不唯一.有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

　　8.已知直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2+x2y1的值为(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　【分析】先根据点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y=上的点可得出x1•y1=x2•y2=3，再根据直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可.

　　【解答】解：∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y=上的点

　　∴x1•y1=x2•y2=3①，

　　∵直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

　　∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，

　　∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6.

　　故选：A.

　　【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此题的关键.

　　9.某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于30元的概率为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所获奖品总价值不低于30元的情况，再利用概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：画树状图得：

　　∵共有12种等可能的结果，所获奖品总价值不低于30元的有4种情况，

　　∴所获奖品总价值不低于30元的概率为：=.

　　故选：C.

　　【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

　　10.如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣2m>0，再解不等式即可.

　　【解答】解：∵反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，

　　∴1﹣2m>0，

　　解得：m<，

　　故选：B.

　　【点评】此题主要考查了反比例函数的性质.对于反比例函数y=，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大.

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

　　11.若==≠0，则=　　.

　　【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果.

　　【解答】解：设===k≠0，

　　则a=2k，b=3k，c=4k，

　　所以==.

　　故答案是：.

　　【点评】本题考查了比例的性质.已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元.

　　12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15

　　(2)如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(请填写正确答案的序号)　②　.

　　【分析】(1)求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可.

　　(2)根据相似多边形的定义逐一进行判断后即可确定正确的选项.

　　【解答】解：(1)x2﹣9x+18=0，

　　∴(x﹣3)(x﹣6)=0，

　　∴x﹣3=0，x﹣6=0，

　　∴x1=3，x2=6，

　　当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，

　　∴此时不能组成三角形，

　　当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，

　　故答案为：15.

　　(2)由题意得，①中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似;

　　③，④中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似;

　　而②中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，

　　所以②中矩形不是相似多边形，

　　故答案为：②.

　　【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理及相似图形，关键是确定三角形的三边的长度及相似图形的定义.

　　13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是　22.5　度.

　　【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°;等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数.

　　【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

　　∴∠CAB=∠BCA=45°;

　　△ACE中，AC=AE，则：

　　∠ACE=∠AEC=(180°﹣∠CAE)=67.5°;

　　∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°.

　　故答案为22.5.

　　【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理.

　　14.如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=﹣(x<0)的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　7　.

　　【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算.

　　【解答】解：如图，

　　∵直线l∥x轴，

　　∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，

　　∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.

　　故答案为7.

　　【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

　　三、解答题(本大题共9小题，共58分)

　　15.(5分)如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)

　　【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似.

　　【解答】解：如图，AD为所作.

　　【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似.

　　16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：点A(1，3)，点B(4，2)，点C(2，1).

　　(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;

　　(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使，并写出点A2，B2，C2的坐标.

　　【分析】(1)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得;

　　(2)根据位似图形的定义作出点A、B、C在原点的另一侧的对应点，再顺次连接即可得.

　　【解答】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求;

　　(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，

　　点A2的坐标为(﹣2，﹣6)，B2的坐标为(﹣8，﹣4)，C2的坐标为(﹣4，﹣2).

　　【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换、位似变换，解题的关键是根据轴对称变换和位似变换的定义作出变换后的对应点.

　　17.(6分)在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

　　小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米;

　　小丽：测量甲树的影长为4米(如图1);

　　小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.

　　(1)请直接写出甲树的高度为　5.1　米;

　　(2)求乙树的高度.

　　【分析】(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高;

　　(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案.

　　【解答】解：(1)根据题意得：

　　=，

　　解得：x=5.1(米)，

　　故答案为：5.1.

　　(2)假设AB是乙树，

　　∴BC=2.4m，CD=1.2m，

　　∴=，

　　∴=，

　　∴CE=0.96(m)，

　　∴=，

　　∴AB=4.2(m)，

　　答：乙树的高度为4.2m.

　　【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键.

　　18.(7分)如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.

　　(1)求证：四边形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长.

　　【分析】(1)由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形;

　　(2)由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案.

　　【解答】(1)证明：

　　∵CE∥BD，DE∥AC，

　　∴四边形CODE为平行四边形，

　　∵四边形ABCD为菱形，

　　∴AC⊥BD，

　　∴∠COD=90°，

　　∴平行四边形CODE是矩形;

　　(2)解：

　　∵四边形ABCD为菱形，

　　∴AO=OC=AC=×6=3，OD=OB，∠AOB=90°，

　　在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2=AB2﹣AO2，

　　∴BO==4，

　　∴DO=BO=4，

　　∴四边形CODE的周长=2×(3+4)=14.

　　【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.

　　19.(7分)有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字.

　　(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果;

　　(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点(x，y)落在双曲线y=上的概率.

　　【分析】(1)画出树状图即可得解;

　　(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线y=上的情况数，再根据概率公式列式计算即可得解.

　　【解答】解：(1)根据题意画出树状图如下：

　　(2)当x=﹣1时，y==﹣2;当x=1时，y==2;当x=2时，y==1.

　　∴一共有9种等可能的情况，点(x，y)落在双曲线y=上有2种情况：(1，2)，(2，1)，

　　∴点(x，y)落在双曲线y=上的概率为：.

　　【点评】本题考查了列表法与树状图法以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据抽卡的规律用树状图表示两次抽出卡片上的数字的所有结果是解题的关键.

　　20.(7分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

　　(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?

　　【分析】(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可;

　　(2)首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数.

　　【解答】解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得

　　10(1+x)2=12.1，

　　解得x1=0.1，x2=﹣2.1(不合题意舍去).

　　答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%;

　　(2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31(万件).

　　∵平均每人每月最多可投递0.6万件，

　　∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6<13.31，

　　∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务

　　∴需要增加业务员(13.31﹣12.6)÷0.6=1≈2(人).

　　答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.

　　【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.

　　(1)求证：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的长.

　　【分析】(1)在矩形ABCD中，有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB=∠C=90°，∠BAF=∠EBC，从而得证;

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，可知CD=AB=10，由于E为DC的中点，CE=5，由勾股定理可求得：BE=13，最后由△ABF∽△BEC得：，从而可求出答案.

　　【解答】解：(1)在矩形ABCD中，

　　有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°

　　∵AF⊥BE，

　　∴∠AFB=∠C=90°，

　　∴∠BAF=∠EBC

　　∴△BEC∽△ABF

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，

　　∴CD=AB=10，

　　∵E为DC的中点，

　　∴CE=5，

　　又BC=12，

　　在Rt△BEC中，

　　由勾股定理得：BE=13，

　　由△ABF∽△BEC得：

　　即：=，

　　∴解得：AF=

　　【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法以及矩形的性质，本题属于中等题型.

　　22.(6分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

　　(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?

　　(2)求k的值;

　　(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度?

　　【分析】(1)根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10(小时);

　　(2)利用待定系数法求反比例函数解析式即可;

　　(3)将x=16代入函数解析式求出y的值即可.

　　【解答】解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.

　　(2)∵点B(12，18)在双曲线y=上，

　　∴18=，

　　∴解得：k=216.

　　(3)当x=16时，y==13.5，

　　所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.

　　【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键.

　　23.(7分)如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0，1)，点B坐标为(0，﹣2)，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过A、C两点.

　　(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

　　(2)若点P是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.

　　【分析】(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C(3，﹣2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式;

　　(2)设P(t，﹣)，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.

　　【解答】解：(1)∵点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，﹣2)，

　　∴AB=1+2=3，

　　∵四边形ABCD为正方形，

　　∴Bc=3，

　　∴C(3，﹣2)，

　　把C(3，﹣2)代入y=得k=3×(﹣2)=﹣6，

　　∴反比例函数解析式为y=﹣，

　　把C(3，﹣2)，A(0，1)代入y=ax+b得，

　　解得，

　　∴一次函数解析式为y=﹣x+1;

　　(2)设P(t，﹣)，

　　∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，

　　∴×1×|t|=3×3，解得t=18或t=﹣18，

　　∴P点坐标为(18，﹣)或(﹣18，).

　　【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.