高一级数学第二学期期末试题
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有关于高一数学下期末试题
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1. 如果a
A. < B. ab
【答案】D
【解析】试题分析：特殊值法：取 ，代入得 ，排除A; ，排除B; ，可排除C;故选项为D.
考点：不等式的证明.
2. 已知 为等比数列，且 则 的值为( )
A. B. - C. D.
【答案】A
【解析】 为等比数列，且 ,有 .
所以 .
故选A.
3. 若 ， 满足 ，则 的最大值为( )
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】试题分析：由图可得在 处取得最大值，由 最大值 ，故选C.
考点：线性规划.
【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤(1)在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域;(2)将目标函数变形为 ;(3)作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大(或最小)时所经过的点，求出该点的坐标;(4)求出最优解：将(3)中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大(小)值.
4. 设α，β为锐角，且sin α= ，cos β= ，则α+β的值为( )
A. π B. π C. D.
【答案】C
【解析】α，β为锐角, ， .
.
.
所以 .故选C.
5. 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：如图，取 中点 ，连接 ，因为 是 中点，则 ， 或其补角就是异面直线 所成的角，设正四面体棱长为1，则 ， ， .故选B.
考点：异面直线所成的角.
【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来.如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段.
6. 已知cos α= ，α∈( )，则cos 等于( )
A. B. - C. D. -
【答案】B
【解析】cos α= , 2
解得cos .
因为α∈( )，所以 , .
故选B.
7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
.....................
解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误;
选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误;
选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误;
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确.
故选D.
考点：空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系.
8. 两直线 和 分别过定点 ，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线 过定点满足 ，解得 .
∴直线3ax-y-2=0过定点A(0，-2).
将直线 整理为 ，满足 ，解得 .
∴直线 过定点B(-1， ).
所以 .
故选C.
点睛：直线含参求过定点的问题一般是将参数全部提出来，让参数的系数为0，其余项也为0，列方程即可求解定点.
9. 三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为 、 、 ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π
【答案】B
【解析】三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设 ，
则 ，
解得, .
则长方体的对角线的长为 .
所以球的直径是6‾√,半径长R= ，
则球的表面积S=4πR2=6π
故选B.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解.
10. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：：∵C在平面ABD上的射影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，
所以：左视图的面积等于
考点：三视图
11. 已知数列{an}满足：a1=1， (n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A. B. C. D. 已知数列
【答案】A
【解析】 ，所以 是以 为首项，1为公差的等差数列.
,所以an= .
故选A.
点睛：已知数列的递推关系求通项一般有两个方法：构造新数列和归纳猜想.
一般用构造即为通过构造新的等差或等比数列来求数列的通项公式;
归纳猜想适用于数列递推关系较为复杂不宜构造时，通过罗列数列的有限项来观察规律.
12. 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2 ，则 的最大值为( )
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】试题分析：∵ax=by=3，
∴ ，
∴
当且仅当a=b时取等号
考点：基本不等式在最值问题中的应用
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上。
13. 已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______________.
【答案】(-∞，- )∪( ，+∞)
【解析】∵不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立，
∴△=(−2)2−4(k2−1)<0，
解得k2>2，
实数k的取值范围为(-∞，- )∪( ，+∞).
14. 在△ABC中，A=60°， 是方程 的两个实根，则边BC长为___________。
【答案】
【解析】∵a和b是方程 的两根，
∴ =3，且 =2，从而得到b2+c2=(b+c)2−2bc=5
∵△ABC中，已知A=60°，
∴BC2=b2+c2−2bccosA=5−2×2×( )=3，
可得
15. 如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2=________.
【答案】1∶24
【解析】试题分析：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，
又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.
即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍.
所以V1：V2= S△ADE•h/S△ABC•H= =1：24
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
16. 设数列{an}，若an+1=an+an+2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1=2，b2=-1，则 ________.
【答案】2
【解析】an+1=an+an+2
an+2=an+1+an+3
+ 得： an+3=-an，an+6=- an+3= an.
所以数列{an}是周期为6的数列，即数列{bn}是周期为6的数列，
所以 .
点睛：已知数列的递推关系求通项一般有两个方法：构造新数列和归纳猜想.
一般用构造即为通过构造新的等差或等比数列来求数列的通项公式;
归纳猜想适用于数列递推关系较为复杂不宜构造时，通过罗列数列的有限项来观察规律.本题亦可通过归纳得到周期为6.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (1)已知点A(-1，-2)和B(-3,6)，直线经过点P(1，-5).且与直线AB平行，求直线的方程
(2)求垂直于直线 ，且与点 的距离是 的直线 的方程。
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：(1)根据平行关系得直线斜率，金额由点斜式写方程即可;
(2)由垂直得斜率，设直线m的方程为 ，利用点到直线距离列方程求解即可.
试题解析：
(1) 直线又过点P(1，-5)，则直线的方程为：
(2)由已知条件可得 ，则设直线m的方程为 ，
又与点 的距离是 ，则 ，得到 ，
.
18. 已知函数
(1)求 的最小正周期和最值
(2)设 是第一象限角，且 求 的值。
【答案】(1) 的最小正周期是 ，最大值为 ，最小值为 ;(2) .
试题解析：
(1)
的最小正周期是 ，最大值为 ，最小值为
(2)
则
则
即
又 为第一象限的角
则
.
19. 如图，梯形 中， 且 ，沿 将梯形 折起，使得平面 ⊥平面 .
(1)证明： ;
(2)求三棱锥 的体积;
(3)求直线 。
【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .
【解析】试题分析：(1)取BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案;
(2)由线面垂直的性质定理可得BC⊥平面DEF，然后把三棱锥D-BEF的体积转化为三棱锥B-DEF的体积求解.
(3)分析条件得 ，连结 , ，由 求解即可.
试题解析：
(1)证明 如图，取BF的中点 ，设 与 交点为 ，连接 .
由题设知， ，
∴ ，故四边形 为平行四边形，
即 .
又 , ，
∴ .
(2)解 ∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 .
∴三棱锥 的体积为
.
(3)∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，又
又 ,
又在正方形 中
连结 ,
20. 在 对应的边分别为 ,且 ,
(1)求角A,
(2)若 ，且BC边上的中线AM长为 ，求 的面积。
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：(1)已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A的度数;
(2)由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可.
试题解析：
(1) ， ,
即
又 ， ， .
(2)由 及(1)，知
在 中，由余弦定理
得 ，解得 .
21. 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万件)之间的函数关系为 ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为 ，而当年产销量相等。
(1)试将年利润P(万件)表示为年广告费x(万元)的函数;
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大?
【答案】(1) ;(2)当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.
【解析】试题分析：(1)根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式;
(2)借助于基本不等式，即可求得最值.
试题解析：
(1)
.
(2) ，
当且仅当 时，即 时，P有最大值41.5万元。
答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.
22. 设数列 的前 项和为 ， 且 成等差数列。
(1)求
(2)证明 为等比数列，并求数列 的通项;
(3)设 ，且 ，证明 。
【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.
【解析】试题分析：(1)令 ， 即可求解 ;
(2)当 时，由 ，得到 ，则 即可证得;
(3)由 ，利用裂项相消求和即可.
试题解析：
(1)在 中
令 ，得 即 ，①
令 ，得 即 ，②
又 ，③
则由①②③解得 .
(2)当 时，由 ，得到
则 .
由(1)得 ，则
是以 为首项， 为公比的等比数列，
，即 .
(3) ，则
则
高一数学下期末试题参考
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
2. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
3.平面四边形ABCD中， ， ，则四边形ABCD是
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形
4.从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.其中是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.①③
5.若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
A.40π cm2 B.80π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2
6.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图，下列结论中正确的是
A.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
7.如图所示，程序框图的输出结果是
A. 16 B. 2524
C. 34 D. 1112
8. 已知圆 ,在圆 中任取一点 ，
则点 的横坐标小于 的概率为
A. B.
C. D.以上都不对
9.函数 在区间 上的简图是
10. 已知直线 与圆 交于两点 ，且 为等边三角形，则圆 的面积为
A. B. C. D.
11.已知函数 ，若 是函数 的四个均为正数的零点，则 的最小值为
A. B. C. D.
12.实数 满足 ，实数 满足 ，则 的小值是
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.
14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cos α=________.
15.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA=OB=1， ，则 ________.
16.已知 ，且 ，则 ______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.(本题满分12分)
某种产品的广告费支出 与销售额 (单位：万元)之间有如下对应数据：
(1)求销售额 的方差;
(2)求回归直线方程.
(参考数据： .)
18.(本题满分12分)
已知 ，且 .将 表示为 的函数，若记此函数为 ，
(1)求 的单调递增区间;
(2)将 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值与最小值.
19.(本小题满分12分)
某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
20 0.25
50
4 0.05
合计
(1)求表中 的值和频率分布直方图中 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数;
(2)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在 的概率.
20.(本题满分12分)
已知 为坐标原点，向量 ，点 满足 .
(1)记函数 ，求函数 的最小正周期;
(2)若 ， ， 三点共线，求 的值.
21. (本题满分12分)
已知圆C：x2+y2=9，点A(-5,0)，直线l：x-2y=0.
(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线 上( 为坐标原点)，存在定点 (不同于点 )，满足：对于圆 上任一点 ，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 的坐标.
22. (本题满分10分)
已知曲线 ，点 是曲线 上的动点.
(1)已知定点 ，动点 满足 ，求动点 的轨迹方程;
(2)设点 为曲线 与 轴的正半轴交点，将 沿逆时针旋转 得到点 ，点 在曲线 上运动，若 ，求 的最大值.
高一数学试题参考答案
一、选择题：DDCCB BDBA D BA
二、填空题：13.30 14.-35 15.-12 16.
三、解答题：
17.解：(1)计算得 ……………2分
……6分
(2),又已知 ，
于是可得： ，…………………………………9分
= ，…………………………………………11分
因此，所求回归直线方程为： .……………………………12分
18.解：(1)由 得 ， .………………1分
所以 .……2分
由 得 ， ……3分
即函数 的单调递增区间为 ….……4分
(2)由题意知 …………………….……………………………7分
因为 ，……………………………………………………8分
故当 时， 有最大值为3;………………………………………………10分
当 时， 有最小值为0. ………………………………………………11分
故函数 在 上的最大值为3，最小值为0. ….……………………………12分
19.解：(1)∵ ，∴ ，∴ ，…………………2分
，……………………………………………3分
.………………………………………………………………………4分
中位数位于区间 ，设中位数为(15+ )，
则 ，∴ ，
故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分
(2)由题意知样本服务次数在 有20人，样本服务次数在 有4人，
如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在 和 的人数分别为： 和 .…………… 8分
记服务次数在 为 ，在 的为 .
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
共15种，……………………………………10分
设“2人服务次数都在 ”为事件 ，则事件 包括
共10种，
所有 . ………………………………………………………………… 12分
20.解：(1)
，…………………………………………………………………1分
，
.…………………………………………………………2分
，………………………………………3分
∴
…………………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
∴ .…………………………………………………………6分
(2)由 ， ， 三点共线可得
，………………………………………………7分
得 ，…………………………………………………………………………………8分
，…………………………………………10分
.…………………………………………………………………12分
21.解：(1)设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0，……………………………………1分
∵直线与圆C相切，∴ 得 ，………………………………………………………2分
∴所求直线方程为 .……………………………………………………………………………………4分
(2)解法一：假设存在这样的点 ，
当 为圆C与 轴左交点 时， ;
当 为圆C与 轴右交点 时， ，……………………………………………………………6分
由题意 ，解得 (舍去)，或 .
下面证明点 对于圆C上任意一点 ，都有 为一常数.………………………………8分
设 ，则 ，
∴ ，
故 为常数.……………………………………………………………………………………………………………………12分
解法二：
假设存在这样的点 ，使得 为常数 ，则 ,
∴ ，将 代入得 ，
即 对 恒成立，…………………………………………………8分
∴ 解得 或 (舍去)，
∴存在点 对于圆 上任一点 ，都有 为常数 .……………………..12分
22.解：(1)由 得， ，所以点 在以 为圆心1为半径的圆上，故点 的轨迹方程为 .…………………………5分
(2)设 .
由 得
得 ，整理得
所以
故当 时 有最大值2. ………………………………………………10分
其它方法酌情给分.
高一数学下期末试题带答案
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
2. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
3.平面四边形ABCD中， ， ，则四边形ABCD是
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形
4.从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.其中是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.①③
5.若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为
A.40π cm2 B.80π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2
6.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图，下列结论中正确的是
A.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
7.如图所示，程序框图的输出结果是
A. 16 B. 2524
C. 34 D. 1112
8. 已知圆 ,在圆 中任取一点 ，
则点 的横坐标小于 的概率为
A. B.
C. D.以上都不对
9.函数 在区间 上的简图是
10. 过点 且圆心在直线 上的圆的方程是
A. B.
C. D.
11.已知 ， ，则 等于
A. B. C. D.
12.已知直线 与圆 交于两点 ，且 为等边三角形，则圆 的面积为
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.
14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，则cos α=________.
15.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA=OB=1， ，则 ________.
16.已知 ，且 ，则 ______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.(本小题满分12分)
已知两向量平面 与 ，| |=4，| |=8， 与 的夹角是120°.
(1)计算： | + |;
(2)当k为何值时，( +2 )⊥(k - ).
18. (本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 ，且 是它的一个零点.
(1)求函数 的解析式;
(2)若 ， ， ，求 的值.
19.(本题满分12分)
某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边 ， 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数(如茎叶图所示)，且 路口数据的平均数比 路口数据的平均数小2.
(1)求出 路口8个数据中的中位数和茎叶图中 的值;
(2)在 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率.
20.(本小题满分12分)
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期;
(2)求函数 的最大值及 取最大值时 的集合.
21.(本小题满分12分)
某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
20 0.25
50
4 0.05
合计
(1)求表中 的值和频率分布直方图中 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数;
(2)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在 的概率.
22.(本小题满分10分)
如图，已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=219时，求直线l的方程.
高一数学试题参考答案
一、选择题：DDCCB BDBAC CD
二、填空题：13.30 14.-35 15.-12 16.
三、解答题：
17.解：由已知得， • =4×8× =-16. …………………………………2分
(1)∵| + |2= =16+2×(-16)+64=48，
∴| + |=43.………………………………………………………………………6分
(2)∵( +2 )⊥(k - )，∴( +2 )•(k - )=0，……………………………7分
∴ ，
即16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7.
即k=-7时， +2 与k - 垂直.………………………………………………12分
18. 解：(1)∵函数 的最小正周期为 ，故 ，∴ .
∴ .……………………………………………………………2分
又 是它的一个零点，即 ，∴
∴ ，
∵ ，∴ ，………………………………………………………5分
∴ 的解析式为 .…………………………………………6分
(2)由(1)知 ，
又∵ ， ，
故 ， ，………………………………………………8分
∴ ，又 .…………………………………………………9分
∴ ，………………………………………………………………………11分
∴ .…………………………12分
另解： ，………………………………………………8分
∴ ，又 ，……………………………………………………9分
∴ ，……………………………………………………………11分
∴ .…………………………12分
19.解：(1)A路口8个数据的中位数为 .……………………3分
∵A路口8个数据的平均数为 ，
∴B路口8个数据的平均数为36，
∴ ， .………………6分
(2)B在路口的数据中人去2个大于35的数据，有如下10种可能结果：
， ， ， ， ， ， ， ， ， .…………………………………………………………………9分
其中 “至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种： ， ， ， ， ， ， .
故所求的概率为 .…………………………………………………………12分
20.解：(1)
，…………………………………………………………………4分
∴函数 的最小正周期为 .……………………………………………6分
(2)当 ，即 ， 时，
有最大值 ，………………………………………………………………10分
取最大值 时 的集合为 .……………………12分
21.解：(1)∵ ，∴ ，∴ ，…………………2分
，……………………………………………3分
.………………………………………………………………………4分
中位数位于区间 ，设中位数为(15+ )，
则 ，∴ ，
故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分
(2)由题意知样本服务次数在 有20人，样本服务次数在 有4人，
如果用分层抽样的方法从样本服务次数在 和 的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在 和 的人数分别为： 和 .…………… 8分
记服务次数在 为 ，在 的为 .
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
共15种，……………………………………10分
设“2人服务次数都在 ”为事件 ，则事件 包括
共10种，
所有 . ………………………………………………………………… 12分
22.解：(1)设圆A的半径为R.
由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，
∴R=|-1+4+7|5=25.………………………………………3分
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. …………………………4分
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意;………5分
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2).
即kx-y+2k=0. ……………………………………………………………6分
连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|=219，∴|AQ|=20-19=1，……………………………………7分
则由|AQ|=|k-2|k2+1=1，………………………………………………………8分
得k=34，∴直线l：3x-4y+6=0. …………………………………… 9分
故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0. ………………………………10分
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