高三数学理科上学期期中试题
对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥，今天小编就给大家分享一下高三数学，仅供参考哦
高三数学上学期期中试题理科
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ,则 是 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3.下列命题中正确的是( )
A.若 ,则
B.若 为真命题,则 也为真命题
C.“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
D.命题“若 ,则 ”的否命题为真命题
4.公比不为1的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 ，则 = ( )
A. B. C. D.
5.若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( ).
A.k=9? B.k≤8? C.k<8? D.k>8?
6.函数 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ( ) ( ).
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
7. 如图，在正方体 中，点 是上底面 内一动点，则三棱锥 的正视图与侧视图的面积之比为( )
A. : B. :
C. : D. :
8.在平行四边形 中， 60°， 为 的中点，若 ，则 的长为( )
A. B. C. D.
9.若任取 ，则点 满足 的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知 是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线 绕原点逆时针旋转 °到 交单位圆于点 ，则 的最大值为( )
A. B.1 C. D.
11.函数y=x33x-1的图象大致是 ( )
12.函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.将 名教师， 名学生分成 个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由 名
教师和 名学生组成，不同的安排方案共有__________种.
14.数列 的前 项和为 ，若 则 =____________.
15.如果存在实数 使不等式 成立，则实数的取值范围是__________.
16.已知函数 ，给出下列五个说法：
① . ②若 ，则 .③ 在区间 上单调递增. ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象.
⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线 的极坐标方程为
(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程.
(Ⅱ)直线 ( 为参数)与曲线 交于 两点，于 轴交于点E，求 .
18.(本小题满分12分)
已知函数 .设 时 取到最大值.
(Ⅰ)求 的最大值及 的值;
(Ⅱ)在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 ，试判断三角形的形状.
19.(本小题满分12分)某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该同学被淘汰的概率;
(Ⅱ)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ， 是 的中点。
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)若二面角 的余弦值为 ，求直线 与 平面 所成角的正弦值。
21.(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点分别为 ，椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)线段 是椭圆过点 的弦，且 ，求 面积最大时实数 的值.
22.(本小题满分12分)设 , .
(Ⅰ)当 时,求曲线 在 处的切线的方程;(Ⅱ)如果存在 ,使得 成立,求满足上述条件的最大整数 ;
(Ⅲ)如果对任意的 ,都有 成立,求实数 的取值范围.
参考答案
1-----5 DADAD 6-----10 CACAB 11-----12 CA
13. 12 14. 127 15. 16.①,④
17.【答案】(1) (2)
18.【答案】
又 ，则 ，故当
即 时， 6分
(2)由(1)知 ，由 即 ，
又 ，
则 即 ，
故
又 所以三角形为等边三角形. 12分
19.【答案】(Ⅰ)记“该同学能正确回答第 轮的问题”的事件为 ，
则 ， ， ，………………3分
∴该同学被淘汰的概率
.……………………6分
(Ⅱ) 的可能值为1,2,3， ，
， .………………8分
∴ 的分布列为
1 2 3
P
……………………10分
∴ ……………………12分
20【答案】.
解：(Ⅰ) 平面ABCD， 平面ABCD， ，
， ，
，
又 ， 平面PBC，
∵ 平面EAC， 平面 平面PBC ……………6分
(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，-1，0)。
设P(0，0，a)(a>0)，则E( ， ， )，
， ， ，
取 =(1，-1，0)……………8分
则 ， m为面PAC的法向量
设 为面EAC的法向量，则 ，
即 ，取 ， ， ，则 ，
依题意， ，则 。于是
设直线PA与平面EAC所成角为 ，则 ，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 。……………12分
21.【答案】(1) ，又
…………4分
(2)显然直线 不与 轴重合
当直线 与 轴垂直时，| |=3， ， ;………5分
当直线 不与 轴垂直时，设直线 ： 代入椭圆C的标准方程，
整理，得
……………7分
令
所以 由上，得
所以当直线 与 轴垂直时 最大，且最大面积为3 ……………10分
所以， ………………12分
22【答案】(1)当 时, , ,
, , 所以曲线 在 处的切线方程为 ; 2分
(2)存在 ,使得 成立 等价于: , 考察 , ,
递减 极小值 递增
由上表可知: ,
,
所以满足条件的最大整数 ; 7分
(3)当 时, 恒成立等价于 恒成立,
∴f(x)的最大值是0, 最小值是 .………………12分
关于高三数学上学期期中试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.
1.在复平面内，复数 对应的点位于 ( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.已知集合 ， ，则 ( )
A.{x|10
3.已知sin2α=- ，α∈(- ，0)，则sinα+cosα=( )
A.- B. C.- D.
4.设f(x)是定义在R上的奇函数，当 时，f(x)=x (e为自然对数的底数)，则 的值为 ( )
A.ln6+6 B. ln6-6 C. -ln6+6 D.-ln6-6
5.已知向量 ， ，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.执行右图所示的程序框图，会输出一列数，则这
个数列的第3项是 ( )
A.870
B.30
C.6
D.3
7.函数 的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数f(x)在 上的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
A.2 B.
C. D.3
9. 已知数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ， ，则 ( )
A.1 B. C. D.
10.如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数 的图像大致为( )
11.已知函数 若 互不相等，且 ，则 的取值范围是( )
A.(1，2014) B.(1，2015) C.(2，2015) D.[2，2015]
12. 已知定义的R上的函数 满足 且在 上是增函数，不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(共90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.
13.已知 ，则 的值为
14. 图中阴影部分的面积等于 .
15.设正实数x、y、z满足 ，则当 取得最大值时， 的最大值为
16.设 是定义在R上的偶函数，且对于 恒有 ，已知当 时， 则
(1) 的周期是2; (2) 在(1，2)上递减，在(2，3)上递增;
(3) 的最大值是1，最小值是0;(4)当 时，
其中正确的命题的序号是 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
设函数
(1)求 的最大值，并写出使 取最大值时x的集合;
(2)已知 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ，求a的最小值.
18.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ， = ，记数列 的前 项和 .若对 ，
恒成立，求实数 的取值范围.
19.(本小题满分12分)
如图，在斜三棱柱 中， 是 的中点， ⊥平面 ， ， .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
20.(本小题满分12分)
设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率.
21. (本小题满分12分)
已知函数 ， ， 是常数.
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程;
(2)若函数 图象上的点都在第一象限，试求常数 的取值范围;
(3)证明： ，存在 ，使 .
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分.
22.(本小题满分10分)
选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆上的 ，过C点的圆的切
线与BA的延长线交于E点.
(Ⅰ)求证：∠ACE=∠BCD;
(Ⅱ)若BE=9，CD=1，求BC的长.
23.(本小题满分10分)
选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l： (t为参数)恒经过椭圆C： (为参数)的右焦点F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值.
24. (本小题满分10分)
已知函数
(1)求不等式 的解集;
(2)若关于x的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围.
高三理科数学参考答案
的最大值为 ………………………………………4分
要使 取最大值，
故 的集合为 ………6分
(2)由题意， ，即
化简得 ……………………………………………………8分
， ，只有 ， ………9分
在 中，由余弦定理， ………10分
由 知 ，即 ，………………………………11分
当 时， 取最小值 …………………………………12分
18.解： (1)当 时， ，当 时，
即： ， 数列 为以2为公比的等比数列
(2)由bn=log2an得bn=log22n=n，则cn= = = - ，
Tn=1- + - +…+ - =1- = .
∵ ≤k(n+4)，∴k≥ = .
∵n+ +5≥2 +5=9，当且仅当n= ，即n=2时等号成立，
∴ ≤ ，因此k≥ ，故实数k的取值范围为
19.(Ⅰ)因为 ⊥平面 ，所以 .又 ，
所以 平面 ，所以 .
因为 ，所以四边形 是菱形，所以 .
所以 平面 ，所以 . ……………………5分
(Ⅱ)以 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， .
， ，
设 是面 的一个法向量，则 ，
即 ，令 ，取 .
同理面 的一个法向量为 . ……………………10分
因为 .
所以二面角 的余弦值 . …………………………12分
20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0).
由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2. 又b2=a2-c2，则c2a2=12，
所以椭圆的离心率e=22. 4分
(2)由(1)知a2=2c2，b2=c2. 故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.
设P(x0，y0).由F1(-c，0)，B(0，c)，有F1P→=(x0+c，y0)，F1B→=(c，c).
由已知，有F1P→•F1B→=0，即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0，故有x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上， 所以x202c2+y20c2=1.②
由①和②可得3x20+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点，故x0=-43c.代入①得y0=c3，
即点P的坐标为-4c3，c3.
设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c，进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.由l与圆相切，可得|kx1-y1|k2+1=r，即k-2c3-2c3k2+1=53c，整理得k2-8k+1=0，解得k=4±15，
所以直线l的斜率为4+15或4-15.
21解：(1)函数的定义域为 ,
，
函数 的图象在点 处的切线为 ，
即 …………………………4分
(2)① 时， ，因为 ，所以点 在第一象限，依题意，
② 时，由对数函数性质知， 时， ， ，从而“ ， ”不成立
③ 时，由 得 ，设 ，
-
↘ 极小值 ↗
，从而 ，
综上所述，常数 的取值范围 …………………………8分
(3)计算知
设函数
，
当 或 时，
，
因为 的图象是一条连续不断的曲线，所以存在 ，使 ，即 ，使 ;
当 时， 、 ，而且 、 之中至少一个为正，由均值不等式知， ，等号当且仅当 时成立，所以 有最小值 ，且
，
此时存在 ( 或 )，使
综上所述， ，存在 ，使 ………………12分
(22)解：(Ⅰ) .………………(2分)
又 为圆的切线， .……………(5分)
(Ⅱ) 为圆的切线，∴ ，
由(Ⅰ)可得 ，……………………………………(7分)
∴△ ∽△ ，∴ ，∴ =3.……………………(10分)
解：(Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程，得 ，
则点 的坐标为 .
直线 经过点 .…………………………………(4分)
(Ⅱ)将直线 的参数方程代入椭圆 的普通方程，并整理得：
.
设点 在直线参数方程中对应的参数分别为 ，则
= ………………(8分)
当 时， 取最大值 ;
当 时， 取最小值 ………………………(10分)
24. (Ⅰ)原不等式等价于
或 ----3分
关于高三数学上期中质量检测
1、已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2、函数 的值域为
A. B. C. D.
3、已知函数 为奇函数，且当 时， ，则
A.1 B.2 C. D.
4、函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是
A.0，32 B. (0,3) C.(0，+∞) D.(-∞，3)
5、已知函数 的图像与x轴恰有两个公共点，则
A. 或1 B. 或3 C. 或1 D. 或2
6、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是
A. B.
C. D.
7、在 中， ， ，则 的值为
A. B. C. D.
8、设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率是
A.4 B. C.2 D.
9、已知非零向量 则△ABC的形状是
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.三边均不相等的三角形
10、已知等比数列{ }中， 等差数列 中， ，则数列 的前9项和 等于
A. 9 B. 18 C. 36 D. 72
11、已知数列{ }的首项 ， ，则下列结论正确的是
A.数列{ }是等比数列 B.数列 是等比数列
C.数列{ }是等差数列 D.数列 是等差数列
12、若函数 没有零点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上)
13、幂函数 的图象经过点 ，则
14、一辆汽车在行驶中由于遇到紧急情况而刹车，以速度 ( 的单位： ， 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 .
15、已知正方形 的边长为2， 为 的中点，则
16、已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，
，若有穷数列 ( )的前 项和等于 ，则n =
高三数学(理)答题卷
一、将选择题答案填在下面表格中(每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(每小题5分，共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算过程。)
17、(本小题满分10分)在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边， 的面积是30， 。
(1)求 ; (2) 若 ，求 的值。
18、(本小题满分12分)已知向量
(1)当 时，求 的值;
(2)求 在 上的值域.
19、(本小题满分12分)已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 .
(1)求 及 ; (2)令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 .
20、(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
(1)求 的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
21、(本小题满分12分)设 ，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行。
(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性;
(2)证明：当
22、(本小题满分12分)已知函数 。
(1)若 ，求 的取值范围。
(2)证明：
高三数学(理)试卷答案
一、选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 B D C A D D D A A B B D
二. 填空题：
13、2; 14、4+25ln5 15、2; 16、5
三. 解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算过程)
17、(12分)
解：由 ，得 .又 ，∴ .
(1) .
(2) ，
∴ .
18、解(1) ，∴ ，∴
(5分)
(2)
∵ ，∴ ，∴
∴ ∴函数 (10分)
19、(Ⅰ)设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有 ，解得 ，所以 ; = = 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
20、(12分)解：(1)因为x=5时，y=11，所以
21.解：(Ⅰ) .有条件知，
，故 . ………2分
于是 .
故当 时， <0;
当 时， >0.
从而 在 ， 单调递减，在 单调递增. ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 在 单调增加，故 在 的最大值为 ，
最小值为 .
从而对任意 ， ，有 . ………10分
而当 时， .
从而 ………12分
22、(12分)(1)∵ ∴
∵ ∴
令 ，则 从而
∴ ∴
(2)由(1)知 即
当 时， ∴
当 时，
∴
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