下期中高一级数学试卷带答案
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高一数学下期中试卷带答案
一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)
1.sin135°= .
2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= .
3.直线y=2x+1的斜率为 .
4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 .
5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= .
6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为 .
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 .
8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= .
9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= .
10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n= .
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin = .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )= .
13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是 .
14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为 .
15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12= .
16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为 .
17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为 .
二、解答题
18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;
(2)已知tanα= ，求tan2α的值.
19.在△ABC中，
(1)已知 a=2bsinA，求B;
(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.
20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;
(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时
(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?
22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)求数列{ }的前n项和Tn.
23.在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求tanA及tanC的值.
24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C;
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.
(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;
(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)
1.sin135°= .
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值.
【解答】解：sin135°=sin=sin45 .
故答案为： .
2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= 1 .
【考点】正弦定理.
【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC= .
故选1.
3.直线y=2x+1的斜率为 2 .
【考点】直线的斜率.
【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可.
【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2.
故答案为：2.
4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 3 .
【考点】圆的标准方程.
【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径.
【解答】解：由圆(x﹣1)2+y2=9，得r2=9，
∴r=3.
即圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.
故答案为：3.
5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= 3 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.即可得出.
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.
∴2×2=1+a3，
解得a3=3.
故答案为：3.
6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为 π .
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f(x)=sin2x+sinxcosx+2化为：f(x)= sin(2x﹣ )+ ，利用周期公式即可求得其周期.
【解答】解：∵f(x)=sin2x+sinxcosx
= + sin2x
= (sin2x﹣cos2x)+
= sin(2x﹣ )+ ，
∴其最小正周期T= =π.
故答案为：π.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ﹣ .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值.
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b= .
再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，
故答案为：﹣ .
8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= ﹣10 .
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等;两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值.
【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为 ，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，
∴ =﹣2，求得m=﹣8.
由于直线l3的斜率为﹣ ，l2⊥l3，∴﹣2×(﹣ )=﹣1，求得n=﹣2，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10.
9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= 2 .
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案.
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心(0，0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r，
即 = r，
解得r=2，
故答案为：2.
10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n= 3 .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】an=3× ，可得前n项之积Tn= ，对n分类讨论，底数 与1比较大小关系即可得出.
【解答】解：an=3× ，
∴前n项之积Tn=3n× = = ，
由于n≤3时， ≥1;由于n≥4时， <1.
∴n=3时，前n项之积最大，
故答案为：3.
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，则sin = .
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.
【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，
∴α﹣ ∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .
则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)
= • + • = .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )= .
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值.
【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ∈( ，π)，∴B∈(0， )，
∴sinA= = ，则由正弦定理可得 = = ，
∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，
sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，
故答案为： .
13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是 [ ， ] .
【考点】两条平行直线间的距离.
【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得.
【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，
∴两平行线间的距离d= ，
故d2= = = ，
∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣ ≤﹣4c≤0，
∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，
∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤
故答案为：[ ， ]
14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为 3 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围.
【解答】解：易知M(x0，1)在直线y=1上，
设圆C的方程为(x﹣2)2+y2=1与直线y=1的交点为T，
假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，
因为T(2，1)，
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT= = ≥tan45°=1，
即|x0﹣2|≤1，
则﹣1≤x0﹣2≤1，
即1≤x0≤3
故x0∈[1，3].
则x0的最大值为3，
故答案为：3.
15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12= 3 .
【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式.
【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式an，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算 S12的值.
【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，
∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，
∴Sn+ +1=0;
又∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，
同理可得a3= ，
猜想an= ;
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1= =1，成立;
②假设当n≤k(k∈N*)时成立，ak= ，则Sk= = ;
∵Sk+ +1=0，
∴ + +1=0，
解得ak+1= ;
因此当n=k+1时也成立，
综上，对于n∈N*，an= 都成立;
由等差数列的前n项和公式得，Sn= ;
∴ S12= × =3.
16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为 .
【考点】余弦定理.
【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数.
【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
①2+②2得：(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37，
化简得：9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37，
即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ，又∠C∈(0，π)，
∴∠C的大小为 或 ，
若∠C= π，得到A+B= ，则cosA> ，所以3cosA> >1，
∴3cosA+4sinB>1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠ π，
∴满足题意的∠C的值为 .
则∠C的大小为 .
故答案为：
17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为 3 .
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得 = ，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC
【解答】解：∵ =2
∴ = = =
∵AD=| |= ，AC=| |=3，A= ，设AB=c
∴ =| || |cosA=
则13= =
∴13=1
整理可得，2c2 ﹣54=0
∵c>0
解可得，c=3
由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA
=
二、解答题
18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;
(2)已知tanα= ，求tan2α的值.
【考点】二倍角的正切;二倍角的正弦.
【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α 的值.
(2)由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.
【解答】解：(1)∵已知sinα= ，α∈( ，π)，∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .
(2)∵已知tanα= ，∴tan2α= = = .
19.在△ABC中，
(1)已知 a=2bsinA，求B;
(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，即可得出;
(2)利用余弦定理即可得出.
【解答】解：(1)∵ a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB= ，B∈(0，π)，∴B= 或 .
(2)∵a2+b2+ ab=c2，∴cosC= = =﹣ ，又C∈(0，π)，
∴C= .
20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;
(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】(1)由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可;
(2)可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得.
【解答】解：(1)∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣ ，
∴由垂直关系可得所求直线的斜率k= ，
又直线过点A(2，3)，∴方程为y﹣3= (x﹣2)
化为一般式可得2x﹣3y+5=0;
(2)∵直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，
∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，
由点到直线的距离公式可得 =3，解得k=±
∴直线l的方程为y=± x，即3x±4y=0
21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时
(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?
【考点】直线的点斜式方程.
【分析】(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，利用点斜式即可得出.
(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，解出即可.
(3)由于l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d= = ，解出k即可.
【解答】解：(1)当l经过圆心Q(1，﹣2)时，可将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，
∴直线l的方程为：y+2= (x﹣1)，化为x﹣2y﹣5=0.
(2)设直线l的方程为：y+4=k(x+3)，化为kx﹣y+3k﹣4=0，
∵直线l与圆相切，
∴圆心Q(1，﹣2)到直线l的距离d= =2，化为：3k2﹣4k=0，
解得k=0或 .∴当k=0或 时，直线l与圆相切.
(3)∵l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2，
∴直线l的距离d= = ，化为13k2﹣16k+1=0，
解得k= .
∴当k= 时，满足条件.
22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)求数列{ }的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.
【分析】(1)设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求;
(2)直接利用等差数列的前n项和公式求解;
(3)把数列{an}的通项公式代入 ，利用错位相减法求前n项和Tn.
【解答】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a2=0，a6+a8=﹣10，得 ，解得 .
∴an=1﹣(n﹣1)=2﹣n;
(2) = ;
(3) = ，
∴ ，
，
两式作差得： = = .
∴ .
23.在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求tanA及tanC的值.
【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数;两角和与差的正切函数.
【分析】(1)利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin(A+C)，代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值;
(2)由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣(A+C)，利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值.
【解答】解：(1)∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，
∴ ，
∵C为三角形内角，∴sinC>0，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴ ;
(2)∵ ，
∴ ，
∵A+B+C=π，
∴ .
∴ ，
整理得tan2C﹣8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
将tanC=4代入得： =4.
24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C;
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.
(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;
(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值;
(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0， )，表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值.
【解答】解：(1)在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈(0， )，
则 ，…
因为DE∥AC，所以∠E=α， ，
且 ，即 ，…
解得 ，…
所以 ，
所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值 . …
(2)在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈(0， )，则 ，
解得 ，…
三角形CBE中，有 ，解得 ，…
则等边三角形的边长为 ，…
所以边长的最大值为 ，所以面积S2的最大值为 .…
高一数学下学期期中试题参考
第一卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为( )
A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4
2.某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.抽签法
3. 函数y=cosx•tanx的值域是( ).
A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1)
4. 如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x 值为( )
A.0 B.1 C.2 D.11
5. 圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1) 2=4外切，则m的值为( )
A.2或-5 B.-5 C.2 D.不确定
6.若 那么 的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.
7. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )
A.甲的极差是29 B.乙的众数是21
C.甲罚球命中率比乙高 D.甲的中位数是24
8 . 为三角形ABC的一个内角,若 ,则这个三角形的形状为 ( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
9.方程 =lgx的根的个数是 ( )
A.0 B. 2 C. 1 D.无法确定
10. △ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(-5,2,1)，C(-83，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11. 在 内，使 的成立的 的取值范围是( )
A.( ) B.( ) C.( ) D.( )
12.下列说法正确的是( ).
A.在0，π2内sinx>cosx B.函数y=π1+tan2x的最大值为π
C.函数y=2sinx+π5的图象的一条对称轴是x=45π
D .函数y=sin 2x的图象可以由函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位得到
第二卷(非选择题 共90分)
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.若一直线与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k=_______
14.已知tan α=2，则sin2( + )+sin cos -2cos2(- )的值为______
15.若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为x，方差为0.21，则a1，a2，…，a20，x这21个数据的方差为________.
16. 在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得方程x2+2ax-b2+π2=0有实根的概率为_______
三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17(10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数x(个) 2 3 4 5
加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5
求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^，并预测加工10个零件需要多少时间?
18.(12分)统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人,并根据所得数据画了样本频率分布直方图,每个分组包含左端点,不包含右端点,如第一组表示收入在500~1 000元.
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样法抽出100人作进一步分析,则月收入在2 000~2 500元的应抽取多少人?
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数;
19.(12分) 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
20.(12分) 已知函数 ，
其部分图象如图所示.
(1)求函数 的表达式;
(2)求方程 , 的解.
21.(12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.
22.(12分) 已知函数 ，
(1)求 的单调增区间;
(2)若 ， =a有且仅有一个根,求a的范围.
高一年级数学试题答案
选择题：BBCCA CDBCD CB
填空题：13. 0 14. 45 15. 0.2 16.1-π4
17. 解：由表中数据得：i=14xiyi=52.5，x=3.5，y=3.5，i=14x2i=54.
代入公式得b^=0.7，a^=1 .05∴y^=0.7x+1.05. -----8分
将x=10代入回归直线方程，
得y^=0.7×10+1.05=8.05(h).
∴预测加工10个零件需要8.05 h. --------10分
18. 解:(1)因为(0.000 2 +0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,
所以a==0.000 5, ---3分
月收入在2 000元~2 500元的频率为0.25,
所以抽取的100人中月收入在2 000元~2 500元的人数为
0.25×100=25(人). ------6分
(2)因为0.000 2×(1 000-500)=0.1,0.000 4×(1 500-1 000)=0.2,
0.000 5×(2 000-1 500)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
所以样本数据的中位数是1 500+ =1 900(元). ------9分
(750×0.000 2+1 250×0.000 4+1 750×0.000 5+2 250×0.000 5+2 750×0.000 3+3 250×0.000 1)×500=1 900(元).
所以样本数据的平均数为1 900元. -----12分
19. 解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个.
因此所求事件的概率P=26=13. -------6分
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.
又满足m+2≤n的事件的概率为P1=316，
故满足n
20. 解：(1)
且 过 ，则 ----6分
( 2)当 时， ，
----------- 12分
21. 设所求圆的圆心为C(a, a-1),半径 为r(r>0),则点C到直线l2的距离d1= = . --------3分
点C到直线l3的距离是d2= = . ---------6分
由题意,得 -------9分
解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. ----12分
22.(1) ， ，
增区间为 ; ----- -6分
( 2)
由图像可知 =a有且仅有一个根时a的范围
为{a︱ 或a=2} ------12分
高一年级数学下学期期中试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.请将正确答案填涂在答题卷上)
1.设全集U=A∪B={1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)={1，2}，则集合B=( )
A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4， 5} D.(2，4)
2.过点M(﹣3，2)，N(﹣2，3)的直线倾斜角是( )
A. B. C. D .
3.函数 的零点落在的区间是( )
4.计算sin105°=( )
A. B. C. D.
5.函数 的图像( )
A.关于点 对称， B.关于直线 对称， C.关于点 对称， D.关于直线 对称
6.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像( )
A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度
C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度
7.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
8.已知2sinα+cosα= ，则tan2α=( )
A. B. C.- D.-
9.函数y=2cos2 -1是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函 数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
10.函数 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
11.设m，n是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n; ②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β;
③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.
其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.②③ C.③④ D.①④
12.已知 则方程 所 有实根的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案写在答题卷上)
13.已知 则
14.经过点 ，且与直线 =0垂直的直线方程是
15.已知函数 若对任意x1≠x2，都有 成立，则a的取值范围是
16.设常 数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，则 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.)
17.已知函数
(Ⅰ)求出使 取最大值、最小值时 的集合;
(Ⅱ)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;
18.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0，|φ|<π)的 一段图象(如图)所示.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求这个函数的单调增区间。
19.设函数 ， .
(Ⅰ)求 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)若 时， ，求函数 的最大值，并指出 取何值时，函数 取得最大值.
20.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1.
(Ⅰ)求证：MN∥平面PAD;
(Ⅱ)求证：平面PMC⊥平面PCD;
21.已知圆 ： ，点 是直线 ： 上的一动点，过点 作圆M的切线 、 ，切点为 、 .
(Ⅰ)当切线PA的长度为 时，求点 的坐标;
(Ⅱ)若 的外接圆为圆 ，试问：当 运动时，圆 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标;若不存在，说明理由;
(Ⅲ)求线段 长度的最小值.
2 2.已知 二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0，3]上有最大值4，最小值0.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)设f(x)= .若f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围.
期中数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B D A C C A A C A B
13.-2 14.
15.(0, ] 16.
17.
18.(1)由图可知A=3，
T= =π，又 ，故ω=2
所以y=3sin(2x+φ)，把 代入得：
故 ，∴ ，k∈Z
∵|φ|<π，故k=1， ，
∴
(2)由题知 ，
解得：
故这个函数的单调增区间为 ，k∈Z。
19.(1)
所以：
因为：
所以单调递增区间为：
(2)因为：
当 时， ，
所以
20.(1)证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN
则有EN∥CD∥AM，且EN= CD= AB=MA.
∴四边形AMNE是平行四边形.
∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD;
(2)证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A ，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E为PD中点
∴AE⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD;
21.解：(Ⅰ)由题可知，圆M的半径r=2，设P(2b,b)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°,
所以MP= ，解得
所以
(Ⅱ)设P(2b，b)，因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆 以MP为直径，
其方程为：
即
由 ，
解得 或 ，所以圆过定点
(Ⅲ)因为圆 方程为
即 ……①
圆 ： ，即 ……②
②-①得圆 方程与圆 相交弦AB所在直线方程为：
点M到直线AB的距离
相交弦长即：
当 时，AB有最小值
22.解：(Ⅰ)∵g(x)=m(x﹣1)2﹣m+1+n
∴函数g(x)的图象的对称轴方程为x=1
∵m>0依题意得 ，
即 ，
解得
∴g(x)=x2﹣2x+1，
(Ⅱ)∵
∴ ，
∵f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，
即 在x∈[﹣3，3]时恒成立
∴ 在x∈[﹣3，3]时恒成立
只需
令 ，
由x∈[﹣3，3]得
设h(t)=t2﹣4t+1
∵h(t)=t2﹣4t+1
=(t﹣2)2﹣3
∴函数h(x)的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时，取得最大值33.
∴k≥h(t)max=h(8)=33
∴k的取值范围为[33，+∞)
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