北京东城区九年级数学上册期末试题
北京东城区九年级数学上册期末试题
为即将到来的九年级的额数学期末考试，教师们要如何准备好的期末试题呢？下面是学习啦小编为大家带来的关于北京东城区九年级数学上册期末试题，希望会给大家带来帮助。
北京东城区九年级数学上册期末试题：
一.选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得0分.
1.若 = ，则 的值为( )
【考点】比例的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据合分比性质求解.
【解答】
故选D.
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是( )
A.b=atanB B.a=ccosB C. D.a=bcosA
【考点】锐角三角函数的定义.
【专题】应用题.
【分析】根据三角函数的定义就可以解决.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴A、tanB= ，则b=atanB，故本选项正确，
B、cosB= ，故本选项正确，
C、sinA= ，故本选项正确，
D、cosA= ，故本选项错误，
故选D.
【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中.
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
【考点】圆周角定理.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解.
【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C= ∠AOB=40°.
故选：B.
【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考点】相似三角形的判定.
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误;
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误;
C、当 = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误;
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确.
故选：D.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.
5.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )
A.5cosα B. C.5sinα D.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【专题】压轴题.
【分析】利用所给的角的余弦值求解即可.
【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α.
∴AB= = .
故选：B.
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用.
6.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )
A.﹣11 B.﹣2 C.1 D.﹣5
【考点】二次函数的图象.
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案.
【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得
(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，2)在函数图象上，
把(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)代入函数解析式，得
，
解得 ，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，
故选：D.
【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键.
7.如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】根据垂径定理计算.
【解答】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm>2cm，
∴在OD上截取OH=1cm，
过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE﹣OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点.
故选C.
【点评】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个.
8.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )
A. B.2 ﹣2 C.2﹣ D. ﹣2
【考点】三角形的内切圆与内心;等腰三角形的性质;三角形的外接圆与外心.
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长;然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.
【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2 ，
∴它的内切圆半径为：R= (2 +2 ﹣4)=2 ﹣2.
故选B.
【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r= (a+b﹣c);(a、b为直角边，c为斜边)直角三角形的外接圆半径：R= c.
9.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为( )
A.2：5 B.4：25 C.4：31 D.4：35
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案.
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ = = ，
∴ =( )2= ， = =
设S△DEF=S，则S△ABF= S，S△ADF= S，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF= S+ S= S，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD=S△DBC= S，
∴S四边形EFBC=S△BDC﹣S△DEF= S﹣S= S，
∴S△DEF：S四边形EFBC=4：31.
故选C.
【点评】本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到△DEF和△DBC的关系是解题的关键.
10.如图，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】动点问题的函数图象.
【专题】几何图形问题;压轴题.
【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可.
【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y= = .
当A从D点运动到E点时，即2
∴y与x之间的函数关系
由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.
故选：A.
【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围.
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3，0) .
【考点】抛物线与x轴的交点.
【专题】方程思想.
【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标.
【解答】解：把点(1，0)代入抛物线y=x2﹣4x+m中，得m=3，
所以，原方程为y=x2﹣4x+3，
令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0).
故答案为：(3，0).
【点评】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法.本题也可以用根与系数关系直接求解.
12.如图，点A是反比例函数y= 图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k= ﹣4 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】由于点A是反比例函数y= 上一点，矩形ABOC的面积S=|k|=4，则k的值即可求出.
【解答】解：由题意得：S矩形ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则k=﹣4，
故答案为：﹣4.
【点评】本题主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点.
13.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是 30°或150° .
【考点】三角形的外接圆与外心;等边三角形的判定与性质;圆周角定理.
【专题】压轴题.
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案.
【解答】解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°.
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°.
∴∠A=30°或150°.
故答案为：30°或150°.
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，得出△OBC是等边三角形是解题关键.
14.如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.
下列结论正确的是 ②③④ (写出所有正确结论的序号)
①△CPD∽△DPA;
②若∠A=30°，则PC= BC;
③若∠CPA=30°，则PB=OB;
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值.
【考点】切线的性质;三角形的角平分线、中线和高;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】几何综合题.
【分析】①只有一组对应边相等，所以错误;
②根据切线的性质可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB= OC= BC;
③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，进而求得PB=BC=OB;
④连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°.
【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA错误;
②连接OC，
∵AB是直径，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切线，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°= = ，
∴PC= BC，正确;
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB;正确;
④解：如图，连接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°;正确;
故答案为：②③④;
【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形.
三.(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.计算：4sin60°+tan45°﹣ .
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.
【解答】解：原式=4× +1﹣2
=1.
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.
16.已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3，﹣4).
(1)求a的值;
(2)求此函数图象抛物线的顶点坐标;
(3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围.
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)将点A(3，﹣4)代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值;
(2)利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标;
(3)根据二次函数的增减性即可求解.
【解答】解：(1)∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3，﹣4)，
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2;
(2)∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2(x﹣1)2+4，
∴顶点坐标为(1，4);
(3)∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2<0，
抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，函数y随自变量增大而减小.
【点评】本题考查了二次函数的性质.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ ， )，对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：
①当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<﹣ 时，y随x的增大而减小;x>﹣ 时，y随x的增大而增大;x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点.
②当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<﹣ 时，y随x的增大而增大;x>﹣ 时，y随x的增大而减小;x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.如图，在6×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的格点上.请按要求画图：
(1)以点B为位似中心，在方格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△EBD，且点D、E都在单位正方形的顶点上.
(2)在方格中作一个△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比为 ，点F、G、H都在单位正方形的顶点上.
【考点】作图-位似变换;作图—相似变换.
【分析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)直接利用相似三角形的性质得出各边长度进而得出答案.
【解答】解：(1)如图所示：△EBD即为所求;
(2)如图所示：△FGH即为所求.
【点评】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长度是解题关键.
18.如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D.
(1)求证：△ADE∽△ABC;
(2)连结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据MN∥BC，得到 ， ，等量代换得到 ，根据相似三角形的判定即可得到结论;
(2)根据 ，得到DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到 ，于是推出 ，即 ，即可得到结论.
【解答】(1)证明：∵MN∥BC，
∴ ， ，
又∵AM=AN，
∴ ，
∴△ADE∽△ABC;
(2)解：∵ ，
∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AM= BC= ，
∴MN=2AM=3.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：
(1)IE=EC;
(2)IE2=ED•EA.
【考点】三角形的内切圆与内心.
【分析】(1)由内心的性质可知;∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圆周角定理可知∠BCE=∠BAE，从而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，从而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC;
(2)先证明DCE∽△CAE，从而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC从而得到IE2=DE•EA.
【解答】解：(1)如图所示;连接IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE.
又∵∠BAE=∠BCE，
∴∠CAE=∠BCE.
∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE.
∴∠EIC=∠ICE.
∴IE=EC.
(2)由(1)可知：∠CAE=∠BCE.
又∵∠AEC=∠DEC，
∴△DCE∽△CAE.
∴ .
∴CE2=DE•EA.
∵IE=EC，
∴IE2=DE•EA.
【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理，明确三角形的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键.
20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.
(1)求公益广告牌的高度AB;
(2)求加固钢缆AD和BD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】(1)根据已知和tan∠ADC= ，求出AC，根据∠BDC=45°，求出BC，根据AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根据cos∠ADC= ，求出AD，根据cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键.
六、(本题满分12分)
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b(a，b为常数，且a≠0)与反比例函数y2= (m为常数，且m≠0)的图象交于点A(﹣2，1)、B(1，n).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连结OA、OB，求△AOB的面积;
(3)直接写出当y1
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式;将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式;
(2)设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可;
(3)由图象直接可得自变量x的取值范围.
【解答】解：(1)∵A(﹣2，1)，
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2= 中，得m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ;
将B坐标代入y=﹣ ，得n=﹣2，
∴B坐标(1，﹣2)，
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得 ，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1;
(2)设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标(0，﹣1)，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB= ×1×2+ ×1×1= ;
(3)由图象可得，当y11.
【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
七、(本题满分12分)
22.对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似.例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似;如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似.
(1)根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ;其中，互为顺相似的是 ①② ;互为逆相似的是 ③ .(填写所有符合要求的序号).
(2)如图③，在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边AB上(不与点A，B重合).过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断;
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，逐一分析求解即可.
【解答】解：(1)互为顺相似的是 ①②;互为逆相似的是 ③;
故答案为：①②，③;
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：
第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似.
第二种情况：如图②，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M.
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似;
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似.
第三种情况：如图③，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AB于点D、E.
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ACB，此时△AQP1与△ABC互为逆相似;
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2
都与△ABC互为逆相似;
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似.
【点评】本题是创新型2016届中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力.准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解.
八、(本题满分14分)
23.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y=a(x﹣h)2+k，二次函数y=a(x﹣h)2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20.
(1)试确定函数关系式y=a(x﹣h)2+k;
(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润;
(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据题意此抛物线的顶点坐标为(4，﹣16)，设出抛物线的顶点式，把(10，20)代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式;
(2)相邻两个月份的总利润的差即为某月利润.
(3)根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润.
【解答】解：(1)根据题意可设：y=a(x﹣4)2﹣16，
当x=10时，y=20，
所以a(10﹣4)2﹣16=20，解得a=1，
所求函数关系式为：y=(x﹣4)2﹣16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)当x=9时，y=(9﹣4)2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，
又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，
所以10月份一个月内所获得的利润11万元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(3)设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)
则有：s=(n﹣4)2﹣16﹣[(n﹣1﹣4)2﹣16]=2n﹣9，
因为s是关于n的一次函数，且2>0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元.﹣﹣
【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题.
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