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高一数学等差中项知识点详解(2)

时间: 夏萍1132 分享

高一数学等差中项知识点详解

  高一数学关于平面向量基本定理及坐标表示知识点

  平面向量的基本定理:

  如果

  是同一平面内的两个不共线的向量,那么对这一平面内的任一向量

  存在唯一的一对有序实数

  使

  成立,不共线向量

  表示这一平面内所有向量的一组基底。

  平面向量的坐标运算:

  在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

  为基底,则平面内的任一向量

  可表示为

  ,称(x,y)为向量

  的坐标,

  =(x,y)叫做向量

  的坐标表示。

  基底在向量中的应用:

  (l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.

  (2)在平面中选择基底主要有以下几个特点:①不共线;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量,就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

  用已知向量表示未知向量:

  用已知向量表示未知向量,一定要结合图像,可从以下角度如手:

  (1)要用基向量意识,把有关向量尽量统一到基向量上来;

  (2)把要表示的向量标在封闭的图形中,表示为其它向量的和或差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系;

  (3)用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则用减法,如果此向量与一个易求向量共线,可用数乘。

  1、向量的加法

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x',y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的运算律:

  交换律:a+b=b+a;

  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  2、向量的减法

  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0

  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”

  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

  4、数乘向量

  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

  当λ>0时,λa与a同方向;

  当λ<0时,λa与a反方向;

  当λ=0时,λa=0,方向任意。

  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

  数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律:(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

  3、向量的的数量积

  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b。若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'。

  向量的数量积的运算律

  a•b=b•a(交换律);

  (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);

  (a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

  向量的数量积的性质

  a•a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a•b=0。

  |a•b|≤|a|•|b|。

  向量的数量积与实数运算的主要不同点

  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)^2≠a^2•b^2。

  2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c。

  3、|a•b|≠|a|•|b|

  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

  4、向量的向量积

  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

  向量的向量积性质:

  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  向量的向量积运算律

  a×b=-b×a;

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

  (a+b)×c=a×c+b×c.

  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

  向量的三角形不等式

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;

  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。

  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;

  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。


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