九年级数学上期末测试卷苏教版(2)
九年级数学上期末测试卷苏教版参考答案
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上).
1.一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=0，x2=﹣2 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=﹣2 D.x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选D.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中.
2.将抛物线y=2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为( )
A.y=2(x+2)2+3 B.y=(2x﹣2)2+3 C.y=(2x+2)2﹣3 D.y=2(x﹣2)2+3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为(2，3)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，把点(0，0)向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为(2，3)，
所以平移后抛物线的解析式为y=2(x﹣2)2+3.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
3.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式.
【分析】由在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是： = .
故选B.
【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，则AD：BD=( )
A.2：1 B.1：2 C.2：3 D.4：9
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到 =( )2= ，求得 = ，即可得到结论.
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =( )2= ，
∴ = ，
∴AD：BD=2：1，
故选A.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法正确的个数是( )
①a>0;②b>0;③c<0;④b2﹣4ac>0;⑤a+b+c=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线开口方向对①进行判断;根据抛物线的对称轴位置对②进行判断;根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断;根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断;当x=1时，y>0，则a+b+c>0对⑤进行判断.
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，所以①错误;
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣ >0，
∴b>0，所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，所以③错误;
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac>0，所以④正确;
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，所以⑤错误.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右.(简称：左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
6.如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧 长度为( )
A. π B. π C. π D. π
【考点】弧长的计算;正多边形和圆.
【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE=90°，∠OCD=90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，求出∠AOC的度数，利用弧长公式计算即可.
【解答】解：连接OA、OC，
∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE=90°，∠OCD=90°，
正五边形ABCDE的每个内角的度数为 =108°，
∴∠AOC=540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°=144°，
∴ 长度= = ，
故选：C.
【点评】本题考查的是弧长的计算和正多边形的内角和公式的应用，掌握弧长的计算公式：l= 是解题的关键.
二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7.样本﹣1、0、1、2、3的极差是 4 .
【考点】极差.
【分析】根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值计算.
【解答】解：极差=3﹣(﹣1)=4.
故答案为：4.
【点评】此题主要考查了极差的定义，注意极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.
8.如果 = ≠0，那么 = .
【考点】比例的性质.
【分析】直接利用已知将比例式变形得出答案.
【解答】解：∵ = ≠0，
∴ = .
故答案为： .
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键.
9.要制作一个高为8cm，底面圆直径是12cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 60π cm2.
【考点】圆锥的计算.
【分析】易得圆锥的底面半径是6，那么利用勾股定理可得圆锥的母线长为10，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解.
【解答】解：圆锥的半径为12÷2=6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长为10cm.
∴所需纸板的面积为π×6×10=60πcm2.
【点评】考查圆锥的侧面展开图公式;用到的知识点为：圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解.
10.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解.
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3.
故答案是：3.
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键.
11.如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=﹣ (x﹣80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴.若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为 米.
【考点】二次函数的应用.
【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长.
【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ (x﹣80)2+16=﹣ (﹣10﹣80)2+16=﹣ ，
∴C(﹣10，﹣ )，
∴桥面离水面的高度AC为 m.
故答案为： .
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.
12.已知二次函数y=x2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 m 2 …
则m的值为 ﹣1 .
【考点】二次函数的性质.
【分析】先把x=﹣1，y=2和x=0，y=﹣1代入二次函数解析式求出b、c，确定二次函数解析式，然后计算出自变量为2的函数值即可.
【解答】解：把x=﹣1，y=2和x=0，y=﹣1代入y=x2+bx+c ，解得 ，
所以二次函数为y=x2﹣2x﹣1，
当x=2时，y=4﹣4﹣1=﹣1，
所以m=﹣1.
故答案为﹣1.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
13.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C;直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则 的值为 .
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.
【解答】解：∵AH=2，HB=1，
∴AB=AH+BH=3，
∵l1∥l2∥l3，
∴ = ;
故答案为： .
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理;熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.
14.若m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根，则2015﹣m2+3m= 2016 .
【考点】一元二次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣3m+1=0，即m2﹣3m=﹣1，再变形得到2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m)，然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根，
∴m2﹣3m+1=0，即m2﹣3m=﹣1，
∴2015﹣m2+3m=2015﹣(m2﹣3m)=2015﹣(﹣1)=2016.
故答案为2016.
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
15.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过点A(0， )、O(0，0)、B(1，0)，点C在第一象限的 上，则∠BCO的度数为 30° .
【考点】圆周角定理;垂径定理;特殊角的三角函数值.
【分析】连接AB，根据A(0， )、B(1，0)可得出OA及OB的长，再由锐角三角函数的定义求出∠OAB的度数，根据圆周角定理即可得出结论.
【解答】解：连接AB，
∵A(0， )、B(1，0)，
∴OA= ，OB=1，
∴tan∠AOB= = = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠BCO=∠OAB=30°.
故答案为：30°.
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键.
16.如图，在直角形坐标系中有两点A(6，0)、B(0，8)，点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 (3，0)或(﹣ ，0) 时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似.
【考点】相似三角形的判定;坐标与图形性质.
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出AC的长，再根据△AOB∽△ADC与△AOB∽△ACD两种情况进行讨论.
【解答】解：∵在直角形坐标系中有两点A(6，0)、B(0，8)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= =10.
∵点C为AB的中点，
∴AC=5.
当△AOB∽△ADC时，
= ，即 = ，解得AD=3，
∴OD=OA﹣AD=6﹣3=3，
∴D(3，0);
当△AOB∽△ACD时，
= ，即 = ，解得AD= ，
∵AD﹣OA= ﹣6= ，
∴D(﹣ ，0).
综上所述，D点坐标为(3，0)或(﹣ ，0).
【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解.
三、解答题(本大题共11题，计88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.解方程：2x2+3x﹣1=0.
【考点】解一元二次方程-公式法.
【专题】计算题.
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解.
【解答】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x= .
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.
18.某校学生会正筹备一个“迎新年”文艺汇演活动，现准备从4名(其中两男两女)节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请列举出所有等可能的不同的选取搭配方法，并求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，其中“恰好为一男一女”的有8种;
∴选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率为： = .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
19.一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：
甲：7，9，10，8，5，9;
乙：9，6，8，10，7，8
(1)请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均分 方差 众数 中位数
甲组 8
9 8.5
乙组 8
8 8
(2)甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由. 两队平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩更稳定 .
【考点】方差;加权平均数;中位数;众数.
【分析】(1)利用平均数、方差的计算公式即可求得乙组平均数与甲组方差，然后根据中位数的定义，求出甲组中位数即可求出答案;
(2)根据已知条件以及(1)中表格所求数据，可知两组平均分相同，但乙组的方差小于甲组的方差，所以乙的成绩更稳定，乙组的成绩要好于甲组.
【解答】解：(1)乙组平均数为：(9+6+8+10+7+8)÷6=8;
甲组方差为： [(7﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2+(8﹣8)2+(5﹣8)2+(9﹣8)2]= ，
甲组成绩按从小到大的顺序排列为5，7，8，9，9，10，第三个与第四个数据分别是8，9，所以中位数是：(8+9)÷2=8.5.
填表如下：
平均分 方差 众数 中位数
甲组 8
9 8.5
乙组 8
8 8
(2)两队平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩更稳定.
故答案为 ，8.5，8;两队平均分相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩更稳定.
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.也考查了平均数、众数与中位数.
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为x1、x2，且x1•x2=2m2﹣1，求实数m的值.
【考点】根的判别式;根与系数的关系.
【分析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围;
(2)由根与系数的关系可以得到x1•x2=﹣m=2m2﹣1，据此即可求得m的值.
【解答】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有两个实数根，
∴b2﹣4ac=4+4m≥0，
解得m≥﹣1;
(2)由根与系数的关系可知：x1•x2=﹣m，
∵x1•x2=2m2﹣1，
∴﹣m=2m2﹣1，
整理得：2m2+m﹣1=0，
解得：m= 或m=﹣1.
∵ ，﹣1都在(1)所求m的取值范围内，
∴所求m的值为 或﹣1.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时，方程无实数根.
也考查了根与系数的关系.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC.
(1)求证：△ABD∽△DCB;
(2)如果AD=4，BC=9，求BD的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;平行线的性质.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】(1)由平行线的性质得∠ADB=∠DBC，已知∠BAD=∠BDC=90°，从而可得到△ABD∽△DCB.
(2)根据相似三角形的相似比即可求得BD的长.
【解答】解：(1)△ABD与△DCB相似，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°.
∵∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BDC.
∴△ABD∽△DCB.
(2)∵△ABD∽△DCB，
∴ = .
∴BD2=AD•CB.
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6.
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力.
22.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成某一角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间(单位：s)之间具有函数关系h=20t﹣5t2.请解答以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能，需要多少飞行时间?
(2)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(3)小球从飞出到落地要用多少时间?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)当h=15米时，15=20t﹣5t2，解方程即可解答;
(2)当h=20.5，得方程20.5=20t﹣5t2，解方程即可解答;
(3)当h=0时，0=20t﹣5t2，解方程即可解答.
【解答】解：(1)令h=15，得方程15=20t﹣5t2，
解这个方程得：t1=1，t2=3，
当小球的飞行1s和3s时，高度达到15 m;
(2)令h=20.5，得方程20.5=20t﹣5t2，
整理得：t2﹣4 t+4.1=0，
因为(﹣4)2﹣4×4.1<0，
所以方程无实数根，
所以小球的飞行高度不能达到20.5 m;
(3)小球飞出和落地时的高度都为0，令h=0，
得方程 0=20t﹣5t2，
解这个方程得：t1=0，t2=4，
所以小球从飞出到落地要用4s.
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键.
23.如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计)
(1)长方体盒子的长、宽、高分别为多少?(单位：cm)
(2)若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积.
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何图形问题.
【分析】(1)根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高;
(2)根据图示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，求出x的值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案.
【解答】解：(1)长方体盒子的长是：(30﹣2x)cm;
长方体盒子的宽是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)
长方体盒子的高是xcm;
(2)根据图示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，
解得x1=5，x2=﹣25(不合题意，舍去)，
长方体盒子的体积V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).
答：此时长方体盒子的体积为1500cm3.
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去.
24.如图，在ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC，交AB于点D.
(1)作△ACD外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
【考点】作图—复杂作图;切线的判定.
【专题】作图题.
【分析】(1)先作线段AD的垂直平分线交AD于O点，然后以O为圆心，OA为半径画圆即可;
(2)连接CO，如图，利用三角形外角性质得到∠COB=2∠A=60°，则∠COB+∠B=90°，所以∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切.
【解答】解：(1)如图，⊙O为所作;
(2)BC与⊙O相切.
证明如下：连接CO，如图，
∵∠A=∠B=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠COB+∠B=30°+60°=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
又BC经过半径OC的外端点C，
∴BC与⊙O相切.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了切线的判定定理.
25.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1.
(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标;
(2)结合图象，解答下列问题：
①当﹣1
②当y<3时，求x的取值范围.
【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)把A点和C点坐标代入y=ax2+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标;
(2)①先分别计算出x为﹣1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围;
②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y<3时，x的取值范围.
【解答】解：(1)根据题意得 ，解得 ，
所以二次函数关系式为y=﹣x2+2x+3，
因为y=﹣(x﹣1)2+4，
所以抛物线的顶点坐标为(1，4);
(2)①当x=﹣1时，y=0;x=2时，y=3;
而抛物线的顶点坐标为(1，4)，且开口向下，
所以当﹣1
②当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或2，
所以当y<3时，x<0或x>2.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.
26.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证：∠BCP=∠BAN
(2)求证： = .
【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论.
(2)由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论.
【解答】(1)证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN;
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由(1)知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴ .
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理.
27.某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克.据市场预测，该种水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天.另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用.
(1)若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 62 (元/千克)，获得的总利润为 10340 (元);
(2)设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w(元)与保存时间x(天)之间的函数关系式;
(3)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)将x=1代入水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=60+2x即可求得该种水果的售价，然后乘以水果质量求得利润即可;
(2)根据利润=售价×销售量﹣成本列出函数关系式即可;
(2)利用配方法即可求出利润最大值.
【解答】解：(1)当x=1时，y=60+2x=62(元)，
利润为：62×(500﹣10)﹣500×40﹣40=10340(元);
(2)由题意得：w=(60+2x)(500﹣10x)﹣40x﹣500×40
=﹣20x2+360x+10000;
(3)w=﹣20x2+360x+10000=﹣20(x﹣9)2+11620
∵0≤x≤8，x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大，
∴x=8时，w取最大值，w最大=11600.
答：批发商所获利润w的最大值为11600元.
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出来，注意掌握配方法求二次函数最值得应用.
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