高三数学理科上学期期中题
学好数学刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，今天小编就给大家分享一下高三数学，一起来阅读哦
高三数学理科上学期期中试卷
一、选择题：每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ， 表示实数集，则下列选项错误的是(***)
A. B. C. D.
2.设复数 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 ，则 等于(***)
A.4i B.﹣4i C.2 D.﹣2
3.设P、M、N是单位圆上不相同的三点，且满足 ，则 的最小值是(***)A. B. C. D.﹣1
4.某地一天 时的温度变化曲线近似满足函数 ，则这段曲线的函数解析式可以为(***)
A.
B.
C.
D.
5.函数 的图象大致是(***)
A. B.
C. D.
6.命题： ;命题 ，则下列命题中的假命题为(***)
A. B. C. D.
7.设 满足 ，若函数 的最大值为 ，则 的值为(***)
A. B. C. D.
8.若 ( )的图像在 上恰有3个最高点，则 的范围为(***)
A. B. C. D.
9.图1所示，一棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 ， ，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是(***)
A. B. C. D.
10.已知棱长为 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为(***)
A. B. C. D.
11.已知函数 与 的图象有三个不同的公共点,其中 为自然对数的底数,则实数 的取值范围为(***)
A. B. C. D. 或
12.记 为 中的最小值，设 为任意正实数，则 的最大值为(***)
A. B. 2 C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示，在边长为1的正方形 中任取一点 ，
则点 恰好取自阴影部分的概率为 .
14.向量 满足： ， ， 在 上的投影为4， ，则 的最大值为 .
15.数列 且 ,若 为数列 的前 项和,则 .
16.已知函数 满足 ，函数 ，若曲线 与 图象的交点分别为 、 、…、 ，则 (结果用含有 的式子表示).
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (12分)已知等差数列 的公差为 ，且关于 的不等式 的解集为 ，
(Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)若 ，求数列 前 项和 .
18. (12分)如图，在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 ， 边上的中线 的
长为 ，求 的面积.
19. (10分)已知函数 .
(Ⅰ)解不等式： ;
(Ⅱ)设函数 的最小值为c，实数a，b满足 ，
求证： .
20. (12分)四棱锥 的底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为正三角形.
(Ⅰ)点 为棱 上一点，若 平面 ， ，求实数 的值;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
21. (12分)已知圆 和圆 .
(Ⅰ)若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程;
(Ⅱ)设平面上的点 满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标。
22. (12分)已知函数 在点 处的切线方程为： .
(Ⅰ)若 ，证明： ;
(Ⅱ)若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： .
高三理科数学答案
一、选择题：
1-12 CDBAD DACAC BD
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. 解：(1)由题意，得 解得 ┄┄┄┄┄┄4分
故数列 的通项公式为 ，即 .┄┄┄┄┄┄6分
(2)据(1)求解知 ，所以 ，┄┄┄┄┄┄8分
所以
┄┄┄┄┄┄12分
18解析：由 .
正弦定理，可得
即
可得：
则 …………………(6分)
(2)由(1)可知 .
则 .
设 ，则 ，
在 中利用余弦定理：可得.
即 ，可得 ，
故得 的面积 .…………………(12分)
19.解：①当 时，不等式可化为 ， .
又∵ ，∴ ∅;
②当 时，不等式可化为 ， .
又∵ ，∴ .
③当 时，不等式可化为 ， .
又∵ ，∴ .
综上所得， .
∴原不等式的解集为 .…………………(5分)
(Ⅱ)证明：由绝对值不等式性质得， ，
∴ ，即 .
令 ， ，则 ， ， ， ，
，
原不等式得证.…………………(10分)
20. 解析：(1)因为 平面SDM， 平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，
所以 ，因为 ,所以四边形BCDM为平行四边形，
又 ,所以M为AB的三等分点.因为 ， . 4分
(2)因为 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ，
在平面 内过点 作 直线 于点 ，
则 平面 ， 在 和 中，
因为 ，所以 ，
又由题知 ，所以
所以 ， 6分
以下建系求解.
以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，所以 ，令 得 为平面 的一个法向量，
同理得 为平面 的一个法向量， 9分
， 10分 因为二面角 为钝角，11分
所以二面角 余弦值为 . 12分
21. 解：(1)设直线 的方程为： ，即
由垂径定理，得：圆心 到直线 的距离 ，
点到直线距离公式，得：
求直线 的方程为： 或 ，
即 或 4分
(2) 设点P坐标为 ，直线 、 的方程分别为：
，即：
因为直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，两圆半径相等。由
垂径定理，得：：圆心 到直线 与 直线 的距离相等。
故有： ，
化简得：
关于 的方程有无穷多解，有： ,或
解之得：点P坐标为 或 。 12分
22. 解：(Ⅰ)由题意 ，所以 ，
又 ，所以 ，源
若 ，则 ，与 矛盾，故 ， . 3分
可知 ， ，
由 ，可得 ，
令 ， ，
当 时， ，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，即 故 . 6分
(Ⅱ)设 在(-1，0)处的切线方程为 ，
易得， ，令
即 ， ，
当 时，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ， ，
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递减，故 ，故 ，
设 在(0,0)处的切线方程为 ，易得 ，
由(Ⅱ)得 ，
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递增，故 ，故 ，
又 ， . 12分
高三数学上学期期中联考试卷阅读
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把集合A解出来，然后求A∪B即可.
【详解】因为集合合 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题.
2.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
A. -10 B. -2 C. 2 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.
【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行： ，
第二次运行：
第三次运行：
第四次运行：
此时 ，推出循环，输出输出 .
故选C.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.
3.设平面向量 ， ， ， ，则实数 的值等于( )
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值.
【详解】向量 ， ，，
∴
=
故选A.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题.
4.已知 ，则下列不等关系中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指函数的单调性得出结论.
【详解】A. ，显然不成立;
B. 错误，因为函数 在 上为增函数，由 ，可得 ;
同理C. ，因为函数 在 上为增函数，由 ，可得 ;
D. ，正确，因为函数 在 上为减函数，由 ，可得 ;
故选D.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.
5.“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
观察两条件的互推性即可求解.
【详解】由“ ”可得到“ ”，但“ ”不一定得到“ ”，
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故応A.
6.已知函数 ，若 ( )，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可知 由 可得
根据基本不等式可求 的取值范围.
【详解】 若 由 ，则 与 矛盾;同理 也可导出矛盾，故 而
即
故选B
【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.
7.已知函数 当 时，方程 的根的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数 的图像，由图像可得结论.
【详解】画出函数 的图像，
有图可知方程 的根的个数为3个.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题.
8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ， ， ， ，…，称 为第1组， 为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中( )
A. 第404组 B. 第405组 C. 第808组 D. 第809组
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.
【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为 则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组
选A.
【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题(每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上)
9.已知 ， ，则 _________， __________.
【答案】 (1). (2). --
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.
【详解】由题 ， ，则
即答案为(1). (2).
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.
10.已知 ， 满足 则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5.
【详解】 作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A(1，1)，B(-2，-2)，C(4，-2)
设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值= 3
故答案为：3
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.
11.已知函数 满足下列条件：
①定义域为 ;
②函数 在 上单调递增;
③函数 的导函数 有且只有一个零点，
写出函数 的一个表达式__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件，直接推出结果即可.
【详解】①定义域为 ;
②函数 在 上单调递增;
③函数 的导函数 有且只有一个零点，
满足条件一个函数可以为： .或 +2等等.
故答案为： .(答案不唯一)
【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力.
12.如图，在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 的中点，连接 ， ，交于点 ，若 (， )，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例解答即可.
【详解】 根据平行线分线段成比例可得 而
故
即答案为 .
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.
13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度 (单位：米)是时刻( ，单位：小时)的函数，记作 .下面是该港口某日水深的数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
经长期观察，曲线 可近似地看成函数 ( ， )的图象，根据以上数据，函数 的近似表达式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A;最大值与最小值和的一半为h;通过周期求出ω，得到函数解析式.
【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，
由 ，得ω= ，所以函数 的近似表达式
即答案为
【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.
14.从标有数字， ，， ( ，且， ，， )的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果;将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个;试写出满足条件的所有组， ，， __________.
【答案】 (1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【解析】
【分析】
由 ，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果;将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得
4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组， ，， .
【详解】由 ，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果;将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得
4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.
即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【点睛】本题考查归纳推理，属难题.
三、解答题 (本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.设 ( )是各项均为正数的等比数列，且 ， .
(I)求 的通项公式;
(II)若 ，求 .
【答案】(I) ， .
(II)
【解析】
【分析】
(I)设 为首项为 ，公比为 ( )，则依题意，
，解得 ， ，即可得到 的通项公式;
(II)因为 ，利用分组求和法即可得到 .
【详解】(I)设 为首项为 ，公比为 ( )，则依题意，
，解得 ， ，
所以 的通项公式为 ， .
(II)因为 ，
所以
【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.
16.已知函数 .
(I)求 的最小正周期及单调递增区间;
(II)若对任意 ， ( 为实数)恒成立，求 的最小值.
【答案】(I)最小正周期为 ,单调递增区间为 ， .
(II) 的最小值为2
【解析】
【分析】
(I)根据二倍角公式及辅助角公式求得f(x)的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f(x)的最小正周期及其单调递增区间;
II)由 .可得 .由此可求 的最小值.
【详解】(I)由已知可得
.
所以最小正周期为 .
令 ， .
所以 ，
所以 ，即单调递增区间为 ， .
(II)因为 .
所以 ，
则 ，
所以 ，
当 ，即 时， .
因为 恒成立，所以 ，所以 的最小值为2
【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题.
17.在 中，角 ， ， 的对边分别为， ，， ， ， .
(I)求;
(II)求 的面积.
【答案】证明见解析
(II)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用同角三角函数基本关系式求得 .，利用正弦定理可求;;
(II)在 中，由 知 为钝角，所以 .利用 ，可求 求 的面积.
【详解】证明：(I)因为 ，即 ，
又 ， 为钝角，所以 .
由 ，即 ，解得 .
(II)在 中，由 知 为钝角，所以 .
，
所以
所以
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键.
18.已知函数 ( )
(I)当 时，求 在区间 上的最大值和最小值;
(II)求证：“ ”的“函数 有唯一零点”的充分而不必要条件.
【答案】(I) ; .
(II)“ ”是“ 有唯一零点”的充分不必要条件
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明.
【详解】(I) ，
当 时， ，
当 在 内变化时， ， 的变化如下表：
-1 0 1 2
+ 0 - 0 +
-4 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0 ↗ 5
当 时， ; .
(II)若 ， .
当 变化时， ， 的变化如下表：
0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
，因为 ，所以 .即 .
且 ，所以 有唯一零点.
所以“ ”是“ 有唯一零点”的充分条件.
又 时，当 变化时， ， 的变化如下表：
0
- 0 + 0 -
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
又 ， ， .
所以此时 也有唯一零点.
从而“ ”是“ 有唯一零点”的充分不必要条件
【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题.
19.已知函数 ( ).
(I)求曲线 在点 处的切线方程;
(II)试判断函数 的单调性并证明;
(III)若函数 在 处取得极大值，记函数 的极小值为 ，试求 的最大值.
【答案】(I) .
(II)函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(III)函数 的最大值为 .
【解析】
【分析】
函数 的定义域为 ，且 .
(I)易知 ， ，代入点斜式即可得到曲线 在点 处的切线方程;
(II)令 ，得 ， ，分类讨论可得函数 的单调性，
(III)由(II)可知，要使 是函数 的极大值点，需满足 .
此时，函数 的极小值为 .，利用导数可求 的最大值.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 .
(I)易知 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
即 .
(II)令 ，得 ，
①当 时， .
当 变化时， ， 变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时， 恒成立.
所以函数 在 上单调递增.
③当 时， .
当 变化时， ， 变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(III)由(II)可知，要使 是函数 的极大值点，需满足 .
此时，函数 的极小值为 .
所以 .
令 得 .
当变化时， ， 变化情况如下表：
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
所以函数 的最大值为 .
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.
20.设 ， 为正整数，一个正整数数列 ， ，…， 满足 ，对 ，定义集合 ，数列 ， ，…， 中的 ( )是集合 中元素的个数.
(I)若数列 ， ，…， 为5,3,3,2,1,1，写出数列 ， ，…， ;
(II)若 ， ， ， ，…， 为公比为 的等比数列，求 ;
(III)对 ，定义集合 ，令 是集合 中元素的个数.求证：对 ，均有 .
【答案】(I)数列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)
(III) ，
【解析】
【分析】
(I)根据数列 ， ，…， 数列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由题知 ，由于数列 ， ，…， 是 项的等比数列，
因此数列 ， ，…， 为 ， ，…，2，利用反证法证明 ;
(III)对 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的个数，首先证明 .再证对 ， 即可.
【详解】(I)解：数列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由题知 ，由于数列 ， ，…， 是 项的等比数列，
因此数列 ， ，…， 为 ， ，…，2
下面证明
假设数列 中有 个 ， 个 ，…， 个2， 个1，显然
所以 .
由题意可得 ， ，
，…， ，…， .
所以
故
即
(III)对 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的个数
由已知得 ， ，…， 一共有 项，每一项都大于等于1，故 ，由于
故
由于 ，故当 时，
即 .
接下来证明对 ，
，则 ，即1,2，…， ，从而
故 ，
从而1,2，…， ，故 ，从而 ，故有
设 ，即 ，根据集合 的定义，有 .
由 知，1,2，…， ，由 的定义可得 ，
而由 ，故
因此，对 ，
【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用.属难题.
理科高三数学上学期期中试题
第I卷 共60分
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合 A={x|x2-3x+2≥0}，B={x|2x<4}，则 A∪B= ( **** )
A. R B. ∅ C. {x|x≤1} D. {x|x>2}
2.若复数 ( )是纯虚数,则复数 在复平面内对应的点在( **** )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知命题 ：“ ，都有 成立”，则命题 为(**** )
A. ，有 成立 B. ，有 成立
C. ，有 成立 D. ，有 成立
4.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2) …(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)，n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是(**** )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C.2k+1k+1 D.2k+3k+1
5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(****)
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
6. 设 ，则 的大小关系为(**** )
A. B. C. D.
7.记不等式组 解集为 ,若 ,则实数 的最小值是( **** )
A.0 B.1 C.2 D.4
8.如图，在平面四边形 中， ， ， ， . 若点 为边 上的动点，则 的最小值为(**** )
A. B. C. D.
9.已知函数 (其中 为自然对数的底数)，则 的大致图象大致为( **** )
A. B. C. D
10.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为(**** )
11.已知函数 若方程 在 上有且只有
四个实数根，则实数 的取值范围为( **** )
A. B. C. D.
12.已知关于 的方程 有唯一实数解，则实数 的值为(****)
A. B. C. 或 D. 或
第Ⅱ卷 共90分
二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.
13.已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 __****__.
14.已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值为7，
则 的最小值为__****__.
15.甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有 ( )五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大;乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.
16.在数列 中，若存在一个确定的正整数T，对任意 满足 ，则称 是周期数列，T叫做它的周期.已知数列 满足 ， ，若数列 的周期为3，则 的前100项的和为 **** .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图，在 中, , ,点 在边 上, , , 为垂足.
(Ⅰ)若 的面积为 ,求 的长;
(Ⅱ)若 ,求 的大小.
18.(本小题满分12分)
已知数列 的前 和为 ，若 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若 ，求数列 的前 项和 .
19.(本小题满分12分)
在直角坐标系 中，曲线 ,曲线 为参数)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程;
(Ⅱ)已知射线 与曲线 分别交于点 (异于原点 )，当 时，
求 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数 ( ).
(Ⅰ)当 时，解不等式 ;
(Ⅱ)若 ，求 的取值范围.
21. (本小题满分12分)
函数 ，在一个周期内的图象如图所示, 为图象的最高点, 、 为图象与 轴的交点,且 为正三角形.
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ)将 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的 倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位得到函数 ，若设 图象在 轴右侧第一个最高点为 ，试问 图象上是否存在点 ，使得 ，若存在请求出满足条件的点 的个数，若不存在，说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，讨论 的极值情况;
(Ⅱ)若 ，求 的值.
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答
数学 (理科)
一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA
二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.
13. , 14. 7 15. 16.67
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由已知得 ， 又 ， 得 ……………3分
在 中，由余弦定理得
，
所以 的长为 ……………6分
(Ⅱ)因为 ……………8分
在 中，由正弦定理得 ，又 , ……………10分
得 ，……………11分 解得 ,所以 即为所求. ……………12分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ) ， .………………………………1分
当 时， ，得 .………………………………2分
当 时， ，
，………………………………3分
，即 ，
.………………………………4分
数列 是等差数列，且首项为 ，公差为2，………………………………5分
.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，
，——①………………………………7分
，——②………………………………8分
①–②得 ………………………………9分
，………………………………10分
化简得 .…………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)因为 ，所以曲线 的普通方程为： ，由 ，得曲线 的极坐标方程 ，
对于曲线 , ,则曲线 的极坐标方程为
(2)由(1)得 , ，
因为 ，则
20.(本小题满分12分)
解：(1)f(x)=2|x-1|+|x-2|=-3x+4，x<1，x，1≤x≤2，3x-4，x>2.
所以，f(x)在(-∞,1]上递减，在[1，+∞)上递增，
又f(0)=f( 8 3)=4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 8 3}. ....................................6分
(2)
①若a>1，f(x)=(a-1)|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1，
当且仅当x=1时，取等号，故只需a-1≥1，得a≥2. .................................7分
②若a=1，f(x)=2|x-1|，f(1)=0<1，不合题意. ...................…9分
③若0
当且仅当x=a时，取等号，故只需a(1-a)≥1，这与0
综上所述， a的取值范围是[2，+∞). …...................12分
21. (本小题满分12分)
由已知得: ………2分
∵ 为图象的最高点， ∴ 的纵坐标为 ,又∵ 为正三角形，所以 …………3分
∴ 可得 , 即 得 …………4分,
∴ …………5分,
(Ⅱ)由题意可得 , …………7分
法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点 是存在的，而且有两个………8分
注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.
法二：由 得 ，即 ，
即 ，由此作出函数 及 图象，由图象可知满足条件的 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)
法三：由 得 ，即 ，即 ，问题转化为研讨函数 零点个数。∵ ， ，当 时， 恒成立，从而说明函数 在 中是单调递增函数………10分，
又 ， ，故存在 ，使得 从而函数 在区间 单调递减，
在区间 单调递增………11分 又 ， ， ，由零点存在定理得:
函数 在区间 和区间 上各有一个零点…12分
22.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ) 1分
. 因为 ，由 得， 或 .
①当 时， ， 单调递增，故 无极值.2分
②当 时， . , , 的关系如下表：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故 有极大值 ，极小值 .4分
③当 时， . , , 的关系如下表：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故 有极大值 ，极小值 .5分
综上：当 时， 有极大值 ，极小值 ;
当 时， 无极值;
当 时， 有极大值 ，极小值 .6分
(Ⅱ)令 ，则 .
(i)当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减，
所以 ，此时 ，不满足题意.8分
(ii)由于 与 有相同的单调性，因此，由(Ⅰ)知：
①当 时， 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ;当 时， .
故当 时，恒有 ，满足题意.9分
②当 时， 在 单调递减，
所以当 时， ，
此时 ，不满足题意.10分
③当 时， 在 单调递减，
所以当 时， ，
此时 ，不满足题意. 11分 综上所述： . 12分
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