上学期高三理科数学期中考试卷
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上学期高三理科数学期中联考试卷
一、 选择题(本大题共15 小题，每小题5 分，共75 分. )
1. 集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2.设 ，且 ，则向量 与向量 夹角为
A. B. C. D.
3.下列各式中错误的是
A. B. C. D.
4.若 ，则 的值为
A B C D
5.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 则 的值为
A. B. C. D.
6. 已知命题 对于 恒有 成立;命题 奇函数 的图像必过原点，则下列结论正确的是( )
A. 为真 B. 为真 C. 为假 D. 为真
7.函数 定义域为
A. B. C. D .
8.要得到函数 的 图像，只需将函数 的图像
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
9. 函数 的一个零点落在下列哪个区;间
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
10.函数 的图象大致是
C D
11.若圆 的半径为3，直径 上一点 使 ， 为另一直径的两个端点，则
A. B. C. D.
12.下列四个结论中正确的个数是
是 的充分不必要条件;
命题： 的否定是 ;
若 则 的逆命题为真命题;
若 是 上的奇函数，则
A. 0 B. 1 C. 2 D.3
13. 为奇函数，该函数的部分图象如图所示， 是边长为 的等边三角形，则 的值为
A. B. C. D.
14. 在 中， 分别是 的三等分点，且 若 ，则
A. B. C. D.
15. 已知函数 是定义在R上的可导函数， 为其导函数，若对于任意实数 ，都有 ，其中 为自然对数的底数，则( )
A B
C D 与 大小关系不确定
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
16. ,B= 且 ,则 的值是
17. 已知 ，则 的值为
18. 若曲线 的一条切线与直线 垂直，则该切线方程为
19.已知 ，则 = .
20. 计算定积分 ___________
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)
21..(本题满分12分)已知向量 ， ，函数 .
(1)求函数 的解析式;
(2)当 时，求 的单调递增区间;
22.(本题满分12分)已知函数 ，
(1)求 的最小值;
(2)若对所有 都有 ，求实数 的取值范围.
23.(本题满分12分)已知函数 ( 为常数且 )，函数 的图象关于直线 对称.
(I)求函数 的最小正周期;
(II)在 中，角A,B,C的对边分别为 ，若 ，求 面积的最 大值.
24.(本题满分14分)已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 的极值;
(Ⅱ)当 时，讨论 的单调性;
济南一中2014级高三阶段性测试
数学(理科)
2016.10
二、 选择题(本大题共1 5 小题，每小题5 分，共75 分. )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A B C D A D D D B B C A D C A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
16. -3 17. 18. 19. 20.
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)
21. 【解】(1)∵
∴
∴
(2)由 ，
解得 ，
∵取 和 且 ，得 和 ，
∴ 的单调递增区间为 和
法二：∵ ，∴ ，
∴由 和 ，
解得 和 ，
∴ 的单调递增区间为 和
22.解：(1) 的定义域为 ， 的导数 .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
从而 在 单调递减，在 单调递增.
所以，当 时， 取得最小值 .
(2)依题意 ，得 在 上恒成立，
即不等式 对于 恒成立 .
令 ， 则 .
当 时，因为 ，
故 是 上的增函数， 所以 的最小值是 ，
所以 的取值范围是 .
23.
24.【解】(Ⅰ)当 时， ，定义域为 ，
的导函数 .分
当 时， ， 在 上是减函数;
当 时， ， 在 上是增函数.分
∴当 时， 取得极小值为 ，无极大值.
(Ⅱ)当 时， 的定义域为 ， 的导函数为 .
由 得 ， ， .
(1)当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数;
(2)当 时， 在 上是减函数;
(3)当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，
在 上是减函数.
综上所述，
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数;
当 时， 在 上是减函数;
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当 时， 在 上是减函数.
∴ .
∵对于任意的 都有 ，
∴ 对任意 恒成立，
∴ 对任意 恒成立.
当 时， ，∴ .
∴实数 的取值范围为 .
高三数学(理)上期中试题
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
3.以下判断正确的是 ( )
.函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值 点的充要条件
.命题“ ”的否定是“ ”
C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件
D. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆命题为假命题
4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )
A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3
5.由曲线 ，直线 及坐标轴所围成图形的面积为
( )
A. B. C. D.
6.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 ( )
A. B. C. D.
7.我国古代数 学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )
A. B. C. D.
8.设 ，则 ( )
A. B. C. D.
9.已知函数 ，则 的图象大致为 ( )
A B C D
10.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的
图象重合，则 的值为 ( )
A¬. B. C. D.
11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ，则该椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
12.已知定义在R上的函数 满足： 且 ， ，则方程 在区间 上的所有实根之和为 ( )
A. B . C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分.
13.已知向量 .
14.已知 ，则 .
15.已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .
16.在 中，内角 的对边分别为 ,已知 , ，
则 面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点，且 ∥平面 .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的 上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 35 25
10
已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的利润，求 的分布列及数学期望 .
20.(本小题满分12分)
已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
(Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
(Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ?若存在，求 的值;若不存在，说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
高三数学试题参考答案(理科)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B C C A C A B D B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;
(Ⅱ)若 ，求 的最大值和最小值.
解：(Ⅰ) …4分
∴ 的最小正周期为 ， ……5分
令 ，则 ，
∴ 的对称中心为 ……6分
(Ⅱ)∵ ∴ ......8分
∴ ∴ .......10分
∴当 时， 的最小值为 ;当 时， 的最大值为 ……12分
18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上
的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点， 且 ∥平面 .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.
解：(Ⅰ)连接 交 于 ，连接 .
∵ ∥平面 ， 面 ，面 面
∴ ∥ ……………2分
又∵ 为 的中点，
∴ 为 中点∴ 为 中点 ……………4分
∴ ∴ ……………5分
(Ⅱ)∵在直三棱柱 中，
∴ ……………6分
以 为坐标原点，以 , 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。
由(Ⅰ)知 为 中点
∴点 坐标分别为
， ， ，
设平面 的法向量
∵ 且
∴ 取 ∴ ……………8 分
同理：平面 的法向量 ……………10分
设二面角 平面角为
则 ， ∴ ……………12分
19.(本小题满分12分)
随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示.
付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期
频数 35 25
10
已知分3期付款的频率为0.15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;分2期或3期付款，其利润为1500元;分4期或5 期付款，其利润为2000元，以频率作为概率.
(Ⅰ)求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率;
(Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的 利润，求 的分布列及数学期望 .
解：(Ⅰ)由 ，得 因为 所以 ………3分
………6分
(Ⅱ)设分期付款的分期数为 ，则
…8分
的所有可能取值为1000，1500，2000.
………10分
所以 的分布列为
1000 1500 2000
P 0.35 0.4 0.25
………12分
20.(本小题满分12分)
已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过点 作 轴的垂线交 于点
(Ⅰ)证明：抛物线 在点 的切线与 平行;
(Ⅱ)是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ，若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)解法一：设 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 点的坐标为 . ………………………2分
∵ ∴ ，
即抛物线在点 处的切线的斜率为 . ………………………4分
∵直线 : 的的斜率为 ，∴ . ……………………6分
解法二：设 ， ，把 代入 得 ，
得 .
∵ ， 点的坐标为 . …… ………………2分
设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，
将 代入上式得 ， ………………………4分
直线 与抛物线 相切， ， ， 即 . …………………6分
(Ⅱ)假设存在实数 ，存在实数 使 为直径的圆 经过点 .
是 的中点， .
由(Ⅰ)知
轴， . …………………8分
∵
. ……………………10分
，∴ ，
故，存在实数 使 为直径的圆 经过点 . ………………12分
21.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当 时，求 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ)设两个极值点分别为 ，证明: .
解：(Ⅰ)当 时， ;
函数 的定义域为 ，
当 时， ;当 时， .
所以， 在 上单调递减;在 上单调递增. ………………4分
(Ⅱ) (ⅰ)依题意，函数 的定义域为 ，
所以方程 在 有两个不同根.
即，方程 在 有两个不同根.
(解法一)转化为，函数 与函数
的图像在 上有两个不同交点，如图.
可见，若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ，
只须 . ………………6分
令切点 ，所以 ，又 ，所以 ，
解得， ，于是 ，
所以 . ………………8分
(解法二)令 ，从而转化为函数 有两个不同零点，
而 ( )
若 ，可见 在 上恒成立，所以 在 单调增，
此时 不可能有两个不同零点. ………………5分
若 ，在 时， ，在 时， ，
所以 在 上单调增，在 上单调减，
从而 ………………6分
又因为在 时， ，在在 时， ，于是只须：
，即 ，所以 . ………………7分
综上所述， ………………8分
(ⅱ)由(i)可知 分别是方程 的两个根，
即 ， ，
不妨设 ，作差得， ，即 .
原不等式 等价于
令 ，则 ， ………………10分
设 ， ，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，
即不等式 成立，
故所证不等式 成立. ………………12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值.
解：(1)由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 .....3分
由 得，曲线 的直角坐标方程为 ....5分
(2)设 ，则点 到曲线 的距离为
...........8分
当 时， 有最小值0，所以 的最小值为0 .............10分
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
解：(Ⅰ)因为 ，
所以 等价于 ，
由 有解，得 ，且其解集为 .
又 的解集为 ，故 ............5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，又 ， ∴ ≥ =9.
(或展开运用基本不等式)
关于高三上学期数学期中试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 ，集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
(2)设 ，则“ ”是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)函数 ，则
(A) (B) (C) (D)
(4)函数 的一个零点所在的区间是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知函数 ，若 ，则
(A) (B) (C) (D)
(6)已知 ， ，则 的值为
(A) (B) (C) (D)
(7)函数 是定义在 上的偶函数，在 单调递增.若
，则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(8)设角 的终边过点 ，则
(A) (B) (C) (D)
(9)已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(10)将函数 的图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为
(A) (B) (C) (D)
(11)函数 ， 是 的导函数，则 的图象大致是
(A) (B) (C) (D)
(12)设 是函数 的导函数， ，若对任意的 ，
，则 的解集为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(13)曲线 与直线 在第一象限所围成的封闭图形的面积为 .
(14)已知 ，则 .
(15)已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 .
(16)对于函数 ，有下列5个结论：
① ， ，都有 ;
②函数 在 上单调递减;
③ ，对一切 恒成立;
④函数 有3个零点;
⑤若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ， ，则 .
则其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
已知函数 在 处有极值 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的单调区间.
(18)(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期;
(Ⅱ)判断函数 在 上的单调性.
(19)(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)若 ，求 的取值范围;
(Ⅱ)求 的最值及取得最值时对应的 的值.
(20)(本小题满分12分)
命题 函数 是减函数，命题 ，使 ，若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求 的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
已知函数 满足下列条件：
①周期 ;②图象向右平移 个单位长度后对应函数为偶函数;③ .
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ)设 ， ， ，求 的值.
(22)(本小题满分12分)
已知函数 ， .
(Ⅰ)求函数 在区间 上的最大值;
(Ⅱ)设 在 内恰有两个极值点，求实数 的取值范围;
(Ⅲ)设 ，方程 在区间 有解，求实数 的取值范围.
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B C C C A B C A B
二、填空题
(13) ; (14) ; (15) ; (16)①③⑤.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)
由题意 ;…………4分
(Ⅱ)函数定义域为 …………6分
令 ， 单增区间为 ;…8分
令 ， 单减区间为 …10分
18.【解析】(Ⅰ)由题意知
…………4分
的最小正周期 …………6分
(Ⅱ) ， 时，
，…………8分
当 时，即 时， 单调递减;…………10分
当 时，即 时， 单调递增…………12分
19. 【解析】(Ⅰ) 在 单调递增，
， ，所以 …………4分
(Ⅱ)
令 ，则由(Ⅰ)知：
所以 …………8分
对称轴为 ，所以 ，此时 ……10分
，此时 …………12分
20.【解析】若命题 为真，则 ，
…………2分
所以若命题 为假，则 或 …………3分
若命题 为真，则 …………5分
所以若命题 为假， …………6分
由题意知： 两个命题一真一假，即 真 假或 假 真…………8分
所以 或 …………10分
所以 或 …………12分
21.【解析】(Ⅰ) 的周期 ， …………1分
将 的图象向右平移 个单位长度后得
由题意 的图象关于 轴对称，
即
又 …………4分
…………5分
…………6分
(Ⅱ)由 ，
…………8分
…………10分
…12分
22.【解析】(Ⅰ) ，由 ，可知 在 内单调递增， …………2分
，故 单调递增. …………3分
在 上的最大值为 .…………4分
(Ⅱ) ，
，
由题意知： 在 有两个变号零点，
即 在 有两个变号零点 ..…………6分
令 ， ，
令 ，且 时， ， 单调递增;
时， ， 单调递减，..…………10分
又 ， ..…………8分
(III)
(ⅰ) 时, 不成立;
(ⅱ) 时, ，
设 ，
， 在 在上为单调递减;
当 时， 时
…………12分
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