第二学期九年级数学期中题
学习好了数学对我们来说是一件非常重要的事情的哦，今天小编给大家分享的是九年级数学，喜欢的来阅读吧
九年级数学下期中检测试卷阅读
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项)
1.点A(-2，5)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值是( )
A.10 B.5 C.-5 D.-10
2.点A(1，y1)、B(3，y2)是反比例函数y=9x图象上的两点，则y1、y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1
3.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O.若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
第3题图 第5题图 第6题图
4.志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在广告费单价相同的情况下，他该付广告费( )
A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为( )
A.3102 B.3105 C.105 D.355
6.如图，P为反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=-x-4的图象于点A、B.若∠AOB=135°，则k的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7.已知反比例函数y=m+2x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________.
8.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为________.
第8题图 第9题图
9.如图，直线y=ax与双曲线y=kx(x>0)交于点A(1，2)，则不等式ax>kx的解集是________.
10.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F.若S△DEC=3，则S△BCF=________.
11.如图，四边形ABCD为正方形，点A、B在y轴上，点C的坐标为(-4，1)，反比例函数y=kx的图象经过点D，则k的值为________.
第10题图 第11题图 第12题图
12.如图，等边△ABC的边长为30，点M为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，使点A落在直线BC上的点D处，且BD∶DC=1∶4，折痕与直线AC交于点N，则AN的长为________.
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13.如图，在平面直角坐标系中，A(6，0)，B(6，3)，画出△ABO的所有以原点O为位似中心的△CDO，且△CDO与△ABO的相似比为13，并写出点C，D的坐标.
14.已知正比例函数y1=ax(a≠0)与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象在第一象限内交于点A(2，1).
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，并根据图象直接写出y1>y2时x的取值范围.
15.在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=kx的图象经过点A(1，3).连接OA，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由.
16.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB是多少?
17.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G.
(1)求证：BD∥EF;
(2)若DGGC=23，BE=4，求EC的长.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)求证：△BFD∽△ABD;
(2)求证：DE=DB.
19.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°.
(1)求线段AB的长;
(2)求经过A，B两点的反比例函数的解析式.
20.如图，设反比例函数的解析式为y=3kx(k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值;
(2)若该反比例函数的图象与过点M(-2，0)的直线l：y=kx+b交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为163时，求直线l的解析式.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上，连接PD.
(1)如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC;
(2)如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD.
22.如图，分别位于反比例函数y=1x，y=kx在第一象限图象上的两点A，B，与原点O在同一直线上，且OAOB=13.
(1)求反比例函数y=kx的表达式;
(2)过点A作x轴的平行线交y=kx的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积.
六、(本大题共12分)
23.正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.
(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF=MN;
(2)如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.
①设BF=ycm，求y关于t的函数表达式;
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长.
参考答案与解析
1.D 2.A 3.B 4.C 5.B
6.D 解析：设一次函数y=-x-4交y轴于点C.如图，作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP，设P点坐标n，kn.∵直线AB的解析式为y=-x-4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB.∵P点坐标为n，kn，∴OD=CQ=n.∵当x=0时，y=-x-4=-4，∴OC=DQ=4，∴AD=AQ+DQ=n+4.GE=OE=22OC=22.同理得BG=2BF=2PD=2kn，∴BE=BG+EG=2kn+22.∵∠AOB=135°，∴∠OBE+∠OAE=45°.∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE.又∵∠BEO=∠ADO=90°，∴△BOE∽△AOD，∴OEOD=BEAD，即22n=2kn+224+n，∴k=8.故选D.
7.m<-2 8.185 9.x>1
10.4 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴EFCF=DEBC，S△DEFS△BCF=DEBC2.∵E是边AD的中点，∴DE=12AD=12BC，∴EFCF=DEBC=12，∴S△DEF=13S△DEC=1，S△DEFS△BCF=14，∴S△BCF=4.
11.12
12.21或65 解析：①当点A落在如图①所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°.∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵DN=AN，∴BDCN=DMAN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4，BC=30，∴DB=6，CD=24.设AN=x，则CN=30-x，∴630-x=DMx=BM24，∴DM=6x30-x，BM=14430-x.∵BM+DM=30，∴6x30-x+14430-x=30，解得x=21，∴AN=21;②当A落在CB的延长线上时，如图②，与①同理可得△BMD∽△CDN.∴BDCN=DMDN=BMCD.∵BD∶DC=1∶4，BC=30，∴DB=10，CD=40.设AN=x，则CN=x-30，∴10x-30=DMx=BM40，∴DM=10xx-30，BM=400x-30.∵BM+DM=30，∴10xx-30+400x-30=30，解得x=65，∴AN=65.综上所述，AN的长为21或65.
13.解：如图所示，(4分)C点的坐标为(2，0)或(-2，0)，D点的坐标为(2，1)或(-2，-1).(6分)
14.解：(1)将A(2，1)代入正比例函数解析式得1=2a，∴a=12，∴y1=12x.将A(2，1)代入反比例函数解析式得1=k2，∴k=2，∴y2=2x.(2分)
(2)如图所示.(4分)
由图象可得当y1>y2时，x的取值范围是-2
15.解：点B在此反比例函数的图象上.(1分)理由如下：易知反比例函数的解析式为y=3x.(2分)过点A作AD⊥x轴，垂足为点D.∵点A的坐标为(1，3)，∴OD=1，AD=3，∴OA=OD2+AD2=2，∴∠OAD=30°，∴∠AOD=60°.过点B作BC⊥x轴，垂足为点C.∵∠AOB=30°，∴∠BOC=∠AOD-∠AOB=30°.∵OB=OA=2，∴BC=1，∴OC=OB2-BC2=3，∴点B的坐标为(3，1)，∴点B在此反比例函数的图象上.(6分)
16.解：由题意可得∠DEF=∠DCB，∠EDF=∠CDB，∴△DEF∽△DCB，(2分)∴DECD=EFBC，即0.48=0.2BC，∴BC=4m，∴AB=BC+AC=4+1.5=5.5(m).(5分)
答：树高AB是5.5m.(6分)
17.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DF∥BE.∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF.(3分)
(2)解：∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴DGCG=DFCE.∵DF=BE=4，∴CE=DF•CGDG=4×32=6.(6分)
18.(1)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD.(3分)又∵∠BDF=∠ADB，∴△BFD∽△ABD.(4分)
(2)解：连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠CBE.又∵∠CBD=∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD.(6分)∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，∴∠DBE=∠BED，∴DE=DB.(8分)
19.解：(1)分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D.由题意，知∠BAC=60°，AD=7-1=6，∴∠ABD=30°，∴AB=2AD=12.(4分)
(2)设过A，B两点的反比例函数解析式为y=kx(k≠0)，A点坐标为(m，7).∵AD=6，AB=12，∴BD=AB2-AD2=63，∴B点坐标为(m+63，1)，(6分)∴7m=k，(m+63)•1=k，解得k=73，∴经过A，B两点的反比例函数的解析式为y=73x.(8分)
20.解：(1)由题意得该点交点坐标为(1，2)，把(1，2)代入y=3kx，得到3k=2，∴k=23.(3分)
(2)把M(-2，0)代入y=kx+b可得b=2k，∴y=kx+2k.由y=3kx，y=kx+2k消去y得到x2+2x-3=0，解得x=-3或1，∴B(-3，-k)，A(1，3k).(6分)∵△ABO的面积为163，∴12•2•3k+12•2•k=163，解得k=43，∴直线l的解析式为y=43x+83.(8分)
21.证明：(1)∵PD∥BC，∴∠PCB=∠CPD.∵CP平分∠ACB，∴∠PCB=∠PCA，∴∠CPD=∠PCA，∴PD=CD.∵PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴ADAC=PDBC，∴AC•PD=AD•BC，∴AC•CD=AD•BC.(4分)
(2)∵∠ACB=90°，CP平分∠ACB，∴∠PCB=∠PCA=45°.∵∠B+∠PCB+∠CPB=180°，∴∠B+∠CPB=180°-∠PCB=135°.(6分)∵∠BPD=135°，∴∠CPB+∠CPD=135°，∴∠B=∠CPD，∴△PCB∽△DCP，∴CBCP=CPCD，∴CP2=CB•CD.(9分)
22.解：(1)分别过点A，B作AE，BF垂直于x轴，垂足为E，F.易证△AOE∽△BOF.∴OEOF=EAFB=OAOB=13.∵点A在函数y=1x的图象上，设点A的坐标是m，1m，∴OEOF=mOF=13，EAFB=1mFB=13，∴OF=3m，BF=3m，即点B的坐标是3m，3m.(3分)∵点B在y=kx的图象上，∴3m=k3m，解得k=9，∴反比例函数y=kx的表达式是y=9x.(5分)
(2)由(1)可知Am，1m，B3m，3m.又∵已知过A作x轴的平行线交y=9x的图象于点C，∴点C的纵坐标是1m.把y=1m代入y=9x，∴x=9m，∴点C的坐标是9m，1m，∴AC=9m-m=8m.(7分)∴S△ABC=12•8m•3m-1m=8.(9分)
23.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠MAN=∠ABF=90°.∵MN⊥AF，∴∠NAH+∠ANH=90°.∵∠NMA+∠ANH=90°，∴∠NAH=∠NMA，∴△ABF≌△MAN，∴AF=MN.(4分)
(2)解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BF，∴∠ADE=∠FBE.∵∠AED=∠BEF，∴△EBF∽△EDA，∴BFAD=BEED.∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=CB=6cm，∴BD=62cm.∵点E从点B出发，以2cm/s的速度沿向点运动，运动时间为ts.∴BE=2tcm，DE=(62-2t)cm，∴y6=2t62-2t，∴y=6t6-t.(8分)
②同(1)可得∠MAN=∠FBA=90°，∠NAH=∠NMA，∴△ABF∽△MAN，∴ANAM=BFAB.∵BN=2AN，AB=6cm，∴AN=2cm.当运动时间为ts时，AM=(6-t)cm.由①知BF=6t6-tcm，∴26-t=6t6-t6，∴t=2，∴BF=6×26-2=3(cm).又∵BN=2AN=4cm，∴FN=32+42=5(cm).(12分)
九年级数学下学期期中试卷
一.选择题(每题3分，共30分)
1.(3分)下列函数中，是反比例函数的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
3.(3分)函数y=ax﹣a与y= (a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
4.(3分)已知点A(1，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)，都在反比例y= 的图象上，则( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
5.(3分)如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
6.(3分)用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
7.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A.(0，0)，2 B.(2，2)， C.(2，2)，2 D.(1，1)，
8.(3分)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
9.(3分)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四边形CDEF= S△ABF其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.(3分)在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
二.填空题(每题3分，共15分)
11.(3分)反比例函数y= 位于 象限.
12.(3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的体积 .
13.(3分)如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 .
14.(3分)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平 行，点P(3a，a)是反比例函数y= (k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .
15.(3分)如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 .
三.解答题(共75分
16.(9分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)求△ABC的面积;
(2)以O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为 2;
(3)直接写出点A1、B1、C1的坐标.
17.(8分)若▱ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根
(1)当m为何值时，▱ABCD是矩形?求出此时矩形的对角线长?
(2)当□ABCD的一条对角线AC=2时，求另外一条对角线的长?
18.(9分)如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F.
(1)求证：△APD≌△CPD;
(2)求证：△APE∽△FPA;
(3)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系?并说明理由.
19.(11分)如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= 的图象于点A、B，交x轴于点C.
(1)求m的取值范围.
(2)若点A的坐标为(2，﹣4)，且 = ，求m的值和一次函数表达式.
(3)在(2)的条件下，连接OA，求△AOC的面积并直接写出一次函数函数值大于反比例函数值的x范围.
20.(8分)一个几何体的三视图如图所示.求该几何体的表面积.
21.(9分)如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.
(1)在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ;
(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子;
(3)当小亮离开灯杆的距 离OB=4.2m时，身高(AB)为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m?
22.(8分)现有两组相同的扑克 牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为一次试验.
(1)小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
(2)小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为4’的概率是 ”，她的这种看法是否正确?说明理由.
23.(13分)已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作 BD⊥MN于点B，连接CB.
(1)问题发现 如图(1)，过点C作 CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为 ，BD、AB、CB之间的数量关系为
(2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明.
(3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C、D在直线MN两侧)，若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB= .
参考答案与试题解析
一.选择题(每题3分，共30分)
1.(3分)下列函数中，是反比例函数的是( )
A.y= B.3x+2y=0 C.xy﹣ =0 D.y=
【解答】解：A、k≠0时，y= 是反比例函数，故此选项错误;
B、3x+2y=0，可变形为y=﹣ x，不是反比例函数，故此选项错误;
C、xy﹣ =0可变形为y= 是反比例函数，故此选项正确;
D、y= 不是反比例函数，故此选项错误;
故选：C.
2.(3分)方程(m﹣2)x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围( )
A.m> B.m≤ 且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
【解答】解：根据题意得 ，
解得m≤ 且m≠2.
故选B.
3.(3分)函数y=ax﹣a与y= (a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误;
B、从反比例函数图象得a>0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误;
C、从反比例函数图象得a<0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误;
D、从反比例函数图象得a<0，则对应的一次函数y=ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确.
故选D.
4.(3分)已知点A(1，y1)，B( ，y2)，C(﹣2，y3)，都在反比例y= 的图象上，则( )
A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
【解答】解：∵反比例函数y=﹣ 中，k=﹣2<0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵1>0， >0，
∴A、B在第四象限，
∴y1<0，y2<0，
∵1< ，
∴y1
∵﹣2<0，
∴C在第二象限，
∴y3>0，
∴y3>y2>y1.
故选B.
5.(3分)如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解答】解：由题中所给 出的主视图知物体共2列，且都是最高两层;由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行2个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体.即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：2+2+1=5个.
故选A.
6.(3分)用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结 果有：234，243，324，342，423，432;
∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432;
∴排出的数是偶数的概率为： =
7.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A.(0，0)，2 B.(2，2)， C.(2，2)，2 D.(1，1)，
【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)，
k的值为： = .
故选：B.
8.(3分)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似;
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.
故选B.
9.(3分)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点，连接D F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四边形CDEF= S△ABF其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确;
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正确;
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC ，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确;
∵△AEF∽△CBF，
∴ = = ，
∴S△AEF= S△ABF，S△ABF= S矩形ABCD，
∴S△AEF= S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF=S△ACD﹣S△AEF= S矩形ABCD﹣ S矩形ABCD= S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF= S△ABF，故④正确;
故选：A.
10.(3分)在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为( )
A.6.93米 B.8米 C.11.8米 D.12米
【解答】解：如图，∵ = ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ = ，
∴AB= =8(米).
故选B.
二.填空题(每题3分，共15分)
11.(3分)反比例函数y= 位于 二、四 象限.
【解答】解：∵﹣m2﹣3<0，
∴反比例函数y= 位于二、四象限，
故答案为：二、四.
12.(3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的体积 450 cm3 .
【解答】解：由三视图可知这个几何体是正六棱柱，
底面的正六边形的边长为5，底面积=6× ×(5)2(cm2)
∴正六棱柱的体积=12×6× ×25=450 (cm3).
故答案为450 cm3
13.(3分)如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°.连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°.连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ( )n﹣1 .
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB.AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB= AD=1，
∴BM= ，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AE= AC=( )2，AG= AE=3=( )3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为( )n﹣1，
故答案为( )n﹣1.
14.(3分)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y= (k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 y= .
【解答】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的 ，设正方形的边长为b，则 b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x=3，
∵点P(3a，a)在直线AB上，
∴3a=3，解得a=1，
∴P(3，1)，
∵点P在反比例函数y= (k>0)的图象上，
∴k=3，
∴此反比例函数的解析式为：y= .
故答案为：y= .
15.(3分)如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为 或1 .
【解答】解：如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形，
由折叠可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，
∴CF=CD=4，
设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4，
在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即(4﹣x)2+62=(x+4)2，
解得x= ，即AP= ;
如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，
过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°，
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ=∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴ = = ，即 = = ，
解得FQ= ，QE= ，
∴AQ=HF= ，AH= ，
设AP=FP=x，则HP= ﹣x，
∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即( ﹣x)2+( )2=x2，
解得x=1，即AP=1.
综上所述，AP的长为1或 .
三.解答题(共75分
16.(9分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)求△ABC的面积;
(2)以O为位似中心作一个与△ABC位似的△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2;
(3)直接写出点A1、B1、C1的坐标.
【解答】解：(1)△ABC的面积=2×3﹣ ×1×1﹣ ×2×2﹣ ×1×3=2;
(2)如图，
(3)A1 (﹣2，4)，B1 (﹣4，2)，C1 (0，﹣2).
17.(8分)若▱ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根
(1)当m为何值时，▱ABCD是矩形?求出此时矩形的对角线长?
(2)当□ABCD的一条对角线AC=2时，求另外一条对角线的长?
【解答】解：(1)四边形ABCD为矩形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4( ﹣ )=0，
即m2﹣2m+1=0，
解得 m=1，
所以当m=1时，四边形ABCD为矩形.
把m=1代入x2﹣mx+ ﹣ =0，可得： ;
(2)把x=2代入x2﹣mx+ ﹣ =0，可得： ，
解得：m=2.5，
所以x2﹣2.5x+1=0，
解得： ，
所以BD=0.5.
18.(9分)如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F.
(1)求证：△APD≌△CPD;
(2)求证：△APE∽△FPA;
(3)猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系?并说明理由.
【解答】(1)证明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD;
(2)证明：由(1)△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF，
∴△APE∽△FPA
(3)解：线段PC、PE、PF之间的关系是：PC2=PE•PF，
∵△APE∽△FPA，
∴ ，
∴PA2=PE•PF，
又∵PC=PA，
∴PC2=PE•PF.
19.(11分)如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y= 的图象于点A、B，交x轴于点C.
(1)求m的取值范围.
(2)若点A的坐标为(2，﹣4)，且 = ，求m的值和一次函数表达式.
(3)在(2)的条件下，连接OA，求△AOC的面积并直接写出一次函数函数值大于反比例函数值的x范围.
【解答】解：(1)因为反比例函数y= 的图象在第四象限，
所以4﹣2m<0，解得m>2.
(2)因为点A(2，﹣4)在函数y= 图象上，
所以﹣4=2﹣m，解得m=6
过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，
所以∠BNC=∠AMC=90°，
又因为∠BCN=∠ACM，
所以△BCN∽△ACM，所以 = .
因为 = ，所以 = ，即 = .
因为AM=4，所以BN=1.
所以点B的纵坐标是﹣1.
因为点B在反比例函数y=﹣ 的图象上，所以当y=﹣1时，x=8.
所以点B的坐标是(8，﹣1).
因为一次函数y=kx+b的图象过点A(2，﹣4)、B(8，﹣1)，
所解得 ，
解得 ：k= ，b=﹣5
所以一次函数的解析式是y= x﹣5;
(3)由函数图象可知不等式kx+b> 的解集为：0
S△AOC= ×5×10﹣ 5×2=20.
20.(8分)一个几何体的三视图如图所示.求该几何体的表面积.
【解答】解：2+4+2=8，
1+4+1=6，
(8×6+8×1.5+6×1.5)×2﹣π×(4÷2)2×2+π×4×1.5
=(48+12+9)×2﹣π×4×2+6π
=138﹣2π.
故该几何体的表面积是138﹣2π.
21.(9分)如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.
(1)在小 亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 变短 ;
(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子;
(3)当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高(AB)为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m?
【解答】解：(1)因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短;
(2)如图所示，BE即为所求;
(3)先设OP=x米，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，
∴ = ，即 = ，
∴x=5.8;
当OD=6米时，设小亮的影长是y米，
∴ = ，
∴ = ，
∴y= .
即小亮的影长是 米.
22.(8分)现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为 一次试验.
(1)小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?
(2)小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为4’的概率是 ”，她的这种看法是否正确?说明理由.
【解答】解：(1)根据题意画 树状图如下：
数字相同的情况有2种，
则P(小红获胜)=P(数字相同)= ，
P(小明获胜)=P(数字不同)= ，
则这个游戏公平;
(2)不正确，理由如下;
因为“和为4”的情况只出现了1次，
所以和为4的概率为 ，
所以她的这种看法不正确.
23.(13分)已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线， 过点D作 BD⊥MN于点B，连接CB.
(1)问题发现 如图(1)，过点C作 CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为 BD=AE ，BD、AB、CB之间的数量关系为 BD+AB= CB
(2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明.
(3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C、D在直线MN两侧)，若此时∠BCD=30°，BD=2时，CB= ﹣ .
【解答】解：(1)如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，
∴∠BAC+∠D=180°，
∵∠CE+∠BAC=180°，
∠CAE =∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE+AB=DB+AB，
∴BD+AB= CB;
故答案为：BD=AE，BD+AB= CB;
(2)BD﹣AB= CB;
理由：如图2，过点C作CE⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB，
∴BD﹣AB= CB;
(3)如图3，过点C作CE⊥CB交MN于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，
∠BCD=90°﹣∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∵∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE= CB，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB，
∴AB﹣DB= CB;
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBH=45°
过点D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD= BH=2，
∴BH=DH= ，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ，
∴CH= DH= × = ，
∴BC=CH﹣BH= ﹣ ;
故答案为： ﹣ .
九年级数学期中考试下册题
一、选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
1.(2分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
2.(2分)下列方程有两个相等的实数根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
3.(2 分)下列函数是二次函数的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
5.(2分)在一条直线上有若干个不同的点，共组成45条线段，设共有x个点，则下列方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
6.(2分)抛物线y=﹣2(x+1)2﹣4的顶点坐标是( )
A.(1，﹣4) B.(1，4) C.(﹣1，﹣4) D.(﹣1，4)
7.(2分)二次函数y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值为( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
8.(2分)关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥1
9.(2分)在抛物线y=﹣2x2﹣x+1上的一个点是( )
A.(1，0) B.(﹣2，﹣5) C.(2，﹣5) D.(﹣1，3)
10.(2分)如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点.动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止.连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为( )
A. B. C. D. ?
二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
11.(2分)二次函数y= (x )2+ 的图象的顶点坐标是(1，﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化为一般形式是 .
13.(2分)把抛物线y=﹣ x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为 .
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 .
15.(2分)已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为﹣2，则k= .
16.(2分)已知函数y=﹣2x2﹣4x+1，当x 时，y随x的增大而增大.
17.(2分)从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为35cm2，则原来正方形的面积为 .
18.(2分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论：①因为a<0，所以函数y有最小值;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=0时，函数y的值等于2;④在本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3.其中正确的结论有 .(填序号)
三、解答题(本大题共8小题 ，共64分)
19.(6分)用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0.
20.(7分)用公式法解方程：x2﹣3x﹣5=0.
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一个解是x=﹣5，求k值及另一个解.
22.(7分)从现在开始到2020年，是全国建成小康社会的决胜期.某村2016年底人均收入为14400元，计划到2018年底达到22500元，求该村人均纯收入的年平均增长率.
23.(7分)如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的 门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计).
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长;
(2)每个生态园的面积 (填“能”或“不能”)达到108平方米.
24.(10分)如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2 cms的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动.如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2.
(1)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围;
(2)判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值.
25.(10分)某宾馆有30个房间供旅客居住，当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)每个房间每天的定价为多少时，宾馆利润最大?
(2)若物价局规定，每个房间每天定价不得超过200元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润?最大利润是多少?
26.(10分)如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(1，0)，B(0，﹣3)两点.
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出P点坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
1.(2 分)如果(m﹣1)x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则( )
A.m≠0 B.m≠1 C.m=0 D.m=1
【解答】解：由题意m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选B.
2.(2分)下列方程有两个相等的实数根的是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+6x﹣9=0 C.x2﹣4x+4=0 D.4x2+2x+1=0
【解答】解：
A、方程x2+2x+4=0的判别式△=4﹣4×4=﹣12<0，该方程无实数根;
B、方程x2+6x﹣9=0的判别式△=36﹣4×(﹣9)=72>0，该方程有两个不相等的实数根;
C、方程x2﹣4x+4=0的判别式△=(﹣4)2﹣4×4=0， 该方程有两个相等的实数根;
D、方程4x2+2x+1=0的判别式△=4﹣4×4=﹣12<0，该方程无实数根;
故选C.
3.(2分)下列函数是二次函数的是( )
A.y=x+ B.y=3(x﹣1)2 C.y=ax2+bx+c D.y= +3x
【解答】解：A、y=x+ 是一次函数，此选项错误;
B、y=3(x﹣1)2是二次函数，此选项正确;
C、y=ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误;
D、y= +3x不是二次函数，此选项错误;
故选B.
4.(2分)已知方程x2﹣14x+48=0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为( )
A.10 B.2 C.10或2 D.8
【解答】解：方程x2﹣14x+48=0的两个根是6和8.也就是Rt△ABC的两条边的长是6和8.
当6和8都是直角边时，第三边= =10.
当8为斜边时，第三边= =2 .
故第三边长是10或2 .
故选：C.
5.(2分)在一条直线上有若干个不同的点，共组成45条线段，设共有x个点，则下列方程正确的是( )
A.x(x﹣1)=45 B. =45 C.x(x+1)=45 D. =45
【解答】解：设共有x个点，根据题意，得
=45.
故选B.
6.(2分)抛物线y=﹣2(x+1)2﹣4的顶点坐标是( )
A.(1，﹣4) B.(1，4) C.(﹣1，﹣4) D.(﹣1，4)
【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣2(x+1)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣4).
故选C.
7.(2分)二次函数y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值 为( )
A.﹣ B. C.1 D.﹣1
【解答】解：∵二次函数的解析式是y=﹣ (x﹣1)2﹣ ，
∴该抛物线开口方向向上，且顶点坐标是(1，﹣ )，
∴二次函数y=﹣ (x﹣1)2﹣ 的最大值为﹣ ，
故选：A.
8.(2分)关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根，那么实数k的取值范围是( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0 C.k≤1且k≠0 D.k≥ 1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根，
∴根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.
即k≤1且k≠0.
故选C.
9.(2分)在抛物线y=﹣2x2﹣x+1上的一个点是( )
A.(1，0) B.(﹣2，﹣5) C.(2，﹣5) D.(﹣1，3)
【解答】解：A、x=1时，y=﹣2x2﹣x+1=﹣2≠0，点(1，0)不在抛物线上;
B、x=﹣2时，y=﹣2x2﹣x+1=﹣5，点(﹣2，﹣5)在抛物线上;
C、x=2时，y=﹣2x2﹣x+1=﹣9≠﹣5，点(2，﹣5)不在抛物线上;
D、x=﹣1时，y=﹣2x2﹣x+1=0≠3，点(﹣1，3)不在抛物线上.
故选B.
10.(2分)如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点.动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止.连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为( )
A. B. C. D. ?
【解答】解：(1)当0≤x≤ 时，
如图1，过M作ME⊥BC与E，
∵M为AB的中点，AB=2，
∴BM=1，
∵∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE= ﹣x，
在Rt△BME中，由勾 股定理得：MP2=ME2+PE2，
∴y= =x2﹣x+1;
(2)当
如图2，过M作ME⊥BC与E，
由(1)知BM=1，∠B=60°，
∴BE= ，ME= ，PE=x﹣ ，
∴MP2=ME2+PE2，
∴y= =x2﹣x+1;
(3)当2
如图3，连结MC，
∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，
∴∠BMC=90°，MC= = ，
∵AB∥DC，
∴∠MCD=∠BMC=90°，
∴MP2=MC2+PC2，
∴y= =x2﹣4x+7;综合(1)(2)(3)，只有B选项符合题意.
故选B.
二、填空题(本 大题共8小题，每小题2分，共16分)
11.(2分)二次函数y= (x ﹣1 )2+ (﹣2) 的图象的顶点坐标是(1，﹣2) .
【解答】解：二次 函数y= (x﹣1)2﹣2的图象的顶点坐标是(1，﹣2).
故答案为﹣1，(﹣2).
12.(2分)一元二次方程(x﹣2)(x+1)=2x﹣4化为一般形式是 x2﹣3x+2=0 .
【解答】解：(x﹣2)(x+1)=2x﹣4
x2﹣x﹣2=2x﹣4，
则一般形式是：x2﹣3x+2=0，
故答案为：x2﹣3x+2=0.
13.(2分)把抛物线y=﹣ x2﹣1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为 y=﹣ (x﹣2)2+2 .
【解答】解：原抛物线的顶点为(0，﹣1)，向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为(2，2)，
可得新抛物线的解析式为：y=﹣ (x﹣2)2+2，
故答案为：y=﹣ (x﹣2)2+2.
14.(2分)方程2(x﹣3)2=x﹣3的解是 x=3或x=3.5 .
【解答】解：∵2(x﹣3)2﹣(x﹣3)=0，
∴(x﹣3)(2x﹣7)=0，
则x﹣3=0或2x﹣7=0，
解得：x=3或x=3.5，
故答案为：x=3或x=3.5
15.(2分)已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为﹣2，则k= ﹣1 .
【解答】解：将x=﹣2代入直线y=﹣x+1得，y=2+1=3，
则交点坐标为(﹣2，3)，
将(﹣2，3)代入y=x2+k得，
3=4+k，
解得k=﹣1.
故答案为：﹣1.
16.(2分)已知函数y=﹣2x2﹣4x+1，当x <﹣1 时，y随x的增大而增大.
【解答】解：∵y=﹣2x2﹣4x+1中，对称轴为x=﹣ =﹣ =﹣1，开口向下，
∴当x<﹣1时y随x增大而增大.
故答案为：<﹣1.
17.(2分)从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为35cm2，则原来正方形的面积为 49cm2 .
【解答】解：设正方形边长为xcm，依题意得
x(x﹣2)=35
整理x2=2x+35
解方程得x1=7，x2=﹣5(舍去)
所以正方形的边长是7cm，面积是49cm2
故答案是：49cm2.
18.(2分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论：①因为a<0，所以函数y有最小值;②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=0时，函数y的值等于2;④在本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3.其中正确的结论有 ②③④ .(填序号)
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，函数y有最大值;故选项①错误;
由图象可知函数图象对称轴为x=1，故选项②正确;
∵当x=0时，y=2，故选项③正确;，
∵抛物线与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)
∴当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，故选项④正确;
故答案为：②③④.
三、解答题(本大题共8小题，共64分)
19.(6分)用配方法解方程：x2﹣4x﹣1=0.
【解答】解：x2﹣4x+4=1+4
(x﹣2)2=5
x=2±
20.(7分)用公式法解方程：x2﹣3x﹣5=0.
【解答】解：a=1，b=﹣3，c=﹣5，△=b2﹣4ac=9﹣4×1×(﹣5)=29，
x= = ，
x1= ，x2= .
21.(7分)已知方程x2+x+k=0的一个解是x=﹣5，求k值及另一个解.
【解答】解：∵方程x2+x+k=0的一个解是x=﹣5，
∴25﹣5+k=0，解得k=﹣20，
∴方程为x2+x﹣20=0，
解得x=﹣5或x=4，
∴k的值为 ﹣20，方程的另一个解为x=4.
22.(7分)从现在开始到2020年，是全国建成小康社会的决胜期.某村2016年底人均收入为14400元，计划到2018年底达到22500元，求该村人均纯收入的年平均增长率.
【解 答】解：设该村人均纯收入的年平均增长率为x，
根据题意得：14400(1+x)2=22500，
解得：x1=0.25=25%，x2=﹣2.25(舍去).
答：该村人均纯收入的年平均增长率为25%.
23.(7分)如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计).
(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长;
(2)每个生态园的面积 不能 (填“能”或“不能”)达到108平方米.
【解答】解：(1)设每个生态园垂直于墙的边长为x米，
根据题意，得：x(33+1.5×2﹣3x)=48×2，
整理，得：x2﹣12x+32=0，
解得：x1=4、x2=8(不合题意，舍去)，
当x=4时，33+1.5×2﹣3x=24，
24÷2=12，
答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米;
(2)根据题意，得：x(33+1.5×2﹣3x)=108×2，
整理，得：x2﹣12x+72=0，
由于△=(﹣12)2﹣4×1×72=﹣144<0，
所以方程无解，
即每个生态园的面积不能达到108平方米，
故答案为：不能.
24.(10分)如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2c ms的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动.如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2.
(1)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围;
(2)判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值.
【解答】解：(1)由题意得，AM=t，ON=2t，则OM=OA﹣AM=18﹣t，
四边形ABNM的面积S=△AOB的面积﹣△MON的面积
= ×18×30﹣ ×(18﹣t)×2t
=t2﹣18t+270(0
(2)S=t2﹣18t+270
=t2﹣18t+81﹣81+270
=(t﹣9)2+189，
∵a=1>0，
∴S有最小值，这个值是189.
25.(10分)某宾馆有30个房间供旅客居住，当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)每个房间每天的定价为多少时，宾馆利润最大?
(2)若物价局规定，每个房间每天定价不得超过200元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润?最大利润是多少?
【解答】解：(1)设每个房间的每天的定价为x元时，宾馆的利润为w元，
根据题意，得：w=(x﹣20)(30﹣ )
=﹣ x2+44x﹣840
=﹣ (x﹣220)2+4000，
∴每个房间每天的定价为220元时，宾馆利润最大;
(2)由(1)知，w=﹣ (x﹣220)2+4000，
∵a=﹣ <0，
∴当x<220时，w随x的增大而增大，
∴当x=200时，w最大，此时w=﹣ (200﹣220)2+4000=3600，
答：该宾馆定价为200元时，每天能获得最大利润，最大利润是3600元.
26.(10分)如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(1，0)，B(0，﹣3)两点.
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出P点坐标;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A(1，0)，B(0，﹣3)两点，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3，
即y=﹣(x﹣2)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，1);
(2)由(1)可得，C(2，0)，
又∵A(1，0)，B(0，﹣3)，
∴OC=2，OA=1，OB=3，
∴AC=1，
∴△ABC的面积= AC×OB= ×1×3= .
(3)存在，P点有2个，坐标为P1(2，3)，P2(2，﹣3).
如图，当四边形OBCP1是平行四边形时，CP1=OB=3，而OC=2，
故P1(2，3);
当四边形OBP2C是平行四边形时，CP2=OB=3，而OC=2，
故P2(2，﹣3).
第二学期九年级数学期中题相关文章：