黄山市九年级数学上册期末试卷
黄山市九年级数学上册期末试卷
期末考试是测试学生在学习中是否学到真正重要和有用的知识的必要途径，在即将到来的九年级的数学期末考试，教师们要如何准备好的期末试卷呢?下面是学习啦小编为大家带来的关于，希望会给大家带来帮助。
黄山市九年级数学上册期末试卷：
一、选择题：每题分，共30分.
1.观察下列案，既是轴对称形又是中心对称形的是( )
【考点】中心对称形;轴对称形.
【分析】根据轴对称形与中心对称形的概念求解.
【解答】解：A、不是轴对称形，是中心对称形.故错误;
B、是轴对称形，不是中心对称形.故错误;
C、是轴对称形，也是中心对称形.故正确;
D、不是轴对称形，也不是中心对称形.故错误.
故选C.
【点评】本题考查了中心对称形与轴对称形的概念：轴对称形的关键是寻找对称轴，形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称形是要寻找对称中心，旋转180度后与原重合.
2.若关于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有两个相等的实数根，则b的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】根的判别式.
【分析】根据题意知道△=0，即(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=0，然后化简解得这个一元二次方程的根就可得出答案.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=b2﹣8b+16=(b﹣4)2=0，
∴b=4.
故选：D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.
3.抛物线y=﹣ (x﹣3)2﹣5的对称轴是直线( )
A.x=﹣3 B.x=3 C.x=5 D.x=﹣5
【考点】二次函数的性质.
【分析】本题函数式是抛物线的顶点式，可直接求顶点坐标及对称轴.
【解答】解：∵抛物线y=﹣ (x﹣3)2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，抛物线对称轴是x=3.
故选B.
【点评】考查顶点式y=a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=h，要掌握顶点式的性质.
4.点A、B、P为⊙上的点，若∠APB=40°，则∠AOB等于( )
A.20° B.40° C.80° D.100°
【考点】圆周角定理.
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可求出∠AOB的度数.
【解答】解：∵点A、B、P是⊙O上的三点，∠APB=40°，
∴∠AOB=2∠APB=2×40°=80°.
故选：C.
【点评】本题主要考查了圆周角定理;熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解决问题的关键.
5.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有( )
A.15个 B.20个 C.30个 D.35个
【考点】利用频率估计概率.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解.
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得 =0.3，
解得x=15，则白球可能有50﹣15=35个.
故选D.
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数.
6.下列函数中，象经过点( ，﹣4)的反比例函数是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=
【考点】反比例函数象上点的坐标特征.
【分析】将( ，﹣4)代入y= 即可求出k的值，则反比例函数的解析式即可求出.
【解答】解：比例系数为：﹣4× =﹣2，∴反比例函数解析式是y=﹣ .
故选D.
【点评】本题主要考查反比例函数象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.
7.已知x=3是一元二次方程2x2+mx+15=0的一个解，则方程的另一个解是( )
A. B.﹣ C.5 D.
【考点】根与系数的关系.
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到3t=﹣ ，然后解一次方程即可.
【解答】解：设方程另一根为t，
根据题意得3t=﹣ ，
解得t=﹣ .
故选B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1x2= .
8.在二次函数y=﹣x2+2x+1的象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
【考点】二次函数的性质.
【专题】压轴题.
【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x<1时，y随x的增大而增大.
【解答】解：∵a=﹣1<0，
∴二次函数象开口向下，
又对称轴是直线x=1，
∴当x<1时，函数象在对称轴的左边，y随x的增大增大.
故选A.
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：当a<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣ ，在对称轴左边，y随x的增大而增大.
9.小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口都安装有红灯、绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状法.
【分析】列举出所有情况，看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可.
【解答】解：画树状得：
由树状可知共有8种情况，遇到两次红灯的有3种情况，所以遇到两次红灯的概率是 ，
故选B.
【点评】此题考查的是用列表法或树状法求概率.注意树状法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
10.已知a、h、k为三数，且二次函数y=a(x﹣h)2+k在坐标平面上的形通过(0，5)、(10，8)两点.若a<0，0
A.1 B.3 C.5 D.7
【考点】二次函数象与系数的关系.
【专题】数形结合.
【分析】先画出抛物线的大致象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点.若a<0，010﹣h，然后解不等式后进行判断.
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，
∴h﹣0>10﹣h，解得h>5.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0，c);抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
二、填空题：每小题3分，共24分.
11.已知点M(3，﹣4)与点N关于原点O对称，点N的坐标为 (﹣3，4) .
【考点】关于原点对称的点的坐标.
【分析】根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答案.
【解答】解：∵3的相反数是﹣3，﹣4的相反数是4，
∴点M(3，﹣4)关于原点的对称点的坐标为 (﹣3，4)，
故答案为：(﹣3，4).
【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点：两点关于原点对称，两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，用到的知识点为：a的相反数为﹣a.
12.在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 4π .
【考点】弧长的计算.
【分析】根据弧长公式列式计算即可.
【解答】解：在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是：
=4π，
故答案为4π.
【点评】本题主要考查了弧长公式：l= (弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R).注意：①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.
13.已知⊙O的半径为5cm，弦CD=6cm，则圆心O到弦CD的距离是 4 cm.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】根据题意画出形，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，先根据垂径定理求出CE的长，再由勾股定理求出OE的长即可.
【解答】解：所示，过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，
∵弦CD=6cm，OC=5cm，
∴CE= CD=3cm，
∴OE= = =4cm.
故答案为：4.
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
14.某市为响应国家“厉行节约，反对浪费”号召，减少了对办公经费的投入.2014年投入3000万元预计2016年投入2430万元，则该市办公经费的年平均下降率为 10% .
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】等量关系为：2014年的投入资金×(1﹣增长率)2=2016年的投入资金，把相关数值代入计算求得合适解即可.
【解答】解：设该市办公经费的年平均下降率为x，依题意有
3000×(1﹣x)2=2430，
解得(1﹣x)2=0.81，
∵1﹣x>0，
∴1﹣x=0.9，
∴x=10%.
答：该市办公经费的年平均下降率为10%.
故答案为：10%.
【点评】考查一元二次方程的应用;求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
15.二次函数y=x2﹣4x+3的象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为 3 .
【考点】二次函数综合题;二次函数象上点的坐标特征.
【分析】由二次函数y=x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了.
【解答】解：由表达式y=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3)，
则与x轴坐标为：A(1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=3，即C(0，3)
∴△ABC的面积为： .
【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了.
16.在同一平面上⊙O外一点P到⊙O的距离最长为7cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 2.5 cm.
【考点】点与圆的位置关系.
【分析】画出形，根据形和题意得出PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径.
【解答】解：PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，
∵圆外一点P到⊙O的最长距离为7cm，最短距离为2cm，
∴圆的直径是7﹣2=5(cm)，
∴圆的半径是2.5cm.
故答案为：2.5.
【点评】本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线PO(O为圆心)，交⊙O于A、B两点，则得出P到⊙O的最长距离是PA长，最短距离是PB的长.
17.点A在双曲线 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【专题】压轴题.
【分析】根据双曲线的象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断.
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y= 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2.
故答案为：2.
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.
18.等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函数y= (x>0)的象分别与AB，BC交于点D，E.连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ( ， ) .
【考点】相似三角形的判定与性质;反比例函数象上点的坐标特征.
【分析】首先设点D的坐标是(m， )，点E的坐标是(n， )，应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少;然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3;最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少.
【解答】解：1，
∵点D、E是反比例函数y= (x>0)的象上的点，
∴设点D的坐标是(m， )，点E的坐标是(n， )，
又∵∠BCA=90°，AC=BC=2 ，
∴C(n，0)，B(n，2 )，A(n﹣2 ，0)，
设直线AB的解析式是：y=ax+b，
则
解得
∴直线AB的解析式是：y=x+2 ﹣n.
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，
∴ = ，
∴mn=3，或m+n=0(舍去)，
又∵点D在直线AB上，
∴ =m+2 ﹣n，mn=3，
整理，可得
2n2﹣2 n﹣3=0，
解得n= 或n=﹣ (舍去)，
∴点E的坐标是( ， ).
故答案为：( ， ).
【点评】(1)此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.
(2)此题还考查了反比例函数象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k;②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称;③在象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
三、解答题：共66分.
19.解方程：
(1)x2+6x﹣16=0
(2)x2+1=2 x.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)x2+6x﹣16=0，
(x﹣2)(x+8)=0
x﹣2=0，x+8=0，
x1=2，x2=﹣8;
(2)x2+1=2 x，
x2﹣2 x+1=0
b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×1×1=16，
x= ，
x1= +2，x2= ﹣2.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20.某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)现在已备足可以砌50m的墙的材料，使矩形花园的面积为300m2，试求BC的长.
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何形问题.
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=(50﹣2x)米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可.
【解答】解：设BC的长为xm，根据题意，得
(50﹣x)x=300，
解方程，得x=20，x=30(不合题意，舍去).
所以，BC的长为20m.
答：BC的长为20m.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据.
21.⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC延长线上.
(1)求证：AD是⊙O的切线;
(2)若AB=3，∠B=30°，求∠D的长.
【考点】切线的判定.
【专题】证明题.
【分析】(1)连接OA，由0A=OB得到∠2=∠B，根据圆周角定理，由BC是⊙O的直径得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，则∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根据切线的判定定理可得到AD是⊙O的切线;
(2)在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC= AB= ，然后证明△ACD为等腰三角形即可得到CD的长.
【解答】(1)证明：连接OA，
∵0A=OB，
∴∠2=∠B，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠2=∠CAD，
∴∠CAD+∠1=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线;
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，
∴AC= AB= ×3= ，
∵∠ACB=90°﹣∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，
∴∠D=30°，
∴CD=CA= .
【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.
22.在一个口袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”“丽”、“黄”、“石”的文字.
(1)先从袋摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是写有“美丽”二字的概率;
(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球.求两次摸出的球上写有“黄石”二字的概率.
【考点】列表法与树状法.
【分析】(1)画树状展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解;
(2)画树状展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上写有“黄石”二字的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：
用1、2、3、4别表示美、丽、黄、石，
(1)画树形如下，
由树形可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，
∴P(美丽)= = ;
(2)画树状如下，
由树状可知，所有等可能的情况有12种，其中出现“3，4”的情况有2种，
∴P(黄石)= = .
【点评】此题考查的是用列表法或树状法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;树状法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
23.已知抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A(﹣1，3)，B(3，3)
(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;
(2)若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围.
【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
【专题】计算题.
【分析】(1)直接把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线C1的解析式，再把解析式配成顶点式可的抛物线的顶点坐标;
(2)由于AB∥x轴，把A、B两点坐标代入y=ax2可计算出对应的a的值，然后根据抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点可确定a的范围.
【解答】解：(1)将A(﹣1，3)、B(3，3)代入y=x+bx+c得 ，解得b=﹣2，c=0，
所以抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x;
∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，﹣1);
(2)当抛物线C2恰好经过A点时，将A(﹣1，3)代入y=ax2得a=3，
当抛物线C2恰好过经过B点，将B(3，3)代入y=ax2得9a=3，解得a= ，
所以a的取值范围为 ≤a<3.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.
24.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元/件) x+40 90
每天销量(件) 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用.
【专题】销售问题.
【分析】(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案;
(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案;
(3)根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案.
【解答】解：(1)当1≤x<50时，y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=(90﹣30)=﹣120x+12000，
综上所述：y= ;
(2)当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元;
(3)当1≤x<50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50，共30天;
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元.
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值.
25.已知∠ACD=90°，MN是过A点的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，连接BC.
(1)1，将△BCD绕点C逆时针方向旋转90°得到△ECA.
①求证：点E在直线MN上;
②猜想线段AB、BD、CB满足怎样的数量关系，并证明你的猜想.
(2)当MN绕点A旋转到2的位置时，猜想线段AB、BD、CB又满足怎样的数列关系，并证明你的猜想.
【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)①由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°，由旋转的性质得出△ECA≌△BCD，得出∠EAC=∠BDC，因此∠CAB+∠EAC=180°，即可得出结论;
②证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出BE= BC，再由BE=AE+AB，AE=BD，即可得出结论;
(2)过点C作CE⊥CB与MN交于点E，则∠ECB=90°，∠ACE=∠DCB，证出∠CAE=∠CDB，由ASA证明△ACE≌△DCB，得出AE=DB，EC=BC，证出△ECB为等腰直角三角形，由勾股定理得出EB= BC，即可得出结论.
【解答】(1)①证明：∵DB⊥MN，
∴∠ABD=90°，在四边形ACDB中，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠CAB+∠CDB=180°，
由旋转的性质得：△ECA≌△BCD，
∴∠EAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠EAC=180°，
∴点E在直线MN上;
②解：AB+BD= BC，理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
由①知∠ECA=∠BCD，EC=BC，
∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE= BC，
∵BE=AE+AB，
由①知AE=BD，
∴AB+BD= BC;
(2)解：AB﹣BD= BC，理由如下：
过点C作CE⊥CB与MN交于点E，2所示：
则∠ECB=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
∵DB⊥AB，
∴∠CAE=∠CDB，
在△ACE和△DCB中， ，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，EC=BC，
∴EB=AB﹣AE=AB﹣DB，△ECB为等腰直角三角形，
∴EB= BC，
∴AB﹣BD= BC.
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四边形内角和定理、勾股定理等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.
26.在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合.点A、C分别在坐标轴上，反比例函数y= (k>0)的象与AB、BC分别交于点E、F(E、F不与B点重合)，连接OE，OF.
(1)若B点的坐标为(4，2)，且E为AB的中点.
①求四边形BEOF的面积.
②求证：F为BC的中点.
(2)猜想 与 的大小关系，并证明你的猜想.
【考点】反比例函数综合题.
【专题】综合题;反比例函数及其应用.
【分析】(1)①由B的坐标得到AB与BC的长，进而求出矩形OCBA的面积，由B坐标，根据E为AB中点，求出E坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AEO与三角形OCF的面积，由矩形ABCO面积﹣三角形AOE面积﹣三角形OCF面积=四边形BEOF面积，求出即可;②连接OB，由矩形面积求出三角形OBC面积，由三角形OCF面积得到三角形OBC面积为三角形OCF面积的2倍，而两三角形高相同，故底BC=2CF，即F为中点，得知;
(2) = ，理由为：设B点坐标为(a，b)(a>0，b>0)，表示出A，C，E，F坐标，进而表示出AE，BE，CF，BF，分别求出 与 的值，验证即可.
【解答】解：(1)①∵B点的坐标为(4，2)，
∴S矩形OCBA=4×2=8，
∵E为AB的中点，
∴E点的坐标为(2，2)，
∵点E、F在双曲线上，
∴k=4，
∴S△AEO=S△FCO= k=2，
∴S四边形BE0F=S矩形ABCO﹣S△AEO﹣S△OFC=8﹣2﹣2=4;
②连接OB，
易知S△OBC= S矩形ABCO=4，
∵S△OFC=2，
∴S△OBC=2S△OFC，
∵S△OCF= S△OBC，
∴BC=2FC，
∴F为BC的中点;
(2) = ，理由为：
设B点坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
则点A(0，b)，C(a，0)，E( ，b)，F(a， )，
∴AE=| |，BE=|a﹣ |=| |，CF=| |，BF=|b﹣ |=| |，
∴ = =| |， = =| |，
则 = .
【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数k的几何意义，坐标与形性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.
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1.七年级数学上学期期末试卷