上学期九年级数学期中试题
在初三的时候我们要做准备好我们的数学去考试哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏阅读哦
九年级数学上册期中试题参考
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是
A.(1，1) B.(2，2) C.(1，2) D.(1，3)
2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是
A.(3，-2) B.(2，3) C.(2，-3) D.(-3，-3)
3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是
A.a确定抛物线的开口方向与大小
B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变
4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为
A.48° B.132° C.48°或132° D.96°
5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
6.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为
A. B. C. 2 D. 3
4题图 5题图 6题图
7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于
A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1
8.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为
A.(-1，-2) B.(3，-2) C.(1，4) D.(1，3)
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为
A. B. C.3 D.
9题图 10题图
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2
A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点
的坐标是 .
12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.
13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .
14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.
16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .
三、解答题(共8小题，共72分)
17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.
18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10
的网格中的位置如图所示.
(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.
(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.
19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，
水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.
(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;
(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后
这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)
图1 图2
20.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，
求k的值.
21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50
千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的
北偏东75°方向上，距离A点240千米处.
(1)说明本次台风会影响B市;
(2)求这次台风影响B市的时间.
22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每
个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每
个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.
(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?
23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且 ，CE⊥DA交DA的延长线于点E.
(1)求证：∠CAB=∠CAE;
(2)求证：CE是⊙O的切线;
(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.
24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.
(1)求证：CF= BE，且CF⊥BE;
(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论
是否仍成立?并证明你的结论.
图1 图2
25.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.
(1)求抛物线解析式;
(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N.已知M点
的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的
长最大时S的值;
(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转
180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落
在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.
图1 图2
答案：
1-10 A C D C B A B C B D
11、(-3，0);12、-1
17、y=(x+1)2-4
18、(1)略;(2) (以AC为直径)
19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).
把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .
把y=-2代入y= x2,得， .
解得， .
所以，点C、D的坐标分别为( ,-2)、(- ,-2),
CD=2 .
答:水位上升1m时,水面宽约为2 m.
(2)当x=2时，y= ，
因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且| |<1.5，所以这艘船能从桥下通过.
20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x轴有交点，
∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，
解得k≤ ;
(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴(x1+x2)2-2x1x2=39，
∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，
∵k≤ ，
∴k=-4.
21、解：(1)作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，
∴BD=240× =120<130，
∴本次台风会影响B市.
(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，
若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F时，台风影响结束.
由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，
∴EF=2 =100，
∴台风影响的时间t= =2(小时).
故B市受台风影响的时间为2小时.
22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;
(2)w=(x-20)(-0.1x+62)
=-0.1x2+64x-1240
=-0.1(x-320)2+9000，
∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.
23、证明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠CAE;
(2)连接OC
∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，
又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(3)过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，
∴AE=AF，
在△CED和△CFB中，
，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
设AB=x，则AD=x-2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，
解得，x=5，
∴⊙O的半径的长为2.5.
24、解：(1)在△ACD和△BCE中，
∵ ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，
∵F为AD中点，∠ACD=90°，
∴FC=AF= AD，
∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，
∴CF⊥BE;
(2)此时仍有CF= BE、CF⊥BE，
延长CF至G，使FG=CF，连接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵ ，
∴△DFC≌△AFG(SAS)，
∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，
∴AG∥DC，AG=CE，
∴∠GAC+∠DCA=180°，
又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵ ，
∴△BCE≌△CAG(SAS)，
∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，
∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，
∴CF⊥BE.
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，
将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.
(2)如图1中，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，
设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，
则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3
，
MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，
∵a=-1<0， -3
∴m=- 时，MN最大，此时S= ;
(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.
设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)
∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，
解得，t= ，则B′的坐标为( ， )，
P是点B和点B′的对称中心，
∴P( ， ).
初三九年级数学上学期期中试卷
一、选择题(每题4分，共40分).
1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算，正确的是( )
A. B. C. D.
3.若 是方程 的一个根，则 的值为( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程 时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.下列各组线段的长度成比例的是( )
A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1cm， cm，2cm， cm
C.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm D.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如图，某小区计划在一块长为 ，宽为 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在 轴上， 的中点是坐标原点 固定点 ， ，把正方形沿箭头方向推，使点 落在 轴正半轴上点 处，则点 的对应点 的坐标为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共24分).
11.使 有意义的 的取值范围是 .
12.方程 的根是
13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是 米.
14.已知2
15.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= .
16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD= ; ②图中阴影部分面积为 .
三、解答题(共86分).
17.计算：(8分)
(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.
18.解方程： (8分)
19.先化简，再求值： ，其中 (8分)
20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.(8分)
21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(请根据题意画出图形，写出已知， 求证并证明) (8分)
22. (8分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?
23.(8分)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(1，﹣1)，B(3，1)，将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD(点A与点C对应，点B与D对应).
(1)请在图中画出线段CD;
(2)请直接写出点A、B的对应点坐标C(______，______)，D(______，______);
(3)在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标(___，___).
24.(8分)如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F.
(1)求证：△ABF∽△EAD;
(2)当AD= ， 时，求AF的长.
25. (10分) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 %，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 %，但销售均价比去年减少了 %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 的值.
26. (12分) 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE.小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE(如图2)，使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长;
(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD= DB(其中0< < )，∠AED=∠BCD，求 的值(用含k的式子表示).
秋九年级期中考试数学科试卷参考答案
一、选择题(每题4分，共40分).
1.下列根式是最简二次根式的是(C)
A. B. C. D.
2.下列计算，正确的是(D)
A. B. C. D.
3.若 是方程 的一个根，则 的值为(D)
A. B. C. D.
4.用配方法解方程 时，配方结果正确的是( B )
A. B. C. D.
5.已知 ，则 的值为( D )
A. B. C. D.
6.下列各组线段的长度成比例的是( B )
A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1cm， cm，2cm， cm
C.1.5cm，2.5cm，4.5cm， 6.5cm D.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如图，某小区计划在一块长为 ，宽为 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是( A )
A. B.
C. D.
8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在 轴上， 的中点是坐标原点 固定点 ， ，把正方形沿箭头方向推，使点 落在 轴正半轴上点 处，则点 的对应点 的坐标为( D )
A. B. C. D.
9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(D)
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为(C)
A. B. C. D.
二、填空题(每题4分，共24分).
11.使 有意义的 的取值范围是 x≥6 .
12.方程 的根是 ,
13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是 4 米.
14.已知2
15.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= 1 .
16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD= 10 ; ②图中阴影部分面积为 .
三、解答题(共86分).
17.计算：
(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.
(1)原式=806-10;
(2)原式=2+1.
18.解方程：
解：(x-3)(x-1)=3
x2-4x+3=3，
x2-4x=0，
x(x-4)=0,
x1=0,x2=4.
19.先化简，再求值： ，其中
解：原式=x2﹣2+x﹣x2=x﹣2，
当x= +2时，
原式= +2﹣2= .
20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
证明：∵△=[﹣(2m+1)]2﹣4(m2+m﹣2)
=4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+8=9>0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根.
21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(请根据题意画出图形，写出已知， 求证并证明)
22.受益于国家支持新能 源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重 利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;
(2)若2017年保持前两年利润的年平 均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?
解：(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意得
2(1+x)2=2.88，
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 (不合题意，舍去).
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88(1+20%)=3.456，3.456>3.4
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
23.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(1，﹣1)，B(3，1)，将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD(点A与点C对应，点B与D对应).
(1)请在图中画出线段CD;
(2)请直接写出点A、B的对应点坐标C(______，______)，D(______，______);
(3)在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标(___，___).
解：(1)如图，CD为所作;
(2)C(1，1)，D(﹣1，4);
(3)P(0.5，0).
故答案为1，1;﹣1，4;0.5，0.
24.如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F.
(1)求证：△ABF∽△EAD;
(2)当AD= ， 时，求AF的长.
【解答】(1)证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD.
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2
∵ = ，
∴DE= CD= ，
在Rt△ADE中，AE= = = ，
∵△ABF∽△EAD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AF=2.
25. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产.
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了 %，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 %，但销售均价比去年减少了 %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求 的值.
解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克;
(2)由题意可得：
100(1﹣m%)×30+200×(1+2m%)×20(1﹣m%)=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000(1﹣y)+4000(1+2y)(1﹣y)=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0(舍去)，m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值为12.5.
26. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE.小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE(如图2)，使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS (填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长;
(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD= DB(其中0< < )，∠AED=∠BCD，求 的值(用含k的式子表示).
解答证明：(1)如图2，
作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE(AAS)，
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF= BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
(2)如图3，
连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE= CD= AD，
∴tan∠DAE= = = ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE= ，
∴ ，
∴CG= ×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴ ，
∵CD= AC，CE= CD= AC，
∴ ，
∴AC=4;
∴AB=4;
(3)如图4，
过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG= a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1)，
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°.
∴BH= a(k+1)，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2 a(k+1)，
∴CG=BC﹣BG= a(2k+1)，
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN= ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC.
∴ ，
∴ ，
∴NE=3ak(2k+1)，
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2)，
∴ = .
秋季学期九年级上数学期中试题
一、单选题(共 10 题，每题 4 分，共 40 分)
1.下列说法正确的是( )
A.同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B.0°的圆心角所对的弦是直径
C.平分弦的直径垂直于这条弦
D.三点确定一个圆
2.向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y ax2 bx .若
此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的?( )
A.第 8 秒 B.第 10 秒 C.第 12 秒 D.第 15 秒
3.若将函数 y 2x2 的图象向上平移 5 个单位，再向右平行移动 1 个单位，得到的抛物线是
( )
A. y 2 x 52 1
C. y 2 x 12 5
B. y 2 x 52 1
D. y 2 x 12 5
4.一个布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，1 个白球.从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球，则两次摸到的球都是红球的概率是( )
5.已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c<0; ②a-b+c>1; ③abc>0;
④4a-2b+c<0; ⑤c-a>1. 其中正确的结论的个数是( )
A.2 个 B.3 个
C.4 个 D.5 个
6.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，把半圆沿弦 AC 折叠， AC 恰好经过点
O，则 BC 与 AC 的关系是( )
A.BC 1 AC
2
B.
BC 1 AC
3
C.
BC AC
D.不能确定
7.如图，Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB=2，以 AB 的中点 D 为圆心 DC 为半径，作圆心角为 90°的扇形 DEF，则图中阴影部分的面积为( )
A. 2 2
B. 1 2
C.π-2 D.π-1
8.已知二次函数 y=﹣x2+x+6 及一次函数 y=﹣x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线
y=﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是( )
A. 25 m 3 4
B. 25 m 2 4
C.﹣2
9.已知如图，抛物线 y x2 2x 3 交 x 轴于 A、B 两点，顶点为 C，CH⊥AB 交 x 轴于
H，在 CH 右侧的抛物线上有一点 P，已知 PQ⊥AC，垂足为 Q，当∠ACH=∠CPQ 时， 此时 CP 的长为( )
10.二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形(如图 1 中 C)按某种规律组成的一个大正方形，现有 25×25 格式的正方形如图 1，角上是三个 7×7 的 A 型大黑白相间正方形，中间右下一个 5×5 的 B 型黑白相间正方形，除这
4 个正方形外，若其他的小正方形白色块数 y 与黑色块数 x 正好满足如图 2 所示的函数图象，则该 25×25 格式的二维码共有多少块黑色的 C 型小正方形( )
A.153 B.218 C.100 D.216
二、填空题(共 6 题，每题 5 分，共 30 分)
11.. 如图， 四个函数的图像中， 分别对应的是： ① y ax2 ; ② y bx2 ; ③ y cx2 ;
④ y dx2 .则 a、b、c、d 的大小关系为 .
第 11 题图 第 13 题图
12.三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为 .
13.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将
△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC ′，点 C ′ 在 OA 上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为 cm2.(结果保留 π)
14.平行于 x 轴的直线 l 分别与一次函数 y=﹣x+3 和二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象交于
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，且 x1
15.在平面直角坐标系，对于点 P(x，y)和 Q(x，y′ )，给出如下定义：若 y y x 0 ，
则称点 Q 为点 P 的“可控变点”.例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点
( ﹣ 1 ， 3) 的“ 可控变点” 为点( ﹣ 1 ，﹣ 3) .点( ﹣ 5 ，﹣ 2) 的“ 可控变点” 坐标为 ;若点 P 在函数 y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数 a 的取值范围为 .
16.某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一
件需缴纳电商平台推广费用 a 元(a>0).未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1
元”的夏令促销活动，即从第 1 天起每天的单价均比前一天降 1 元.通过市场调研发
现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件.在这 30 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t ( t 为正整数) 的增大而增大， a 的取值范围应为 .
三、解答题(共 8 题，共 80 分)
17.(8 分)某居民小区一处圆柱形的输水管破裂，维修人员为更新管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面(要求：保留作图痕迹，标出圆心 O);
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径.
18.(8 分)已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3)
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=-x 上，并写出平移后抛物线的表达式.
19.(8 分)如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上任意一点(不与点
A、B 重合)，连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，连接 AD.
(1)弦长 AB 等于 (结果保留根号);
(2)当∠D=20°时，求∠BOD 的度数.
20.(10 分)随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更加多样、便捷.李老师组织数学兴趣小组的同学们开展了“你最喜欢的沟通方式”问卷调查活动，并在全校范围内随机调查了部分学生(每人必选且只选一种)，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)寒假中的某一天，张明和李响都想从“电话”、“微信”、“QQ”三种沟通方式选一种方式与李老师联系，请用列表或画树状图的方法求出张明和李响两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.
21.(10 分)已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED.
(1)求证：ED=EC;
(2)若 CD=3， EC 2
，求 AB 的长.
22.(10 分)若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图 1，四边形 ABCD 中，若 AC=BD，AC⊥BD，则称四边形 ABCD 为奇妙四边形.根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：
“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答：
(1)矩形 “奇妙四边形”(填“是”或“不是”);
(2)如图 2，已知⊙O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”，若⊙O 的半径为 6，
∠BCD=60°.“奇妙四边形”ABCD 的面积为 ;
(3)如图 3，已知⊙O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”作 OM⊥BC 于 M.请猜测
OM 与 AD 的数量关系，并证明你的结论.
23.(12 分)某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每件 145 元，每天销售 40 件，每
销售一件需支付给商场管理费 5 元，未来一个月(按 30 天计算)，这款商品将开展
“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件，设第 x 天(1≤x≤30 且 x 为整数)的销售量为 y 件.
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式;
(2)设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大?最大利润是多少元?
24.(14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点的坐标分别为(-4，0)，
(4，0)，C(m，0)是线段 AB 上一点(与 A，B 点不重合)，抛物线 L1： y ax2 b x c
(a<0)经过点 A，C，顶点为 D，抛物线 L2： y ax2 b x c (a<0)经过点 C，B，
顶点为 E，AD，BE 的延长线相交于点 F.
(1)若 a 1 ，m=-1，求抛物线 L ，L 的解析式;
2 1 2
(2)若 a=-1，AF⊥BF，求 m 的值;
(3)是否存在这样的实数 a(a<0)，无论 m 取何值， 直线 AF 与 BF 都不可能互相垂直?若存在，请直接写出 a 的两个不同的值;若不存在，请说明理由.
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