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九年级数学上期末考试题(2)

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九年级数学上期末考试题

  九年级数学上期末考试题参考答案

  一、选择题(每小题3分,共30分)

  1.方程x2﹣4=0的解是(  )

  A.x=±2 B.x=±4 C.x=2 D.x=﹣2

  【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

  【分析】直接开平方法求解可得.

  【解答】解:∵x2﹣4=0,

  ∴x2=4,

  ∴x=±2,

  故选:A.

  2.反比例函数y= 的图象位于(  )

  A.第一、三象限 B.第三、四象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限

  【考点】反比例函数的性质.

  【分析】直接根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论.

  【解答】解:∵反比例函数y= 中,k=﹣4<0,

  ∴此函数图象的两个分支分别位于第二四象限.

  故选D.

  3.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么这个几何体的俯视图是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】简单组合体的三视图.

  【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.

  【解答】解:从上面可看到第一横行左下角有一个正方形,

  第二横行有3个正方形,

  第三横行中间有一个正方形.

  故选C.

  4.准备两组相同的牌,每组两张且大小相同,两张牌的牌面数字分别是0,1,从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为1的概率为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】根据题意列出表格,得到所有的可能情况,找到两张牌的牌面数字和为1的情况个数,即可求出所求的概率.

  【解答】解:根据题意列得:

  1 0

  1 2 1

  0 1 0

  所有的情况有4种,其中两张牌的牌面数字和为1的有2种,

  所以两张牌的牌面数字和为1的概率= = ,

  故选C.

  5.矩形的长为x,宽为y,面积为9,则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】反比例函数的图象;反比例函数的应用.

  【分析】根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式,根据x的范围以及函数类型即可作出判断.

  【解答】解:矩形的长为x,宽为y,面积为9,则y与x之间的函数关系式是:y= (x>0).

  是反比例函数,且图象只在第一象限.

  故选C.

  6.某种型号的电视机经过连续两次降价,每台售价由原来的1500元,降到了980元,设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  )

  A.1500(1﹣x)2=980 B.1500(1+x)2=980 C.980(1﹣x)2=1500 D.980(1+x)2=1500

  【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

  【分析】设平均每次降价的百分率为x,根据题意可得,原价×(1﹣降价百分率)2=现价,据此列方程即可.

  【解答】解:设平均每次降价的百分率为x,

  由题意得,1500(1﹣x)2=980.

  故选A.

  7.当k>0时,反比例函数y= 和一次函数y=kx+2的图象大致是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.

  【分析】根据k>0,判断出反比例函数y= 经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限,结合选项所给图象判断即可.

  【解答】解:∵k>0,

  ∴反比例函数y= 经过一三象限,一次函数y=kx+2经过一二三象限.

  故选C.

  8.已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0有一根为0,则k=(  )

  A.1 B.﹣1 C.±1 D.0

  【考点】一元二次方程的解;一元二次方程的定义.

  【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将x=0代入原方程即可求得k的值.

  【解答】解:把x=0代入一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0,

  得k2﹣1=0,

  解得k=﹣1或1;

  又k﹣1≠0,

  即k≠1;

  所以k=﹣1.

  故选B.

  9.如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③ .其中正确的有(  )

  A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

  【考点】三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质.

  【分析】若D、E是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线,可根据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断.

  【解答】解:∵D、E是AB、AC的中点,

  ∴DE是△ABC的中位线;

  ∴DE∥BC,BC=2DE;(故①正确)

  ∴△ADE∽△ABC;(故②正确)

  ∴ ,即 ;(故③正确)

  因此本题的三个结论都正确,故选A.

  10.如图,在正方形ABCD中,E位DC边上的点,连结BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连结EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为(  )

  A.15° B.10° C.20° D.25°

  【考点】旋转的性质;正方形的性质.

  【分析】由旋转前后的对应角相等可知,∠DFC=∠BEC=60°;一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形,可知∠EFC=45°,把这两个角作差即可.

  【解答】解:∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,

  ∴CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°,∠EFC=45°,

  ∴∠EFD=60°﹣45°=15°.

  故选:A.

  二、填空题(每题4分,共40分)

  11.随机掷一枚均匀的正方体骰子,骰子停止后朝上的点数小于3的概率是   .

  【考点】概率公式.

  【分析】根据概率的求法,找准两点:

  ①全部情况的总数;

  ②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.

  【解答】解:∵随机掷一枚均匀的正方体骰子,骰子停止后朝上的点数有1,2,3,4,5,6共6种,

  其中只有1和2小于3,

  ∴所求的概率为 = .

  故答案为: .

  12.已知两个相似的三角形的面积之比是16:9,那么这两个三角形的周长之比是 4:3 .

  【考点】相似三角形的性质.

  【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

  【解答】解:∵两个相似的三角形的面积之比是16:9,

  ∴两个相似的三角形的相似比是4:3,

  ∴两个相似的三角形的周长比是4:3,

  故答案为:4:3.

  13.菱形的对角线长分别为6和8,则此菱形的周长为 20 ,面积为 24 .

  【考点】菱形的性质.

  【分析】由菱形的对角线长分别为6和8,根据菱形的面积等于对角线积的一半,可求得菱形的面积,由勾股定理可求得AB的长,继而求得周长.

  【解答】解:如图,AC=6,BD=8,

  ∵四边形ABCD是菱形,

  ∴AC⊥BD,OA= AC=3,OB= BD=4,

  ∴AB= =5,

  ∴菱形的周长是:4AB=4×5=20,面积是: AC•BD= ×6×8=24.

  故答案为:20,24.

  14.在反比例函数 的图象的每一条曲线上,y随着x的增大而增大,则k的取值范围是 k<1 .

  【考点】反比例函数的性质.

  【分析】根据反比例函数的性质得到k﹣1<0,然后解不等式即可.

  【解答】解:∵反比例函数 的图象的每一条曲线上,y随着x的增大而增大,

  ∴k﹣1<0,

  ∴k<1.

  故答案为k<1.

  15.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD:DB=1:3,AE=3,则AC= 12 .

  【考点】平行线分线段成比例.

  【分析】根据平行线分线段成比例,可以求得AC的长.

  【解答】解:∵DE∥BC,

  ∴ ,

  ∵AD:DB=1:3,AE=3,

  ∴EC=9,

  ∴AC=AE+EC=3+9=12,

  故答案为:12

  16.已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围为 k≤2且k≠1 .

  【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.

  【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0,即k≠1,且△≥0,即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0,然后求出这两个不等式解的公共部分即为k的取值范围.

  【解答】解:∵关于x的方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,

  ∴k﹣1≠0,即k≠1,且△≥0,即(﹣2)2﹣4(k﹣1)≥0,

  解得k≤2,

  ∴k的取值范围为k≤2且k≠1.

  故答案为:k≤2且k≠1.

  17.如图,在△ABC中,添加一个条件: ∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC ,使△ABP∽△ACB.

  【考点】相似三角形的判定.

  【分析】相似三角形的判定,对应角相等,对应边成比例,题中∠A为公共角,再有一对应角相等即可.

  【解答】解:在△ABP和△ACB中,

  ∵∠A=∠A,

  ∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或 = 即AB2=AP•AC时,

  △ABP∽△ACB,

  故答案为:∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或AB2=AP•AC.

  18.如图,点M是反比例函数y= (a≠0)的图象上一点,过M点作x轴、y轴的平行线,若S阴影=5,则此反比例函数解析式为 y=﹣  .

  【考点】反比例函数系数k的几何意义.

  【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|a|=5,再根据图象在二、四象限可确定a=﹣5,进而得到解析式.

  【解答】解:∵S阴影=5,

  ∴|a|=5,

  ∵图象在二、四象限,

  ∴a<0,

  ∴a=﹣5,

  ∴反比例函数解析式为y=﹣ ,

  故答案为:y=﹣ .

  19.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 .

  【考点】矩形的性质.

  【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路:△AOE≌△COF,图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.

  【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,

  ∴OA=OC,∠AEO=∠CFO;

  又∵∠AOE=∠COF,

  在△AOE和△COF中,

  ,

  ∴△AOE≌△COF,

  ∴S△AOE=S△COF,

  ∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积.

  S△BCD= BC×CD= ×2×3=3.

  故答案为:3.

  20.观察下列各式:

  13=12

  13+23=32

  13+23+33=62

  13+23+33+43=102

  …

  猜想13+23+33+…+103= 552 .

  【考点】规律型:数字的变化类.

  【分析】13=12

  13+23=(1+2)2=32

  13+23+33=(1+2+3)2=62

  13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102

  13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.

  【解答】解:根据数据可分析出规律为从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+…+n)2

  所以13+23+33+…+103=(1+2+3…+10)2=552.

  三、解答题(本大题8小题,共80分)

  21.解方程:

  (1)x(x﹣2)=3(x﹣2)

  (2)3x2﹣2x﹣1=0.

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】(1)先移项得到x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0,然后利用因式分解法解方程;

  (2)利用因式分解法解方程.

  【解答】解:(1)x(x﹣2)﹣3(x﹣2)=0,

  (x﹣2)(x﹣3)=0,

  x﹣2=0或x﹣3=0,

  所以x1=2,x2=3;

  (2)(3x﹣1)(x+1)=0,

  3x﹣1=0或x+1=0,

  所以x1= ,x2=﹣1.

  22.已知,如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.

  (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;

  (2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算DE的长.

  【考点】平行投影;相似三角形的性质;相似三角形的判定.

  【分析】(1)根据投影的定义,作出投影即可;

  (2)根据在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例;构造比例关系 .计算可得DE=10(m).

  【解答】解:(1)连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影.

  (2)∵AC∥DF,

  ∴∠ACB=∠DFE.

  ∵∠ABC=∠DEF=90°

  ∴△ABC∽△DEF.

  ∴ ,

  ∴

  ∴DE=10(m).

  说明:画图时,不要求学生做文字说明,只要画出两条平行线AC和DF,再连接EF即可.

  23.已知:如图中,AD是∠A的角平分线,DE∥AC,DF∥AB.求证:四边形AEDF是菱形.

  【考点】菱形的判定.

  【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形,由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA,根据AF=DF得到四边形AEDF是菱形.

  【解答】证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,

  ∵DE∥AC,DF∥AB,

  ∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,

  ∴∠FAD=∠FDA

  ∴AF=DF,

  ∴四边形AEDF是菱形.

  24.一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3只球,球上分别标有2,3,5三个数字.

  (1)从这个袋子中任意摸一只球,所标数字是奇数的概率是   ;

  (2)从这个袋子中任意摸一只球,记下所标数字,不放回,再从从这个袋子中任意摸一只球,记下所标数字.将第一次记下的数字作为十位数字,第二次记下的数字作为个位数字,组成一个两位数.求所组成的两位数是5的倍数的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法写出过程)

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】(1)直接根据概率公式解答即可;

  (2)首先画出树状图,可以直观的得到共有6种情况,其中是5的倍数的有两种情况,进而算出概率即可.

  【解答】解:(1)任意摸一只球,所标数字是奇数的概率是: ;

  (2)如图所示:共有6种情况,其中是5的倍数的有25,35两种情况,

  概率为: = .

  25.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售量,增加利润,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经市场调查发现,如果每件衬衫降价1元,那么商场平均每天可多售出2件,若商场想平均每天盈利达1200元,那么买件衬衫应降价多少元?

  【考点】一元二次方程的应用.

  【分析】设买件衬衫应降价x元,那么就多卖出2x件,根据扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,每天在销售吉祥物上盈利1200元,可列方程求解.

  【解答】解:设买件衬衫应降价x元,

  由题意得:(40﹣x)(20+2x)=1200,

  即2x2﹣60x+400=0,

  ∴x2﹣30x+200=0,

  ∴(x﹣10)(x﹣20)=0,

  解得:x=10或x=20

  为了减少库存,所以x=20.

  故买件衬衫应应降价20元.

  26.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.

  (1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由;

  (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.

  【考点】矩形的判定;全等三角形的判定与性质.

  【分析】(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CD,再利用等量代换即可得证;

  (2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC.

  【解答】解:(1)BD=CD.

  理由如下:依题意得AF∥BC,

  ∴∠AFE=∠DCE,

  ∵E是AD的中点,

  ∴AE=DE,

  在△AEF和△DEC中,

  ,

  ∴△AEF≌△DEC(AAS),

  ∴AF=CD,

  ∵AF=BD,

  ∴BD=CD;

  (2)当△ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形.

  理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,

  ∴四边形AFBD是平行四边形,

  ∵AB=AC,BD=CD(三线合一),

  ∴∠ADB=90°,

  ∴▱AFBD是矩形.

  27.如图,已知直线y=﹣x+4与反比例函数y= 的图象相交于点A(﹣2,a),并且与x轴相交于点B.

  (1)求a的值;

  (2)求反比例函数的表达式;

  (3)求△AOB的面积;

  (4)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

  【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

  【分析】(1)直接利用待定系数法把A(﹣2,a)代入函数关系式y=﹣x+4中即可求出a的值;

  (2)由(1)得到A点坐标后,把A点坐标代入反比例函数关系式y= ,即可得到答案;

  (3)根据题意画出图象,过A点作AD⊥x轴于D,根据A的坐标求出AD的长,再根据B点坐标求出OB的长,根据三角形面积公式即可算出△AOB的面积;

  (4)观察图象,一次函数在反比例函数图象上方的部分对应x的取值即为所求.

  【解答】解:(1)∵点A(﹣2,a)在y=﹣x+4的图象上,

  ∴a=2+4=6;

  (2)将A(﹣2,6)代入y= ,得k=﹣12,

  所以反比例函数的解析式为y=﹣ ;

  (3)如图:过A点作AD⊥x轴于D,

  ∵A(﹣2,6),

  ∴AD=6,

  在直线y=﹣x+4中,令y=0,得x=4,

  ∴B(4,0),

  ∴OB=4,

  ∴△AOB的面积S= OB×AD= ×4×6=12.

  △AOB的面积为12;

  (4)设一次函数与反比例函数的另一个交点为C,

  把y=﹣x+4代入y=﹣ ,

  整理得x2﹣4x﹣12=0,

  解得x=6或﹣2,

  当x=6时,y=﹣6+4=﹣2,

  所以C点坐标(6,﹣2),

  由图象知,要使一次函数的值大于反比例函数的值,x的取值范围是:x<﹣2或0

  28.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,

  (1)求证:AC2=AB•AD;

  (2)求证:CE∥AD;

  (3)若AD=4,AB=6,求 的值.

  【考点】相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

  【分析】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC2=AB•AD;

  (2)由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE= AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;

  (3)易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 的值.

  【解答】(1)证明:∵AC平分∠DAB,

  ∴∠DAC=∠CAB,

  ∵∠ADC=∠ACB=90°,

  ∴△ADC∽△ACB,

  ∴AD:AC=AC:AB,

  ∴AC2=AB•AD;

  (2)证明:∵E为AB的中点,

  ∴CE= AB=AE,

  ∴∠EAC=∠ECA,

  ∵∠DAC=∠CAB,

  ∴∠DAC=∠ECA,

  ∴CE∥AD;

  (3)解:∵CE∥AD,

  ∴△AFD∽△CFE,

  ∴AD:CE=AF:CF,

  ∵CE= AB,

  ∴CE= ×6=3,

  ∵AD=4,

  ∴ ,

  ∴ .

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