无锡崇安区九年级数学上册期末试卷
无锡崇安区九年级数学上册期末试卷
九年级是一个至关重要的学年，同学们一定要在期末考试来临之前准备好数学期末试卷来熟悉题型，认真复习，下面是学习啦小编为大家带来的关于无锡崇安区九年级数学上册期末试卷，希望会给大家带来帮助。
无锡崇安区九年级数学上册期末试卷：
一.选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分.)
1.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为( )
A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9
【考点】解一元二次方程-配方法.
【专题】配方法.
【分析】配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9.故选D.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.
2.以3和4为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=0
【考点】根与系数的关系.
【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行作出正确判断.
【解答】解：A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此选项正确;
B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此选项不正确;
C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此选项不正确;
D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此选项不正确;
故选A.
【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2= ，x1•x2= .
3.二次函数y=x2+4x﹣5的象的对称轴为( )
A.直线x=2 B.直线x=﹣2 C.直线x=4 D.直线x=﹣4
【考点】二次函数的性质.
【分析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可.
【解答】解：二次函数y=x2+4x﹣5的象的对称轴为：x=﹣ =﹣ =﹣2.
故选B.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键.
4.已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
【考点】切线的性质.
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5.
【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5.
故选C.
【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔dr.
5.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是( )
A.2 B. C.10 D.
【考点】方差;算术平均数.
【分析】根据平均数的公式求出x的值，根据方差公式求出方差.
【解答】解：由题意得， (5+2+x+6+4)=4，
解得，x=3，
s2= [(5﹣4)2+(2﹣4)2+(3﹣4)2+(6﹣4)2+(4﹣4)2]
=2，
故选：A.
【点评】本题考查的是平均数和方差的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键.方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A. B.3 C. D.2
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.
【分析】设BC=x，则AB=3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB.
【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=2 x，
tanB= = =2 ，
故选：D.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键.
7.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【考点】圆内接四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解.
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°﹣70°=110°.
故选B.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
8.AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD.若∠A=30°，⊙O的半径为2，则中阴影部分的面积为( )
A. ﹣ B. ﹣2 C.π﹣ D. ﹣
【考点】扇形面积的计算;切线的性质.
【分析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解.
【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OE=1，CE=DE= ，
∴CD=2 ，
∴中阴影部分的面积为： ﹣ ×2 ×1= π﹣ .
故选：A.
【点评】考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积.
9.E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式中，错误的是( )
【考点】平行线分线段成比例;平行四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD;AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到 = = ，用AB等量代换CD，得到 = = ;再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得 = ，由此可判断A选项中的比例是错误的.
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD;AD∥BC，
∴ = = ，而AB=CD，
∴ = = ，而AB=CD，
∴ = = ;
又∵AF∥BC，
∴ = .
故选A.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质.
10.双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)，则有( )
A.a=b+2k B.a=b﹣2k C.k
【考点】二次函数象与系数的关系.
【分析】根据抛物线的开口方向和反比例函数所处的象限判断a<0，k<0，根据对称轴x=﹣ =﹣ 得出a=b，由双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)，对称k=﹣ m，m= a﹣ b，进而对称8k=a=b，即可得出a
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)，
∴对称轴x=﹣ =﹣ ，
∴a=b<0，
∵双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx的顶点(﹣ ，m)(m>0)，
∴k=﹣ m，m= a﹣ b，
∴m=﹣2k，m=﹣ a=﹣ b，
∴﹣2k=﹣ a=﹣ b，
∴8k=a=b，
∵a<0，
∴a
故选D.
【点评】本题考查了二次函数象与系数的关系，利用抛物线的顶点坐标和二次函数象上点的坐标特征是解题的关键.
二.填空题(本大题共8小题，每题2分，共16分.)
11.方程3x2﹣4x+1=0的一个根为a，则3a2﹣4a+5的值为 4 .
【考点】一元二次方程的解;代数式求值.
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0，求出3a2﹣4a的值，再把3a2﹣4a的值代入式子3a2﹣4a+5即可求出代数式的值.
【解答】解：先把x=a代入方程3x2﹣4x+1=0，
可得3a2﹣4a+1=0，
解得3a2﹣4a=﹣1;
把3a2﹣4a=﹣1代入3a2﹣4a+5=﹣1+5=4.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
12.抛物线y=2(x﹣1)2﹣1与y轴的交点坐标是 (0，1) .
【考点】二次函数象上点的坐标特征.
【专题】探究型.
【分析】根据y轴上点的坐标特点令x=0，求出y的值即可.
【解答】解：令x=0，则y=2(0﹣1)2﹣1=1，
故抛物线y=2(x﹣1)2﹣1与y轴的交点坐标是(0，1).
故答案为：(0，1)
【点评】本题考查的是二次函数象上点的坐标特点及y轴上点的坐标特点，熟知y轴上点的横坐标为0的特点是解答此题的关键.
13.已知斜坡的坡角为α，坡度为1：1.5，则tanα的值为 .
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【专题】应用题.
【分析】根据坡度的概念进行解答，坡度即为坡角的正切值.
【解答】解：由题意知斜坡的坡角为α，坡度为1：1.5，
即tanα=1：1.5= ，
故答案为： .
【点评】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡.
14.圆锥的底面圆半径为3cm，侧面积为15πcm2，则圆锥的母线长为 5 cm.
【考点】圆锥的计算.
【专题】计算题.
【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 •2π•3•l=15π，然后解方程即可.
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
根据题意得 •2π•3•l=15π，解得l=5，
所以圆锥的母线长为5cm.
故答案为5.
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
15.100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 .
【考点】概率公式.
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数;
②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
【解答】解：100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 = .
故答案为 .
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= .
16.在△ABC中，最大∠A是最小∠C的2倍，且AB=2，AC=3，则BC的长为 .
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】作出∠A的平分线AD，利用相似三角形的判定得出△BAD∽△BCA，进而得出 ，从而得出6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)，进而得出BC的值.
【解答】解：作∠A的平分线AD，
∵最大角∠A是最小角∠C的两倍，
∴∠BAD=∠DAC=∠C，
∴AD=CD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴6=AD•BC，2AD=3(BC﹣AD)，
解得：AD= ，
∴CB= .
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线后利用相似三角形性质求出是解决问题的关键.
17.△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 .
【考点】垂径定理;圆周角定理;解直角三角形.
【专题】压轴题.
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH.
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1× = ，
由垂径定理可知EF=2EH= .
故答案为： .
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形.
18.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(﹣1，0).则S=a+b+c的值的变化范围是 0
【考点】二次函数象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴的位置判断S的取值范围即可.
【解答】解：将点(0，1)和(﹣1，0)分别代入抛物线解析式，得c=1，a=b﹣1，
∴S=a+b+c=2b，
由题设知，对称轴x= ，
∴2b>0.
又由b=a+1及a<0可知2b=2a+2<2.
∴0
故本题答案为：0
【点评】本题考查了二次函数象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题.
三.解答题(本大题共10小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤)
19.解方程：
①x2﹣6x﹣4=0
②10x2﹣29x+10=0.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【分析】①移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
②先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：①x2﹣6x﹣4=0，
x2﹣6x=4，
x2﹣6x+9=4+9，
(x﹣3)2=13，
x﹣3= ，
x1=3+ ，x2=3﹣ ;
②10x2﹣29x+10=0，
(2x﹣5)(5x﹣2)=0，
2x﹣5=0，5x﹣2=0，
x1= ，x2= .
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值.
【考点】根的判别式;根与系数的关系.
【分析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函数实数根，代入m=x1x2，即可得到结果.
【解答】解：(1)∵方程有实数根，
∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4;
(2)∵x1+x2=4，
∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0，
解得：m=﹣12.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系.
21.在1，2，3，4，5这五个数中，先任意选出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点(a，b)，求组成的点(a，b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率.(请用“画树状”或“列表”等方法写出分析过程)
【考点】列表法与树状法.
【分析】首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点(a，b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：列表得：
1 2 3 4 5
1 ﹣ (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) ﹣ (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) ﹣ (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ﹣ (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ﹣
∵组成的点(a，b)共有20个，其中横坐标为偶数、纵坐标为奇数的点有6个，…6分
∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为 .…8分
【点评】此题考查的是用列表法或树状法求概率.列表法或树状法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
22.已知抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(﹣1，0)、B(2，3).
(1)求a、b、c的值;
(2)直接写出当y12 ;
(3)已知点C是抛物线上一点，且△ABC的面积为6，求点C的坐标.
【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数象上点的坐标特征;二次函数与不等式(组).
【分析】(1)利用待定系数法即可求得;
(2)判断抛物线的开口，根据交点坐标即可求得;
(3)求得抛物线与x轴的交点M，则S△ABM=6，从而判定M出即为C1点，过M点作AB的平行线交抛物线于C2，根据平行线的性质判定此时三角形ABC2的面积=6，求得平行线与抛物线的交点，即为C点.
【解答】解：(1)∵抛物线y1=ax2+2x+c与直线y2=kx+b交于点A(﹣1，0)、B(2，3).
∴ ，
解得 ， ，
∴a=﹣1，b=1，c=3;
(2)∵a=﹣1<0，
∴抛物线的开口向下，
∴x<﹣1或x>2时，抛物线上的部分在直线的下方，
∴当y12.
故答案为 x<﹣1或x>2.
(3)∵a=﹣1，b=1，c=3;
∴抛物线为y1=﹣x2+2x+3，直线为y2=x+1.
∵令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴抛物线的另一个交点为M(3，0)，
∴AM=4，
∴S△ABM= AM×3=6，
∴C1点与M的重合，
过M点作AB的平行线交抛物线于C2，
此时三角形ABC2的面积=6，
设平行线的解析式为y=x+n，
∵平行线经过(3，0)，
∴平行线的解析式为y=x﹣3，
解 得 或 ，
∴C的坐标为(3，0)或(﹣2，﹣5).
【点评】本题考查了二次函数的综合运用.关键是由已知条件求抛物线解析式和直线的解析式，根据抛物线与x轴的交点，判断三角形的面积，利用平移的性质解题.
23.AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC= .求：
(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.
【考点】解直角三角形.
【分析】(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC= ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= ，求出BE的长即可;
(2)根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案.
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC= ，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB= ，即 = ，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4;
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC= .
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用.
24.从一块矩形薄板ABCD上裁下一个工件GEHCPD.中EF∥BC，GH∥AB，∠AEG=11°18′，∠PCF=33°42′，AG=2cm，FC=6cm.求工件GEHCPD的面积.(参考数据：tan11°18'≈ ，tan33°42′≈ )
【考点】解直角三角形的应用.
【专题】计算题.
【分析】工件GEHCPD的面积=矩形面积减去其余三个三角形的面积.其余三角形正好等于矩形面积的一半，只需求得矩形边长即可.
【解答】解：∵∠AEG=11°18′，AG=2cm
∴AE=AG÷tan11°18'≈10
那么DF=10
∵FC=6cm，∠PCF=33°42′
∴PF=FC×tan33°42′≈4
那么CD=DF+FC=16，AD=EP+PF=6
∵△AGE和△DPF底相等，高加到一起是AD
所以是矩形AEFD的一半，同理可得到其余两个三角形是下边矩形的一半.
∴工件GEHCPD的面积=矩形面积÷2=6×16÷2=48.
【点评】解决本题的关键是根据题意得到所求面积与大矩形的关系.
25.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=﹣ x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元).若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳 x2元的附加费，设月利润为w外(元).
(1)当x=1000时，y= 140 元/件;
(2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)，并求当x为何值时，在国内销售的月利润为360000元?
(3)如果某月要求将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)将x的值代入y关于x的解析式即可解题;
(2)根据利润等于销售利润去掉附加费即可求得w内、w外的值，再根据月利润为360000元即可求得x的值，即可解题;
(3)根据x=5000，即可求得w内的值和w外关于a的一次函数式，即可解题.
【解答】解：(1)将x=1000代入y=﹣ x+150得：
y=140，
故答案为 140;
(2)w内=x(y﹣20)﹣62500=﹣ x2+130x﹣62500，
w外=﹣ x2+(150﹣a)x;
当﹣ x2+130x﹣62500=360000时，
解得：x=6500，
故当x为6500时，在国内销售的月利润为360000元;
(3)当x=5000时，w内=337500，
w外=﹣5000a+500000，
若w内
若w内=w外，则a=32.5;
若w内>w外，则a>32.5，
所以，当10≤a<32.5时，选择在国外销售;
当a=32.5时，在国外和国内销售都一样;
当32.5
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，考查了一次函数的应用，本题中正确求得函数解析式是解题的关键.
26.AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB.
(1)求证：PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长.
【考点】切线的判定与性质.
【专题】证明题.
【分析】(1)根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案;
(2)根据相似三角形的判定与性质，可得 = = ，根据解方程组，可得答案.
【解答】(1)证明：∵PA切⊙O于点A，
∴∠MAP=90°，
∴∠P+M=90°.
∵∠COB=∠APB，
∴∠M+∠MOB=90°，
∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，
∵PB经过直径的外端点，
∴PB是⊙O的切线;
(2)∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，
∴△OBM∽△APM，
∴ = = ，
= ①，
= ②
联立①②得 ，
解得 ，
当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2.
【点评】本题考查了切线的判定与性质，(1)利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质;(2)利用了相似三角形的判定与性质，解方程组.
27.如1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9，AB=12，BC=15.动点P从点B出发，沿BD向点D匀速运动;线段EF从DC出发，沿DA向点A匀速运动，且与BD交于点Q，连接PE、PF.若P、Q两点同时出发，速度均为1个单位∕秒，当P、Q两点相遇时，整个运动停止.设运动时间为t(s).
(1)当PE∥AB时，求t的值;
(2)设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式;
(3)如2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点时，求t的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)由勾股定理求出BD，当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，作PK⊥AB于K，则PK=AE，PK∥AD，则 ，得出AE=PK= t，由AD=AE+ED= +t=9，解方程即可;
(2)过点P作BC的平行线，交EF于G，由BD=15=BC，得出∠BCD=∠BDC，由平行线的性质得出证出∠DEQ=∠EQD，得出DQ=DE=t，同理：PG=PQ=15﹣2t，得出S= PG•AB，即可得出结果;
(3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，则∠PME=∠FNP=90°，若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，则EF为直径，由圆周角定理得出∠EPF=90°，证出∠PEM=∠FPN，得出△EMP∽△PNF，得出对应边成比例 = ，即可求出t的值.
【解答】解：(1)∵∠A=90°
∴BD= = =15，
当PE∥AB时，∠PEA=∠DEP=90°，
作PK⊥AB于K，如1所示：
则PK=AE，PK∥AD，
则 ，即 ，
∴AE=PK= t，
∴AD=AE+ED= +t=9，
解得：t= ;
(2)过点P作BC的平行线，交EF于G，如2所示：
∵BD=15=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴∠∠DEQ=∠BCD，∠EQD=∠BDC，
∴∠DEQ=∠EQD，
∴DQ=DE=t，
同理：PG=PQ=15﹣2t，
∴S= PG•AB= ×12(15﹣2t)=90﹣12t
(3)过点P作BC的垂线，交AD于M，交BC于N，如3所示：
则∠PME=∠FNP=90°，
∴∠MPE+∠PEM=90°，
若△PEF的外接圆圆心O恰好在EF的中点，
∴EF为直径，
∴∠EPF=90°，
∴∠MPE+∠FPN=90°，
∴∠PEM=∠FPN，
∴△EMP∽△PNF，
∴ = ，即 ，
解得：t= 或 ，
∵2t≤15，
∴t≤ ，
∴t= .
【点评】本题是圆的综合题目，考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识;本题综合性强，有一定难度，特别是(3)中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用圆周角定理才能得出结果.
28.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似?
(3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式;
(2)分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长;若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO， = ，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长;
(3)分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案..
【解答】解：(1)过点E作EG⊥x轴于G点.
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°.
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°.
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE.
在△OCD和△GED中 ，
∴△ODC≌△GED (AAS)，
∴EG=OD=1，DG=OC=2.
∴点E的坐标为(3，1).
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
.
解得 ，
抛物线的解析式为y= (x﹣2)2+ ;
(2)①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，
∴t=1;
②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO， = .
∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF.
∴PC=PD，
∴DF= CD.
∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，
∴CD= ，
∴DF= .
∵ = ，
∴PC=PD= × = ，
t= ，
综上所述：t=1或t= 时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似;
(3)存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M1(2，1)，N1(4，2);
四边形MNDE是平行四边形时，M2(2，3)，N2(0，2);
四边形NDME是平行四边形时，M3(2， )，N3(2， ).
【点评】本题考察了二次函数综合题，(1)利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式;(2)利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键;(3)利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键.
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