初三数学上册第一次月考试题(2)
初三数学上册第一次月考试题
17.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是 12 米.
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 几何图形问题.
分析： 根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可.
解答： 解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为(x﹣2)米，
根据题意得：x(x﹣2)=120，
解得：x=12或x=﹣10(舍去)，
故答案为：12.
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系.
18.某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为x，根据题意可列方程为 3000(1+x)2=3630 .
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程.
专题： 增长率问题.
分析： 等量关系为：9月份净化污水吨数=7月份净化污水吨数×(1+平均每月增长的百分率)2，把相关数值代入即可求解.
解答： 解：∵7月份净化污水3000吨，平均每月增长的百分率为x，
∴8月份净化污水3000×(1+x)，
∴9月份净化污水3000×(1+x)×(1+x)=3000×(1+x)2，
∴可列方程为：3000(1+x)2=3630，
故答案为：3000(1+x)2=3630.
点评： 本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到9月份净化污水吨数的等量关系是解决本题的关键.
三、解方程：(每小题15分，共15分)
19.(15分)(2015秋•许昌县校级月考)解方程：
(1)x2﹣2x﹣8=0(用配方法解方程)
(2)3x(x﹣2)=2(2﹣x)
(3)(x﹣6)2=(2x﹣6)2.
考点： 解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先把常数项移到等号的右边，然后进行配方，进而得到方程的根;
(2)方程提取公因式(x﹣2)，进而得到(x﹣2)(3x﹣2)=0，解两个一元一次方程即可;
(3)利用平方差公式得到[(x﹣6)+(2x﹣6)][(x﹣6)﹣(2x﹣6)]=0，整理后得到x(x﹣4)=0，解方程即可求解.
解答： 解：(1)∵x2﹣2x﹣8=0，
∴x2﹣2x=8，
∴x2﹣2x+1=8+1，
∴(x﹣1)2=9，
∴x﹣1=±3，
∴x1=4，x2=﹣2;
(2)∵3x(x﹣2)=2(2﹣x)
∴3x(x﹣2)+2(x﹣2)=0，
∴(x﹣2)(3x﹣2)=0，
∴x﹣2=0或3x﹣2=0，
∴x1=2，x2= ;
(3)∵(x﹣6)2=(2x﹣6)2，
∴[(x﹣6)+(2x﹣6)][(x﹣6)﹣(2x﹣6)]=0，
∴﹣x(3x﹣12)=0，
∴x(x﹣4)=0，
∴x1=0，x2=4.
点评： 本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
四、解答题：(5小题，共51分)
20.已知：实数x满足(x2+x)2﹣(x2+x)﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值.
考点： 换元法解一元二次方程.
分析： 设x2+x=t，则由原方程得到关于t的一元二次方程，通过解该方程得到x2+x的值;然后将其代入所求的代数式进行求值.
解答： 解：设x2+x=t，则
t2﹣t﹣6=0，
整理，得
(t﹣3)(t+2)=0，
解得t=3或t=﹣2(舍去)，
即x2+x=3，
所以x2+x+5=3+5=8，即x2+x+5的值为8.
点评： 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换.
21.(10分)(2015秋•许昌县校级月考)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0
(1)求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时，用配方法解此一元二次方程.
考点： 根的判别式;解一元二次方程-配方法.
分析： (1)先进行判别式得到△=k2+12，再根据非负数的性质得到△>0，然后根据判别式的意义即可得到结论;
(2)代入k的值得出一元二次方程，用配方法解方程即可.
解答： (1)证明：△=k2+12，
∵k2≥0，
∴k2+12>0，
∴不论k为何实数，方程总会有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时，方程为x2+2x﹣3=0，
x2+2x+1=1+3
(x+1)2=4
x+1=±2
x1=1，x2=﹣3.
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.以及利用配方法解一元二次方程.
22.(10分)(2015秋•许昌县校级月考)一间会议室，它的地面是长方形的，长为40米，宽为30米，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米?
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 几何图形问题.
分析： 等量关系为：地毯的长×地毯的宽=会议室面积的一半，把相关数值代入求得合适的解即可.
解答： 解：设地面上未铺地毯的部分宽度是x米.
(40﹣2x)(35﹣2x)= ×40×30，
解得x1=30(不合题意，舍去)，x2=5.
∴x=5.
答：地面上未铺地毯的部分宽度是5米.
点评： 考查一元二次方程的应用;得到地毯的边长是解决本题的易错点;得到地毯面积的等量关系是解决本题的关键.
23.(10分)(2015秋•许昌县校级月考)如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m?
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 几何图形问题.
分析： 设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为(30﹣2x)m，宽为(20﹣x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30﹣2x)(20﹣x)=6×78.
解答： 解：设道路的宽为xm，由题意得：
(30﹣2x)(20﹣x)=6×78，
解得x=2或x=﹣16(舍去)，
答：通道应设计成2米.
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.
24.(12分)(2015秋•许昌县校级月考)某水果商以2元/千克的价格，购进一批苹果，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了尽快减少库存，商户决定降价销售，经调查：每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天要上交管理费24元，若水果商每天欲得盈利200元，则应将苹果每千克售价降低多少元?
考点： 一元二次方程的应用.
专题： 销售问题.
分析： 设应将水果售价降低x元.那么每千克的利润为：(3﹣2﹣x)，由于这种水果每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.所以降价x元，则每天售出数量为：200+ 千克.本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200.
解答： 解：设应将水果售价降低x元.
根据题意，得[(3﹣2)﹣x](200+ )﹣24=200.
原式可化为：50x2﹣25x+3=0，
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3.
因为购买成本不超过600元，x=0.3不符合题意，舍去，
故x=0.2.
答：应将水果售价降低0.2元.
点评： 本题考查理解题意的能力，关键是求出每千克的利润，求出总销售量，从而得到利润.根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解.
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