高三文科数学上学期期中试题
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高三数学上学期期中试题文科
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R，集合 ，则∁UA等于( )
A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
2.已知复数 ，则z的共轭复数 等于( )
A. B. C.1+i D.1﹣i
3.已知 ，则 等于( )
A.7 B. C.3 D.
4.2015是等差数列3，7，11…的第项( )
A.502 B.503 C.504 D.505
5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为( )
A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(﹣∞，1) D.(﹣∞，2)
6.已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=cosx，则 =( )
A. B. C. D.
7.若等比数列前n项和为 ，则c等于( )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
8.命题p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为( )
A.￢p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
B.￢p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
C.￢p：∃a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
D.￢p：∃a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ，则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
10.若点P(x，y)在以A(﹣3，1)，B(﹣1，0)，C(﹣2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则 的取值范围( )
A.[ ，1] B.( ，1) C.[ ，1] D.( ，1)
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ，则f(x)的值域为( )
A.[0， ﹣ ] B.[1﹣ ， ﹣ ] C.[0， ﹣ ] D.[1﹣ ， ﹣ ]
12.设F1、F2分别是椭圆 的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(3，3)，则|PM|﹣|PF2|的最小值为( )
A.5 B. C.1 D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.椭圆 的离心率为 .
14.框图如图所示，最后输出的a= .
15.设实数x，y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则a= .
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点，则P到x轴的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知关于x的不等式 对于a∈(1，+∞)恒成立，求实数x的取值范围.
18.已知圆C：(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ，求半径r;
(Ⅱ)已知原点O，点A(2，0)，若圆C上存在点P，使得 ，求半径r的取值范围.
19.已知△ABC中，D为AC的中点，AB=3，BD=2，cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
20.已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn= .
(Ⅰ)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1，A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1，A2).
(Ⅰ)求该椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点M(0，m)(其中常数m>0)，求椭圆上动点N与M点距离的最大值.
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R，集合 ，则∁UA等于( )
A.[1，2] B.[1，2) C.(1，2] D.(1，2)
【考点】并集及其运算.
【分析】先解不等式从而解出集合A，然后求∁UA.
【解答】解：∵全集U=R，集合A={x| ≥0}={x|x≤1或x>2}，
∴∁UA={x|1
故选C.
2.已知复数 ，则z的共轭复数 等于( )
A. B. C.1+i D.1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】化简复数为a+bi，然后求解共轭复数即可.
【解答】解：复数 = = .
则z的共轭复数 = .
故选：A.
3.已知 ，则 等于( )
A.7 B. C.3 D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】直接利用向量的数量积，以及向量的模，求解即可.
【解答】解： ，
则 = = = .
故选：B.
4.2015是等差数列3，7，11…的第项( )
A.502 B.503 C.504 D.505
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由题意易得数列的通项公式，令其等于2015解n值即可.
【解答】解：由题意可得等差数列的公差d=7﹣3=4，
∴通项公式an=3+4(n﹣1)=4n﹣1，
令4n﹣1=2015可解得n=504
故选：C
5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为( )
A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(﹣∞，1) D.(﹣∞，2)
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=x2﹣2x>0，求得函数的定义域，根据y=g(t)=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质，得出结论.
【解答】解：令t=x2﹣2x>0，求得x<0，或 x>2，故函数的定义域为{x|x<0，或 x>2}，
根据y=g(t)=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，
再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为(2，+∞)，
故选：A.
6.已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=cosx，则 =( )
A. B. C. D.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】直接利用函数的奇偶性以及特殊角的三角函数值 求解即可.
【解答】解：函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=cosx，
则 =﹣f( )=﹣cos =﹣ .
故选：D.
7.若等比数列前n项和为 ，则c等于( )
A.2 B.﹣2 C.1 D.0
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】求出an，求出a1，a2，a3，再由a22=a1•a3能够得到常数a的值.
【解答】解：因为数列{an}的前n项和Sn=2n+1﹣c所以S1=4﹣c，S2=8﹣c，S3=16﹣c，
又因为a1=s1，a2=s2﹣s1，a3=s3﹣s2，所以a1=4﹣c，a2=4，a3=8，
根据数列{an}是等比数列，可知a1a3=a22，所以(4﹣c)×8=16，解得，c=2.
故选：A.
8.命题p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为( )
A.￢p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
B.￢p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
C.￢p：∃a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为真
D.￢p：∃a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，￢p为假
【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定.
【分析】写出命题否定命题，然后判断真假即可.
【解答】解：命题p：∀a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p：∃a∈R，直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交，
直线系恒过定点(2，1)，因为在圆x2+y2=6的内部，所以直线系恒与圆相交.
所以否定命题是假命题.
故选：D.
9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ，则该函数的解析式为( )
A. B. C. D.
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值，相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期，即可求得函数的周期，进而得ω的值，利用点( ，2)在函数图象上，解得：φ=2kπ﹣ ，k∈Z，结合范围|φ| ，可得φ的值，从而得解.
【解答】解：∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 ，
∴A=2，T=2×( + )=π，
∴ω= = =2，
∴f(x)=2sin(2x+φ)，
∵点( ，2)在函数图象上，可得：2sin(2× +φ)=2，sin( +φ)=1，解得：φ=2kπ﹣ ，k∈Z，
∵|φ| ，可得φ=﹣ .
∴该函数的解析式为2sin(2x﹣ ).
故选：B.
10.若点P(x，y)在以A(﹣3，1)，B(﹣1，0)，C(﹣2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则 的取值范围( )
A.[ ，1] B.( ，1) C.[ ，1] D.( ，1)
【考点】直线的斜率.
【分析】先有斜率公式得出式子 的几何意义是点P(x，y)和定点D(1，2)连线的斜率，由题意画出图形，根据图形求直线PD的斜率范围.
【解答】解：式子 的几何意义是点P(x，y)和定点D(1，2)连线的斜率，
根据题意画出图形如图：
由图得，直线BD的斜率是 =1，直线AD的斜率是 = ，
故直线PD的斜率
故选D.
11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ，则f(x)的值域为( )
A.[0， ﹣ ] B.[1﹣ ， ﹣ ] C.[0， ﹣ ] D.[1﹣ ， ﹣ ]
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值域.
【分析】利用利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解：f(x)=sinx﹣ x(x ，
f′(x)=cosx﹣ ，
则当 时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增;当 时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减.
∴当x= 时，函数f(x)取得最大值， = ﹣ .
而f(0)=0，f( )=1﹣ .
∴f(x)的值域为 .
故选：A.
12.设F1、F2分别是椭圆 的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(3，3)，则|PM|﹣|PF2|的最小值为( )
A.5 B. C.1 D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义把|PM|﹣|PF2|转化为|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.然后求出|MF1|得答案.
【解答】解：如图，
由椭圆方程 ，得a=2，2a=4.
由椭圆定义知：|PF2|=2a﹣|PF1|，
∴|PM|﹣|PF2|=|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.
连接MF1 交椭圆于P，则P为满足条件的点.
此时|PM|+|PF1|最小，则(|PM|+|PF1|)﹣4最小.
∵F1(﹣1，0)，M(3，3)，
∴ ，
∴|PM|﹣|PF2|的最小值为1.
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.椭圆 的离心率为 .
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】根据椭圆的标准方程，确定a，b的值，求出c的值，利用离心率公式可得结论.
【解答】解：由题意，a=3，b= ，
∴ ，
∴ =
故答案为：
14.框图如图所示，最后输出的a= .
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=3，时满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为 .
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，a=2
i=2，a=﹣3
不满足条件i≥3，i=3，a=﹣ ，
满足条件i≥3，退出循环，输出a的值为 .
故答案为： .
15.设实数x，y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则a= 0 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).
若a=0，则x=z，此时满足条件最大值时有无穷多个最优解，此时a=0，
若a>0，
由z=x+ay得y=﹣ x+ ，
若a>0，∴目标函数的斜率k=﹣ <0.
平移直线y=﹣ x+ ，
由图象可知当直线y=﹣ x+ 和直线AB：x+y=5平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时不满足条件，
若a<0，∴目标函数的斜率k=﹣ >0.
平移直线y=﹣ x+ ，
由图象可知直线y=﹣ x+ ，取得最大值的点只有一个，此时不满足条件，
综上a=0，
答案为：0
16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点，则P到x轴的距离为 .
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设点P(x，y)，表示出点P到x轴的距离为|y|，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x=±4得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求|y|.
【解答】解：设点P(x，y)，则到x轴的距离为|y|
由于a=5，b=3，∴c=4，
(1)若∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°，
令x=±4得y2=9 (1﹣ )= ，
∴|y|= ，即P到x轴的距离为 .
(2)若∠F1PF2=90°，则
，
∴|PF1||PF2|= =18，
∵ |PF1||PF2|= |F1F2||y|，
∴|y|= ，
由(1)(2)知：P到x轴的距离为 或，
故答案为 或 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知关于x的不等式 对于a∈(1，+∞)恒成立，求实数x的取值范围.
【考点】其他不等式的解法.
【分析】根据基本不等式的性质得到3≥|2x﹣1|+|x+1|，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可.
【解答】解：设a﹣1=t>0，
则 ，
当且仅当t=1时取等号.
所以3≥|2x﹣1|+|x+1|，
(1)当 时，有3≥3x，得 ;
(2)当 时，有3≥﹣x+2，得 ;
(3)当x≤﹣1时，有3≥﹣3x，得x=﹣1.
综上实数x的取值范围为[﹣1，1].
18.已知圆C：(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)
(Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ，求半径r;
(Ⅱ)已知原点O，点A(2，0)，若圆C上存在点P，使得 ，求半径r的取值范围.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)求出C到直线x﹣y+5=0的距离，根据直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ，利用勾股定理，即可求半径r;
(Ⅱ)由 可得(x﹣4)2+y2=8，所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点.
【解答】解：(Ⅰ)C到直线x﹣y+5=0的距离为d= = ，直线与圆相交所得弦长为 ，所以 .
(Ⅱ)设P(x，y)，由 可得(x﹣4)2+y2=8，
所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点，两圆圆心距离为5，
所以 .
19.已知△ABC中，D为AC的中点，AB=3，BD=2，cos∠ABC= .
(Ⅰ)求BC;
(Ⅱ)求sinA.
【考点】解三角形.
【分析】(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，由和差角的三角函数可得sin∠ABD的值，由2S△ABD=S△ABC可得BC的方程，解方程可得;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC的值，再由余弦定理可得cosA，由同角三角函数基本关系可得sinA.
【解答】解：(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC，垂足分别为E、F，
由题意可得sin∠ABC= = = ，
∴AE=ABsin∠ABC= ，由中位线可得DF= AE= ，
∴sin∠DBC= ，cos∠DBC= = ，
∴sin∠ABD=sin(∠ABC﹣∠DBC)= ﹣ = ，
∵D为AC的中点，∴2S△ABD=S△ABC，
∴2× AB•BD•sin∠ABD= AB•BC•sin∠ABC，
∴2× ×3×2× = ×3×BC× ，
解得BC=2;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC
=9+4﹣2×3×2× =10，∴AC= ，
∴由余弦定理可得cosA= = ，
∴sinA= = .
20.已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn= .
(Ⅰ)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.
【考点】数列递推式.
【分析】(Ⅰ)利用条件，结合等差数列的定义，即可证明数列{bn}是等差数列，从而求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】(I)证明：∵ ， ， ，
∴bn+1﹣bn= ，…
∴数列{bn}是等差数列，…
∵ ，∴ ，
∴数列{an}的通项公式 ;…
(II)解：∵ ，
∴ ，
当n≥2时，相减得：
∴ ，…
整理得 ，
当n=1时， ，…
综上，数列{an}的前n项和 .…
21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1，A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1，A2).
(Ⅰ)求该椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点M(0，m)(其中常数m>0)，求椭圆上动点N与M点距离的最大值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由△ABF2的周长为8求得a，然后结合 求得b点的值，则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出N的坐标，利用两点间的距离公式得到|MN|关于N的纵坐标的函数，然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)如图，由△ABF2的周长为8，得4a=8，即a=2.
∴A1(﹣2，0)，A2(2，0)，
设P(x0，y0)，则 .
又 ，得 ，
即 ，∴b2=1.
则椭圆方程为： ;
(Ⅱ)设椭圆上N(x0，y0)(﹣1≤y0≤1)，又M(0，m)，
∴|MN|= =
= .
若 ，即m>3时，则当y0=﹣1时，|MN|有最大值为m+1，
若0 ，即0
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.
【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，
f′(x)=﹣ ，
①a<﹣ 时，0<﹣ <1，
令f′(x)<0，解得：x>1或0
∴f(x)在 递减，在 递增;
②﹣
∴f(x)在 递减，在 递增;
③ ，f′(x)=﹣ ≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;
④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：0
∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;
(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣ 时，符合题意，
a<﹣ 时，
f(x)在(0，﹣ )递减，在 递增，不合题意，
故a≥﹣ .
高三数学(文)上册期中试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1、设集合A={x| }，B={y|y=x2}，则A∩B=( )
A.[﹣2，2] B.[0，2] C.[2，+∞) D.{(﹣2，4)，(2，4)}
2、已知条件p：关于 的不等式 有解;条件q：指数函数 为减函数，则p成立是q成立的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充 要条件 D.既不充分也不必要条件
3、在△ 中， 为 边的中点，若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
4、已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列, 则 ( )
A. B. C. D.
5、若函数 ， ， ，又 ， ，且 的最小值为 ，则 的值 为( )
A. B. C. D.2
6、指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在R上的单调性为( )
A.单调递增 B.单调递减
C.在 上递增，在 上递减 D .在 上递减，在 上递增
7、已知 中， ， ，D为边BC的中点，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8、数列 是等差数列，若 ，且它的前n项和 有最大值，那么当 取得最小正值时，n等于( )
A.17 B.16 C.15 D.14
9、在 △ABC中，若 (tanB+tanC)=tanBtanC﹣1，则cos2A=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
10、函数 的单调增区间与值域相同，则实数 的取值为( )
A. B. C. D.
11、已知函数 ，其中 .若对于任意的 ，都有 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12、
，则O是三角形的( )
A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、正项等比数列 中的 是函数 的极值点，则 .
14、已知：正数x，y满足3x+4y=xy 则3x+y的最小值是 .
15、正方体 的棱长为3，点P是CD上一点，且 ，过点 三点的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线BC上，则PQ= .
16、已知函数 则关于 的不等式 的解集为 。
三、解答题：解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(本小题10分)设 、 ， ， 。若“对于一切实数 ， ”是“对于一切实数 ， ”的充分条件，求实数 的取值范围。
18、(本小题12分)
已知数列 满足 ，且 ，
(I)求证：数列 是等比数列;
(II)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
19、(本小题12分)设 的 所对边分别为 ,满足 且 的面积 .
(1)求 ;
(2)设 内一点 满足 ，求 的大小.
20、(本小题12分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)若函数在 处的切线过(0,1)点，求k的值;
(2)当k∈(12，1]时，试问，函数f(x)在[0，k]是否存在极大值或极小值，说明理由.
21、(本小题12分)已知椭圆 ( )的离心率为 ，且短轴长为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)若与两坐标轴都不垂直的直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，且 ， ，求 直线 的方程.
22、(本小题12分)已知函数 满足满足 ;
(1)求 的解析式及单调区间;
(2)若 ，求 的最大值.
高三年级数学试卷(文)答案
时间： 120分钟 满分：150分 命题人：牟欣 校对人：佟国荣
一.选择题：CBADB BCCDB DA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) 6 (14) 27 (15) (16)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题10分)
解：如果对于一切实数 ， ，那么 …………2分
解得 即 的取值范围为 …………3分
如果对于一切实数 ， ，那么有 。……5分
得 ，即 的取值范围为 。 …………6分
因为对于对一切实数 ， 是“对于一切实数 ， ”的充分条件，
所以 且 ， …………8分
则有 。即 的取值范围是 。 …………10分
18. (本小题12分)(1)证明：
所以数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列;……………………… ….6分
(Ⅱ )解：由(1)知， ，由 得 ，即 ，…………9分设 ，所以数列 为减数列， ， ……………… …………. 12分
(19)(本小题12分)
(Ⅰ)由余弦定理得 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，因为 所以 ，
因为 ，所以 ; ………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 所以 ，所以
设 ，因为 ，所以
因为 ，所以
因为在 中 所以 ，
因为在 中 所以 ，
即 ，所以 ，即 ，即
因为 ，所以 …………12分
20. 解：(I) f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k)，………………1分
，………………2分
设切线方程为 ，把 代入得 ，………………4分
(II)令f′(x)=0，得x1=0，x2=ln(2k).
令g(k)=ln(2k)-k，k∈(12，1]，………………5分
则g′(k)=1k-1=1-kk≥0，
所以g(k)在(12，1]上单调递增.………………7分
所以g(k)≤g(1)=ln2-1=ln2-lne <0.
从而ln(2k)
所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)<0;f(x)单调递减;
当x∈(ln(2k)，+∞)时，f′(x)>0.f(x)单调递增，………………10分
所以函数f(x)在[0，k]存在极小值，无极大值。………………12分
21.(1)短轴长 ， …………………………1分
又 ，所以 ，所以椭圆的方程为 …………………………4分
(2)设直线 的方程为 ，
，消去 得，
，…………………………6分
即 即 …………………………8分
即 …………………………10分
，解得 ，所以 …
22. 解：(1)
令 得：
得： (3分)
在 上单调递增
得： 的解析式为
且单调递增区间为 ，单调递减区间为 ( 6分)
(2) 得
①当 时， 在 上单调递增
时， 与 矛盾
②当 时，
③当 时，
得：当 时，
令 ;则 当 时，
当 时， 的最大值为 ( 12分)
高三数学文期中试卷阅读
参考公式：锥体的体积公式: ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高.
第Ⅰ卷(共75分)
一、选择题：本大题共1 5小题，每小题5 分，共75分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1.设集合 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
2.若复数 的实部为 ，且 ，则复数 的虚部是( )
A. B. C. D.
3.若函数 ， 则 ( )
A. B. C. D.
4.已知 则 ， 的夹角是( )
A. B. C. D.
5.若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为( )
A. B. C. D.
6. 在等比数列 中， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的 是( )
A. B. C. D.
8.已知命题 对于 恒有 成立;命题 奇函数 的图像必过原点，则下列结论正确的是( )
A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为假
9.已知函数 与 ，它们的图像有个交点的横坐标为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
10.若偶函数 在 上单调递减， ，则 满足( )
A. B. C. D.
11.将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为
A. B. C. D.
12.在平行四边形ABCD中， ，点 分别在 边上，且 ，则 =( )
A. B. C. D.
13. 已知 , 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若 , ,则 B.若 , ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则
14.点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周， 两点连线的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图，那么点 所走的图形是( )
15. 已知函数 ，若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题，共75分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
16.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________
17.在平面直角坐标系中，角 终边过点 ,
则 的值为. ________________.
18.设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 = .
19.已知正数 ， 满足 ,则 的最小值为____________.
20.给出下列命题：
①“若 ，则 有实根”的逆否命题为真命题;
②命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是 ;
③ 命题“ ，使得 ”的否定是真命题;
④命题p：函数 为偶函数;命题q：函数 在 上为增函数，则 为真命题
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题(本大题包括4小题，共75分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤) .
21. (本小题满分12分)
已知
(Ⅰ)求 的最小值及此时 的取值集合;
(Ⅱ)将 的图象向右平移 个单位后所得图象关于 轴对称，求 的最小值.
22. (本小题满分12分)
在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ， .
(Ⅰ)求 与 ;
(Ⅱ)设数列 满足 ，求 的前 项和 .
23. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥1 0)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?
(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= )
24. (本小题满分14分)
设
(Ⅰ)求 的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论 与 的大小关系;
(Ⅲ)求 的取值范围，使得 < 对任意 >0成立.
文科数学(答案)
一、 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C D C B D A B C D B B C A C D
二、 填空题
16. 17. 18. 1 9. 20. ①③
三、解答题
21. (Ⅰ)
∴ 的最小值为-2，此时 ， ，
∴ 的取值集 合为：
(Ⅱ) 图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为
其为偶函数，那么图象关于直线 对称，故： ，
∴ ，所以正数 的最小值为
22. 解：(Ⅰ)设 的公差为 ，
因为 所以
解得 或 (舍)， .
故 ， .
(Ⅱ)因为 ，
所以 .
故 .
23. 解：设楼 房每平方米的平均综合费为f(x)元，则
令 得
当 时， ;当 时，
因此 当 时，f(x)取最小值 ;
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.
24.解(Ⅰ)由题设知 ，
∴ 令 0得 =1，
当 ∈(0，1)时， <0，故(0，1)是 的单调减区间。
当 ∈(1，+∞)时， >0，故(1，+∞)是 的单调递 增区间，因此， =1是 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为
(II)
设 ，则 ，
当 时， 即 ，
当 时 ，
因此， 在 内单调递减，
当 时，
即
当
(III)由(I)知 的最小值为1，所以，
，对任意 ，成立
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