九年级数学上期末考试卷带答案(2)
九年级数学上期末考试卷带答案
九年级数学上期末考试卷参考答案
一、选择题(每题3分，共18分)
1.数据：2，3，3，5，7的极差是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】极差.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据极差的定义解答，即用7减去2即可.
【解答】解：数据2，3，3，5，7的极差是7﹣2=5.
故选D.
【点评】极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )
A.2 B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义;坐标与图形性质.
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边，可得答案.
【解答】解：如图： ，
tanα= = .
故选：B.
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
3.在比例尺是1：46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm，则这条道路的实际长度约为( )
A.368×103cm B.36.8×104cm C.3.68×105cm D.3.68×106cm
【考点】比例线段;科学记数法—表示较大的数.
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可.
【解答】解：设这条道路的实际长度为xcm，则：
= ，
解得x=368000.
368000cm=3.68×105cm.
所以这条道路的实际长度为3.68×105cm.
故选C.
【点评】本题主要考查了比例线段，比例尺的意义，能够根据比例尺正确进行计算.也考查了科学记数法.
4.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1且m≠0 D.m≥﹣1且m≠0
【考点】根的判别式.
【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
【解答】解：由题意知，△=4+4m≥0，
∴m≥﹣1，
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式.当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.以及一元二次方程的意义.
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB的度数为( )
A.45° B.40° C.80° D.50°
【考点】圆周角定理.
【分析】由OA=OB，可求得∠OBA=∠OAB=40°，继而求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得答案.
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°.
故选：D.
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.
6.关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是( )
A.抛物线与x轴有两个交点
B.当x=1时，函数有最大值
C.抛物线可由 经过平移得到
D.当﹣1
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得求解.
【解答】解：A、∵a=﹣ <0，顶点(1，2)，
∴抛物线与x轴有两个交点;
B、∵抛物线开口向下，顶点(1，2)∴当x=1时，函数有最大值2;
C、抛物线可由 向右平移1个单位，向上平移2个单位得到;
D、∵当﹣1
综上所述，结论错误的是D.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性.
二、填空题(每题3分，共30分)
7.若x=0是关于x的方程x2﹣x﹣a2+9=0的一个根，则a的值为±3.
【考点】一元二次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可.
【解答】解：把x=0代入x2﹣x﹣a2+9=0得﹣a2+9=0，解得a=±3.
故答案为±3.
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
8.人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，则成绩较为稳定的班级是甲班(填甲班或乙班).
【考点】方差.
【分析】由于S甲2
【解答】解：∵ =90，S甲2=1.234，S乙2=2.001，
∴S甲2
∴甲班的成绩较为稳定.
故答案为甲班.
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2= [(x1﹣x¯)2+(x2﹣x¯)2+…+(xn﹣x¯)2];方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.
9.已知⊙O的半径为5cm，点O到直线MN的距离为4，则⊙O与直线MN的位置关系为相交.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆心O到直线MN的距离小于半径即可判定直线MN与⊙O的位置关系为相交.
【解答】解：∵圆心O到直线MN的距离是4cm，小于⊙O的半径为5cm，
∴直线MN与⊙O相交.
故答案为：相交.
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答.若d
10.如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是 .
【考点】几何概率.
【分析】设圆的面积为6，易得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可.
【解答】解：设圆的面积为6，
∵圆被分成6个相同扇形，
∴每个扇形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率 = ;
故答案为： .
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率= .
11.已知△ABC∽△DEF，且 ，则 = .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方进而得出答案.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且 ，
∴ = .
故答案为： .
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键.
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB= ，则AC的长为6.
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.
【分析】首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长.
【解答】解：∵AB=10，cosB= ，
∴BC=10× =8，
∴AC= =6，
故答案为：6.
【点评】此题主要考查了三角函数，以及勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义.
13.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是2π厘米2(结果保留π).
【考点】圆锥的计算.
【分析】根据圆锥侧面积的求法：S侧= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可.
【解答】解：该圆锥的侧面积是：
S侧= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π(厘米2).
故答案为：2π.
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧= •2πr•l=πrl.
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是120°.
【考点】圆内接四边形的性质.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可.
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，
∴∠BCD=120°，
故答案为：120°.
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
15.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1： ，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( ， ).
【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【分析】由题意可得OA：OD=1： ，又由点A的坐标为(1，0)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标.
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1： ，
∴OA：OD=1： ，
∵点A的坐标为(1，0)，
即OA=1，
∴OD= ，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD= .
∴E点的坐标为：( ， ).
故答案为：( ， ).
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键.
16.如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线y= +2x交x轴的负半轴于A，以O为旋转中心，将线段OA按逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的α的值是30°或150°.
【考点】抛物线与x轴的交点;坐标与图形变化-平移;坐标与图形变化-旋转.
【分析】首先求出抛物线的顶点坐标以及AO的长，再利用平移的性质结合AO只是左右平移，进而得出旋转的角度.
【解答】解：由题意可得：y= +2x= (x+2)2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为：(2，﹣2)，
当y=0时，0= (x+2)2﹣2
解得：x1=0，x2=4，
故AO=4，
∵将线段OA按逆时针方向旋转α(0°<α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，
∴旋转后对应点A′到x轴的距离为：2，
如图，过点A′作A′C⊥x轴于点C，
当∠COA′=30°，
则CA′= A′O=2，
故α为30°时符合题意，
同理可得：α为150°时也符合题意，
综上所述：所有符合题意的α的值是30°或150°.
故答案为：30°或150°.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键.
三、解答题(共102分)
17.计算或解方程：
(1)|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+ + .
(2)x2﹣6x+5=0(配方法)
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果;
(2)方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解.
【解答】解：(1)原式=2﹣ ﹣1+4+ =5;
(2)方程整理得：x2﹣6x=﹣5，
配方得：x2﹣6x+9=4，即(x﹣3)2=4，
开方得：x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得：x1=5，x2=1.
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示.
(1)根据图示填写下表;
平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好.
【考点】条形统计图;加权平均数;中位数;众数.
【分析】(1)根据众数、中位数以及平均数的定义即可解答;
(2)首先比较平均数，然后根据中位数的大小判断.
【解答】解：(1)初一队的成绩的平均数是： (75+80+85+85+100)=85，
初一队成绩的众数是85分;
初二队的成绩从小到大排列是：70，75，80，100，100.则中位数是80分.
平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
初一 85 85 85
初二 85 80 100
(2)两队的平均成绩相同，而初一队的中位数较大，因而初一队成绩较好.
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
19.如图，有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致.现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C;第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片.
(1)请用画树状图或列表法表示出所有可能结果;(卡片可用A，B，C，D，E表示)
(2)将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【专题】计算题.
【分析】(1)画出树状图展示所有6种等可能的结果数;
(2)根据方程解得定义，找出第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)画树状图为：
共有6种等可能的结果数;
(2)因为第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解的结果数为2，
所以事件M的概率= = .
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
20.某商店6月份的利润是2000元，要使8月份的利润达到3380元，平均每月利润增长的百分率是多少?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2000(1+x)元，8月份的利润是2000(1+x)2元，而此时利润是3380元，根据8月份的利润不变，列出方程.
【解答】解：设平均每月增长的百分率是x，依题意，得
2000(1+x)2=3380，
解得x1=0.3，x2=﹣2.3(不合题意，舍去).
答：平均每月增长的百分率应该是30%.
【点评】本题考查的是平均增长率问题.明确增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量是解题的关键.
21.为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.
(1)求公益广告牌的高度AB;
(2)求加固钢缆AD和BD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】(1)根据已知和tan∠ADC= ，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根据cos∠ADC= ，求出AD，根据cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键.
22.如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D.已知经过点D的⊙O切线恰好经过点C.
(1)试判断CD与AC的位置关系，并证明;
(2)若△ACB∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定;扇形面积的计算;相似三角形的判定与性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)连结OD，如图，由OD=OB得∠ODB=∠B，由AC=CB得∠A=∠B，则∠A=∠ODB，于是可判断OD∥AC，根据平行线的性质得∠ACD=∠ODC，再根据切线的性质得∠ODC=90°，则∠DCA=90°，所以CD⊥AC;
(2)根据相似三角形的性质，由△ACB∽△CDB得到∠BCD=∠A，理由三角形外角性质易得∠ADC=2∠B，则∠ADC=2∠A，再利用三角形内角和定理得∠A+∠ADC=90°，可计算出∠A=30°，则∠CDB=∠B=30°，∠COD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出CD= AC= ，再在Rt△ODC中计算出OD= CD=1，然后利用三角形的面积减去扇形的面积可得到图中阴影部分的面积.
【解答】解：(1)CD⊥AC.理由如下：
连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AC=CB，
∴∠A=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ACD=∠ODC，
∵CD是⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠DCA=90°，
∴CD⊥AC;
(2)∵△ACB∽△CDB，
∴∠BCD=∠A，
∴∠ADC=2∠B，
而∠A=∠B，
∴∠ADC=2∠A，
∵∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠COD=60°，
在Rt△ACD中，CD= AC= ，
在Rt△ODC中，OD= CD=1，
∴图中阴影部分的面积= ×1× ﹣ = ﹣ .
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了扇形的面积计算和相似三角形的性质.
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长
线交AB于H.
(1)求证：△CAG∽△ABC;
(2)求S△AGH：S△ABC的值.
【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的重心.
【分析】(1)证明：CG交AB于D，如图，设GD=a，根据重心的性质得CG=2DG=2a，根据重心的定义得CD为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AD=BD=3a，则∠1=∠3，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC;
(2)由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG= CH，求得S△AHG= S△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S△ACH= S△ABC，推出S△AHG= S△ABC，即可得到结论.
【解答】(1)证明：如图，设GH=a，
∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，
∴CH=AH=BH=3a，
∴∠1=∠3，
∵AG⊥CG，
∴∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴∠B=∠3，
而∠ACB=∠AGC=90°，
∴△CAG∽△ABC;
(2)∵点G是△ABC的重心，
∴CG=2HG，
∴HG= CH，
∴S△AHG= S△ACH，
∵CH为AB边上的中线，
∴S△ACH= S△ABC，
∴S△AHG= S△ABC，
∴S△AGH：S△ABC=1：6.
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点;重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查相似三角形的判定与性质.
24.某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克;若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克.通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系.
(1)求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式;
(2)当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元?(利润=销售量×(销售单价﹣进价))
(3)该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)以9元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克;以11元/千克的价格销售，那么每天可售出120千克，就相当于直线过点(9，200)，(11，120)，然后列方程组解答即可;
(2)根据利润=销售量×(销售单价﹣进价)写出方程求出即可;
(3)根据利润=销售量×(销售单价﹣进价)写出解析式，然后利用配方法求最大值，再结合二次函数性质得出答案.
【解答】解：(1)设y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为：y=kx+b，
根据题意可得： ，
解得： .
故y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为：y=﹣40x+560;
(2)∵W=280元，
∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)
解得：x1=7，x2=13.
答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元;
(3)∵利润=销售量×(销售单价﹣进价)
∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)
=﹣40x2+800x﹣3360
=﹣40(x﹣10)2+640，
当售价为10元，则y=560﹣400=160，
160×6=960(元)>720元，
则当(﹣40x+560)×6=720，
解得：x=11.
即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键.
25.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(﹣8，0)，点B的坐标是(0，n)(n>0).P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连接PP′，P′A，P′C.设点P的横坐标为m.
(1)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D：DC=5：13时，求m的值;
(2)若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n;
(3)若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的m，n的值;若不存在，请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)由条件可得△P′PD∽△CAD，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值;
(2)过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，于是得到直线的解析式是：y= x+n，求得PC=P′H= +n，根据三角函数的定义得到 = ，即可得到结论;
(3)分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论，由等腰三角形可先求得m的值，再根据相似三角形可得到关于n的方程，可求得n的值.
【解答】解：(1)∵PP′∥AC，
∴△P′PD∽△CAD，
∴ = = ，
∴ = ，
解得：m= ;
(2)过P′H⊥AC于H，设直线AB的解析式为y=kx+n，
把x=﹣8，y=0代入得：﹣8k+n=0，
∴k= ，
∴直线的解析式是：y= x+n，
把x=m代入得y= +n，
∴PC=P′H= +n，
∵∠ACP′=60°，
∴ = ，
∴ = ，
∴n= ;
(3)当点P在第一象限且△P′CA为等腰直角三角形时，分∠AP′C、∠P′AC和∠P′CA分别为直角进行讨论.
第一种情况：
若∠AP′C=90°，P′A=P′C，
过点P′作P′H⊥x轴于点H.
∴PP′=CH=AH=P′H= AC.
∴2m= (m+8)，
∴m= ，P′H= ，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，
∴n=4;
第二种情况：
若∠P′AC=90°，P′A=AC，则PP′=AC，
∴2m=m+8，
∴m=8，
∵△P′AC为等腰直角三角形，
∴四边形P′ACP为正方形，
∴PC=AC=16，
∵△AOB∽△ACP，
∴ ，即 = ，
∴n=8;
第三种情况：
若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
∴所有满足条件的m= ，n=4或m=8，n=8.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质、坐标与图形等知识点的综合应用，在(1)中由条件证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得到关于m的方程是解题的关键;在(3)中分三种情况分别讨论是解题的关键;属于基础知识的综合考查，难度不大，注意对基础知识的熟练应用.
26.(14分)已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1、x2=3时，y1=y2.
(1)①求m;②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值.
(2)若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数图象上的两点，且b1>b2，求实数a的取值范围.
(3)若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，求n的范围.
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数图象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】(1)①利用抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，则根据抛物线对称轴方程得到﹣ =2，然后解方程即可得到m的值;
②利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=m2﹣4n=0，然后解方程即可得到n的值;
(2)利用二次函数的性质，由于x1=1、x2=3时，y1=y2，点P到直线x=2的距离比点Q到直线x=2的距离要大，于是可得到a<1或a>3;
(3)由于对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则判断二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，根据顶点坐标公式得到 ≥1，然后解不等式即可.
【解答】解：(1)①∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
即﹣ =2，
∴m=﹣4;
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m2﹣4n=0，
而m=﹣4，
∴n=4;
(2)∵x1=1、x2=3时，y1=y2，
而抛物线开口向上，
∴当a>3时，b1>b2，或a<1时，b1>b2，
即实数a的取值范围为a<1或a>3;
(3)∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函数y=x2﹣4x+n的最小值大于或等于1，
即 ≥1，
∴n≥5.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程;△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.也考查了二次函数的性质.利用数形结合的思想是解决本题的关键.
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