初三数学第一次月考试卷(2)
初三数学第一次月考试卷
三、解答题(共11题，共88分)
17.解方程：
(1)2x2﹣5x+2=0.
(2)2(x+3)2=x+3.
考点：解一元二次方程-因式分解法.
分析：(1)利用因式分解法求得方程的解即可;
(2)移项，利用提取公因式法分解因式解方程即可.
解答： 解：(1)2x2﹣5x+2=0
(2x﹣1)(x﹣2)=0
x﹣2=0，2x﹣1=0，
解得x1=2，x2= ;
(2)2(x+3)2=x+3
2(x+3)2﹣(x+3)=0
(x+3)(2x+6﹣1)=0
x+3=0，2x+5=0，
解得x1=﹣3;x2=﹣ .
点评：此题考查用因式分解法解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键.
18.(1)化简：( )2+|1﹣ |﹣( )﹣1
(2)解不等式组： .
考点：实数的运算;负整数指数幂;解一元一次不等式组.
专题：计算题.
分析：(1)原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.
解答： 解：(1)原式=3+ ﹣1﹣2= …
(2) ，
由①得：x≤3;由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
19.计算或化简：
(1) ﹣ + ;
(2)先化简( ﹣ )÷ ，然后从 ，0，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.
考点：分式的化简求值;二次根式的加减法.
专题：计算题.
分析：(1)原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x= 代入计算即可得到结果.
解答： 解：(1)原式=3 ﹣2 +3 = +3 ;
(2)原式= • = ，
当x= 时，原式= =2 .
点评：此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C.
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标(2，﹣1);
(2)⊙O的半径为2 (结果保留根号);
(3)求 的长(结果保留π).
考点：垂径定理;坐标与形性质;勾股定理;弧长的计算.
专题：计算题.
分析：(1)连接AB，BC，分别作出这两条弦的垂直平分线，两垂直平分线交于点D，即为所求圆心，由形即可得到D的坐标;
(2)由FD=CG，AF=DG，且夹角为直角相等，利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由同角的余角相等得到∠ADC为直角，利用弧长公式即可求出 的长.
解答： 解：(1)连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点D，即为圆心，由形可得出D(2，﹣1);
(2)在Rt△AED中，AE=2，ED=4，
根据勾股定理得：AD= =2 ;
(3)∵DF=CG=2，∠AFD=∠DGC=90°，AF=DG=4，
∴△AFD≌△D GC(SAS)，
∴∠ADF=∠DCG，
∵∠DCG+∠CDG=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，即∠ADC=90°，
则 的长l= = π.
故答案为：(1)(2，﹣1);(2)2
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与形性质，以及弧长公式，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
21.已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5，求方程的另一根及m的值.
考点：根与系数的关系;一元二次方程的解.
分析：设方程的另一个根为t，先利用两根之积为﹣2求出t，然后利用两根之和为﹣ 可计算出m的值.
解答： 解：设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣5+t=﹣ ，﹣5t=﹣2，
解得t= ，
则m=﹣25+5t=﹣23，
即m的值为﹣23，方程的另一根为 .
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=﹣ ，x1x2= .也考查了一元二次方程解的定义.
22. AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度数;
(2)若OC=3，OA=5，求AB的长.
考点：垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
分析：(1)根据垂径定理，得到 = ，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E= ∠O，据此即可求出∠DEB的度数;
(2)由垂径定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可.
解答： 解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴ = ，∴ ∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;
(2)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC=BC，即AB=2AC，
在Rt△AOC中，AC= = =4，
则AB=2AC=8.
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理.关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理.
23.把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计)
(1)长方体盒子的长、宽、高分别为多少?(单位：cm)
(2)若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积.
考点：一元二次方程的应用.
专题：几何形问题.
分析：(1)根据所给出的形可直接得出长方体盒子的长、宽、高;
(2)根据示，可得2( x2+20x)=30×40﹣950，求出x的 值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案.
解答： 解：(1)长方体盒子的长是：(30﹣2x)cm;
长方体盒子的宽是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)
长方体盒子的高是xcm;
(2)根据示，可得2(x2+20x)=30×40﹣950，
解得x1=5，x2=﹣25(不合题意，舍去)，
长方体盒子的体积V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).
答：此时长方体盒子的体积为1500cm3.
点评：此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去.
24.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°.
(1)求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C(尺规作，保留作痕迹，不写作法)
(2)判断BC与⊙O的位置关系， 并说明理由.
考 点：作—复杂作;直线与圆的位置关系.
专题：作题.
分析：(1)作AC的垂直平分线交AB于点O，再以OA为圆心作⊙O即可;
(2)连结OC，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠A=∠B=30°，则∠OCA=∠A=30°，于是可 得到∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切.
解答： 解：(1)⊙O为所求作;
(2)BC与⊙O相切.理由如下：
连接BC，
∵AC=BC，∠ACB=120°
∴∠A=∠B=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=120°﹣30°=90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是半径
∴BC与⊙O相切.
点评：本题考查了作﹣复杂作：复杂作是在五种基本作的基础上进行作，一般是结合了几何形的性质和基本作方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何形的性质，结合几何形的基本性质把复杂作拆解成基本作，逐步操作.也考查了直线与圆的位置关系.
25.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元?
考点：一元 二次方程的应用.
专题：销售问题.
分析：(1)先求出每件的利润.在乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润;(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.
解答： 解：(1)由题意，得60(360﹣280)=4800元.答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得(360﹣x﹣280)(5x+60)=7200，解得：x1=8，x2=60∵有利于减少库存，
∴x=60.
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.
点评：本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元 二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.
26.已知，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过 上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E
(1)连接OD和OE，若∠A=50°，求∠DOE的度数.
(2)若AB=7，求△ADE的周长.
考点：切线的判定与性质;切线长定理.
分析：(1)连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90°，由于∠A=50°，求出∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论;
(2)根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果.
解答： 解：(1)连接OB，OC，OD，OP，OE，
∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴∠OBA=∠OCA=90 °，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50° =130°，
∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，
∴OD平分∠BOP，
同理得：OE平分∠POC，
∴∠DOE=∠DOP+∠EOP= (∠ BOP+∠POC)= ∠BOC=65°，
(2)∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE
=AD+DP+EP+AE
=AD+BD+AE+EC
=AB+AC
=2AB=14.
点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析形时关键是要仔细探索，找出形的各对相等切线长.
27.配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.
例如：因为3a2≥0，所以3a2﹣1≥﹣1，即：3a2﹣1就有最小值﹣1.只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值﹣1.同样，因为﹣3a2≤0.所以﹣3a2+1≤1，即：﹣3a2+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1.
(1)当x=﹣1时，代数式﹣2(x+1)2﹣1有最大值(填“大”或“小”值为﹣1.
(2)当x=﹣1时，代数式 2x2+4x+1有最小值(填“大”或“小”)值为﹣1.
(3)矩形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10m)，在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板)，现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大?最大面积是多少?
考点：配方法的应用.
专题：几何形问题.
分析：(1)类比例子得出答案即可;
(2)根据题意利用配方法配成(1)中的类型，进一步确定最值即可;
(3)根据题意利用长方形的面积列出式子，利用(1)(2)的方法解决问题.
解答： 解：(1)因为(x+1)2≥0，
所以﹣2(x+1)2≤0，即﹣2(x+1)2﹣1就有最大值﹣1.
只有当x=﹣1时，才能得到这个式子的最大值﹣1.
故答案是：﹣1，大，﹣1;
(2)2x2+4x+1=2(x+1)2+1，
所以当x=﹣1
时，代数式 2x2+4x+1有最小值为﹣1.
故答案是：﹣1，小，﹣1;
(3)设AD=x，
S=x(16﹣2x)=﹣2(x﹣4)2+32，
当AD=4m时，面积最大值为32m2.
点评：此题考查配方法的运用，理解题意，类比给出的方法得出答案即可，渗透二次函数的最值.
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