数学高三年级期末考试试卷
学习好数学是有很多的技巧的，所以大家要多做题看出技巧，小编今天下面就给大家整理高三数学，希望大家好好参考哦
数学高三年级期末考试卷
参考公式：1.柱体的体积公式： ，其中 是柱体的底面面积， 是高.
2.圆锥的侧面积公式： ，其中 是圆锥底面的周长， 是母线长.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.已知集合 ， ，则 ▲ .
2.已知复数 ( 为虚数单位)，则 的模为 ▲ .
3.函数 的定义域为 ▲ .
4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出 的值为 ▲ .
5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人.
6.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ .
7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ .
8.已知正四棱柱的底面边长为 ，侧面的对角线长是 ，则这个正四棱柱的体积是 ▲ .
9.若函数 的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别是 ， ， ，则实数 的值为 ▲ .
10.在平面直角坐标系 中，曲线 上任意一点 到直线 的距离的最小值为 ▲ .
11.已知等差数列 满足 ， ，则 的值为 ▲ .
12.在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 ，且点 关于直线 的对称点 在圆 上，则 的取值范围是 ▲ .
13.已知函数 函数 ，则不等式 的解集为 ▲ .
14.如图，在 中，已知 ， 为边 的中点.若 ，垂足为 ，则EB·EC的值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 , .
⑴求 的值;
⑵若 ，求 的面积.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
求证：⑴ ;
⑵ .
17.(本小题满分14分)
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2.已知圆O的半径为10 cm，设∠BAO=θ， ，圆锥的侧面积为S cm2.
⑴求S关于θ的函数关系式;
⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.
18.(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 分别交椭圆于 两点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵若 ，求 的值;
⑶设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知函数 .
⑴当 时，求函数 的极值;
⑵若存在与函数 ， 的图象都相切的直线，求实数 的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知数列 ，其前 项和为 ，满足 ， ，其中 ， ， ， .
⑴若 ， ， ( )，求证：数列 是等比数列;
⑵若数列 是等比数列，求 ， 的值;
⑶若 ，且 ，求证：数列 是等差数列.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图， 是圆 的直径，弦 , 的延长线相交于点 ， 垂直 的延长线于点 .
求证：
B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 ， ，若矩阵 ，求矩阵 的逆矩阵 .
C.[选修4 4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线 ( 为参数)与圆 的位置关系.
D.[选修4 5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知 都是正实数，且 ，求证: .
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在正三棱柱 中，已知 ， ， ， ， 分别是 ， 和 的中点.以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .
⑴求异面直线 与 所成角的余弦值;
⑵求二面角 的余弦值.
23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知平行于 轴的动直线 交抛物线 于点 ，点 为 的焦点.圆心不在 轴上的圆 与直线 ， ， 轴都相切，设 的轨迹为曲线 .
⑴求曲线 的方程;
⑵若直线 与曲线 相切于点 ，过 且垂直于 的直线为 ，直线 ， 分别与 轴相交于点 ， .当线段 的长度最小时，求 的值.
数学参考答案与评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1. 2. 3. 4. 5.750 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(1)在 中，由 ，得 为锐角，所以 ，
所以 ，………………………………………………………………2分
所以 . ………………………………4分
…………………………………………………………6分
(2)在三角形 中,由 ，
所以 ， ………………………………………………8分
由 ，…………………………10分
由正弦定理 ,得 ，………………………12分
所以 的面积 . …………………………14分
16.(1)证明：取 的中点 ，连结
因为 分别是 的中点，
所以 且
在直三棱柱 中， ， ，
又因为 是 的中点，
所以 且 . …………………………………………2分
所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ………………………………………………………………4分
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………………………………………………6分
(2)证明：因为三棱柱 为直三棱柱，所以 面 ，
又因为 面 ，
所以面 面 ， …………………8分
又因为 ，所以 ，
面 面 ， ，
所以 面 ， ………………………10分
又因为 面 ，
所以 ，即 ，
连结 ，因为在平行四边形 中， ，
所以 ，
又因为 ，且 ， 面 ，
所以 面 ，……………………………………………………………………12分
而 面 ，
所以 .……………………………………………………………………………14分
17.(1)设 交 于点 ，过 作 ，垂足为 ，
在 中， ， ，
…………………………………………………………2分
在 中， ，
…………………………………………………………4分
所以
， ……………………6分
(2)要使侧面积最大，由(1)得：
…………8分
设
则 ，由 得：
当 时， ，当 时，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 在 时取得极大值，也是最大值;
所以当 时，侧面积 取得最大值， …………………………11分
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积 取得最大值时，等腰三角形的腰 的长度为 .…………14分
18.(1)设椭圆方程为 ，由题意知： ……………2分
解之得： ，所以椭圆方程为： ……………………………4分
(2)若 ，由椭圆对称性，知 ，所以 ，
此时直线 方程为 ， ……………………………………………6分
由 ，得 ，解得 ( 舍去)，…………8分
故 .…………………………………………………………………10分
(3)设 ，则 ，
直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得
，
因为 是该方程的一个解，所以 点的横坐标 ，…………………12分
又 在直线 上，所以 ，
同理， 点坐标为 ， ， ……………………………………………14分
所以 ，
即存在 ，使得 . ………………………………………………………16分
19.(1)函数 的定义域为
当 时， ，
所以 ………………………………………………2分
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值为 ，无极大值;…………………4分
(2)设函数 上点 与函数 上点 处切线相同，
则
所以 ……………………………………6分
所以 ，代入 得：
………………………………………………8分
设 ，则
不妨设 则当 时， ，当 时，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，……………10分
代入 可得：
设 ，则 对 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，又
所以当 时 ，即当 时 , ……………12分
又当 时
……………………………………14分
因此当 时，函数 必有零点;即当 时，必存在 使得 成立;
即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同.
又由 得：
所以 单调递减，因此
所以实数 的取值范围是 .…………………………………………………16分
20.(1)证明：若 ，则当 ( ),
所以 ，
即 ，
所以 ， ……………………………………………………………2分
又由 ， ，
得 ， ，即 ，
所以 ，
故数列 是等比数列.……………………………………………………………4分
(2)若 是等比数列，设其公比为 ( )，
当 时， ，即 ，得
， ①
当 时， ，即 ，得
， ②
当 时， ，即 ，得
， ③
②① ，得 ，
③② ，得 ，
解得 .
代入①式，得 .…………………………………………………………………8分
此时 ( )，
所以 ， 是公比为1的等比数列，
故 . ……………………………………………………………………10分
(3)证明：若 ，由 ，得 ，
又 ，解得 .…………………………………………………12分
由 ， ， ， ，代入 得 ，
所以 ， ， 成等差数列，
由 ，得 ，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
， ……………………………………14分
因为 ，所以 ，
即数列 是等差数列.………………………………………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21.A.证明：连接 ，因为 为圆的直径，所以 ，
又 ，则 四点共圆，
所以 . …………………………………………………………5分
又△ ∽△ ，
所以 ，即 ，
∴ . …………10分
B.因为 ， ………………………………………5分
所以 . ………………………………………………………10分
C.把直线方程 化为普通方程为 . ……………………………3分
将圆 化为普通方程为 ，
即 . ………………………………………………………………6分
圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相切.…………………………………………………………………10分
D.证明：因为
， …………………………………………5分
又 ，
所以 .…………………………………………10分
22.(1)因为 ，则 ，
所以 ， ， ………………………………………2分
记直线 和 所成角为 ，
则 ，
所以直线 和 所成角的余弦值为 . ………………………………………4分
(2)设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
则 ，取 得： ……………………………6分
设平面 的一个法向量为 ，
因为 ， ，
则 ，取 得： ………………………8分
根据图形可知二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ; ……………………………………10分
23.(1)因为抛物线 的方程为 ，所以 的坐标为 ，
设 ，因为圆 与 轴、直线 都相切， 平行于 轴，
所以圆 的半径为 ，点 ，
则直线 的方程为 ，即 ，………………………2分
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 的方程为 ………………………………………………4分
(2)设 ， ， ，
由(1)知，点 处的切线 的斜率存在，由对称性不妨设 ，
由 ，所以 ， ，
所以 ， ， ……………………………………………………6分
所以 .……………………………………8分
令 ， ，
则 ，
由 得 ，由 得 ，
所以 在区间 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得极小值也是最小值，即 取得最小值
此时 .……………………………………………………………10分
高三年级数学期末考试试题
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1. 已知集合A={1，3，5}，B={3，4}，则集合A∩B= W.
2. 复数z=1+2ii(i为虚数单位)的虚部是 W.
3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 W.
4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 W.
5. 已知3sin(α-π)=cos α，则tan(π-α)的值是 W.
6. 如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出n的值为 W.
7. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-3，1)，则该双曲线的离心率为 W.
8. 曲线y=x+2ex在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 W.
9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 W.
10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为 W.
11. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S5S10=13，则S5S20+S10= W.
12. 设函数f(x)=-x2+2x，x≥0，-2x，x<0，若方程f(x)-kx=3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是 W.
13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM+DN=MN，则AM→•AN→的最小值是 W.
14. 设函数f(x)=2x-ax2，若对任意x1∈(-∞，0)，总存在x2∈[2，+∞)，使得f(x2)≤f(x1)，则实数a的取值范围是 W.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：
(1) 平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2) C1F∥平面ABE.
16. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bccos A=2c-3a.
(1) 求角B的大小;
(2) 设函数f(x)=cos x•sin(x+π3-34)，求f(A)的最大值.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为12的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆E的标准方程;
(2) 过点A且斜率为32的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.
18. (本小题满分16分)
如图，长途车站P与地铁站O的距离为 5千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角θ满足tan θ=12(其中0<θ<π2)，现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点.
(1) 已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离;
(2) 考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和22n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置.
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax3+bx2-4a(a，b∈R).
(1) 当a=b=1时，求f(x)的单调增区间;
(2) 当a≠0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求ba的值;
(3) 当a=0时，若f(x)
20. (本小题满分16分)
定义：对于任意n∈N*，xn+xn+2-xn+1仍为数列{xn}中的项，则称数列{xn}为“回归数列”.
(1) 已知an=2n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“回归数列”，并说明理由;
(2) 若数列{bn}为“回归数列”，b3=3，b9=9，且对于任意n∈N*，均有bn
①求数列{bn}的通项公式;
②求所有的正整数s，t，使得等式b2s+3s+1-1b2s+3s-1=bt成立.
2019届高三模拟考试试卷(四)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵M=m723的逆矩阵M-1= n-7-2 m，求实数m，n的值.
B. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，圆C的方程是ρ=4cos θ.在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x=22t+m，y=22t(t为参数).若直线l与圆C相切，求实数m的值.
C. (选修45：不等式选讲)
设a，b，c都是正数，求证：a2b+c+b2c+a+c2a+b≥12(a+b+c).
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.
(1) 求概率P(ξ=2);
(2) 求ξ的分布列和数学期望.
23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA=AD，PA与平面PBC所成角的正弦值为217.
(1) 求侧棱PA的长;
(2) 设点E为AB中点，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.
2019届高三模拟考试试卷(苏州)
数学参考答案及评分标准
1. {3} 2. -1 3. 25 4. 536 5. 13 6. 3 7. 10 8. 23 9. 23 10. (x-5)2+(y-2)2=17 11. 118 12. (-2，2-23) 13. 82-8 14. [0，1]
15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.
因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)
因为AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，
所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分)
(2) 取AB中点G，连结EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG=12AC.(8分)
因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，
所以FG∥EC1，且FG=EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，(11分)
所以C1F∥EG.
因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.(14分)
16. 解：(1) 在△ABC中，因为2bcos A=2c-3a，
由正弦定理asin A=bsin B=csin C，
所以2sin Bcos A=2sinC-3sin A.(2分)
在△ABC中，sin C=sin(A+B)，
所以2sin Bcos A=2sin(A+B)-3sin A，
即2sin Bcos A=2sin Acos B+2cos AsinB-3sin A，
所以3sin A=2cos Bsin A，(4分)
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B=32.
又B∈(0，π)，所以B=π6.(6分)
(2) f(x)=cos x•(sin x•cos π3+cos x•sin π3)-34(8分)
=12sin x•cos x+32cos2x-34
=14sin 2x+34(cos 2x+1)-34=12sin(2x+π3)，(10分)
所以f(A)=12sin(2A+π3).
在△ABC中，B=π6，且A+B+C=π，所以A∈(0，5π6)，(12分)
所以2A+π3∈(π3，2π)，所以当2A+π3=π2，即A=π12时，f(A)的最大值为12.(14分)
17. 解：(1) 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距为c，
因为椭圆的离心率为12，所以ca=12，即a=2c.
因为A到右准线的距离为6，所以a+a2c=3a=6，(2分)
解得a=2，c=1，(4分)
所以b2=a2-c2=3，所以椭圆E的标准方程为x24+y23=1.(6分)
(2) 直线AB的方程为y=32(x+2)，
由y=32(x+2)，x24+y23=1，得x2+3x+2=0，解得x=-2或x=-1，
则点B的坐标为(-1，32).(9分)
由题意，得右焦点F(1，0)，所以直线BF的方程为y=-34(x-1).(11分)
由y=-34(x-1)，x24+y23=1，得7x2-6x-13=0，解得x=-1或x=137，(13分)
所以点M坐标为(137，-914).(14分)
18. 解：(1) 以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，
因为0<θ<π2，tan θ=12，所以OP：y=12x.
设P(2t，t)，由OP=5，得t=1，所以P(2，1).(2分)
(解法1)由题意得2m•PA=m•PB，所以BP=2PA，所以点B的纵坐标为3.
因为点B在直线y=x上，所以B(3，3)，(4分)
所以AB=32PB=352.
(解法2)由题意得2m•PA=m•PB，所以BP→=2PA→.
设A(a，0)(a>0)，又点B在射线y=x(x>0)上，所以可设B(b，b)(b>0)，
由BP→=2PA→，得2-b=2(a-2)，1-b=-2，所以a=32，b=3，(4分)
所以A(32，0)，B(3，3)，AB=(3-32)2+32=352.
答：点A，B之间的距离为352千米.(6分)
(2) (解法1)设总造价为S，则S=n•OA+22n•OB=(OA+22OB)•n，
设y=OA+22OB，要使S最小，只要y最小.
当AB⊥x轴时，A(2，0)，这时OA=2，OB=22，
所以y=OA+22OB=2+8=10.(8分)
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-2)+1(k≠0).
令y=0，得点A的横坐标为2-1k，所以OA=2-1k;
令x=y，得点B的横坐标为2k-1k-1.(10分)
因为2-1k>0，且2k-1k-1>0，所以k<0或k>1，
此时y=OA+22OB=2-1k+4(2k-1)k-1，
y′=1k2+-4(k-1)2=-(k+1)(3k-1)k2(k-1)2.(12分)
当k<0时，y在(-∞，-1)上递减，在(-1，0)上递增，
所以ymin=y|k=-1=9<10，此时A(3，0)，B(32，32);(14分)
当k>1时，y=2-1k+8(k-1)+4k-1=10+4k-1-1k=10+3k+1k(k-1)>10.
综上，要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点322千米处.(16分)
(解法2)如图，作PM∥OA交OB于点M，交y轴于点Q，作PN∥OB交OA于点N，因为P(2，1)，所以OQ=1.
因为∠BOQ=45°，所以QM=1，OM=2，
所以PM=1，PN=OM=2.
由PM∥OA，PN∥OB，得2OB=PAAB，1OA=PBAB，(8分)
所以2OB+1OA=PAAB+PBAB=1.(10分)
设总造价为S，则S=n•OA+22n•OB=(OA+22OB)•n，
设y=OA+22OB，要使S最小，只要y最小.
y=OA+22OB=(OA+22OB)(2OB+1OA)=5+2(OAOB+2OBOA)≥9，(14分)
当且仅当OA=2OB时取等号，此时OA=3，OB=322.
答：要使OA，OB段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点322千米处.(16分)
19. 解：(1) 当a=b=1时，f(x)=x3+x2-4，f′(x)=3x2+2x.(2分)
令f′(x)>0，解得x>0或x<-23，
所以f(x)的单调增区间是(-∞，-23)和(0，+∞).(4分)
(2) (解法1)f′(x)=3ax2+2bx，令f′(x)=0，得x=0或x=-2b3a.(6分)
因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)=0或f(-2b3a)=0.
当f(0)=0时，得a=0，不合题意，舍去;(8分)
当f(-2b3a)=0时，代入得a(-2b3a)3+b(-2b3a)2-4a=0，
即-827(ba)3+49(ba)3-4=0，所以ba=3.(10分)
(解法2)由于a≠0，所以f(0)≠0，
由f(x)=0，得ba=4-x3x2=4x2-x(x≠0).(6分)
设h(x)=4x2-x，h′(x)=-8x3-1，令h′(x)=0，得x=-2.
当x∈(-∞，-2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减;当x∈(-2，0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增;
当x∈(0，+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
当x>0时，h(x)的值域为R，
故不论ba取何值，方程ba=4-x3x2=4x2-x有且仅有一个根;(8分)
当x<0时，h(x)min=h(-2)=3，
所以ba=3时，方程ba=4-x3x2=4x2-x恰有一个根-2，
此时函数f(x)=a(x+2)2(x-1)恰有两个零点-2和1.(10分)
(3) 当a=0时，因为f(x)
设g(x)=ln x-bx2，则g′(x)=1x-2bx=1-2bx2x(x>0).
当b≤0时，因为g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上递增，且g(1)=-b≥0，
所以在(1，+∞)上，g(x)=ln x-bx2≥0，不合题意;(11分)
当b>0时，令g′(x)=1-2bx2x=0，得x=12b，
所以g(x)在(0，12b)上递增，在(12b，+∞)上递减，
所以g(x)max=g(12b)=ln12b-12.
要使g(x)>0有解，首先要满足ln12b-12>0，解得b<12e ①.(13分)
因为g(1)=-b<0，g(e12)=12-be>0，
要使f(x)
即ln 2-4b>0，ln 3-9b≤0，解得ln 39≤b
设h(x)=ln xx，则h′(x)=1-ln xx2.
当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)递增;当x∈(e，+∞)时，h′(x)<0，h(x)递减.
所以h(x)max=h(e)=1e>h(2)=ln 22，所以12e>ln 24.
由①②，得ln 39≤b
20. 解：(1) 假设数列{an}是“回归数列”，
则对任意n∈N*，总存在k∈N*，使an+an+2-an+1=ak成立，
即2n+4•2n-2•2n=2k，即3•2n=2k，(2分)
此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立，
所以数列{an}不是“回归数列”.(4分)
(2) ① 因为bn
所以bn+bn+2-bn+1>bn且bn+bn+2-bn+1=bn+2-(bn+1-bn)
又数列{bn}为“回归数列”，所以bn+bn+2-bn+1=bn+1，
即bn+bn+2=2bn+1，所以数列{bn}为等差数列.(6分)
因为b3=3，b9=9，所以bn=n(n∈N*).(8分)
②因为b2s+3s+1-1b2s+3s-1=bt，所以t=3s+1+s2-13s+s2-1 (*).
因为t-3=2(1-s2)3s+s2-1≤0，所以t≤3.
又t∈N*，所以t=1，2，3.(10分)
当t=1时，(*)式整理为3s=0，不成立.(11分)
当t=2时，(*)式整理为s2-13s=1.
设cn=n2-13n(n∈N*)，因为cn+1-cn=2n(1-n)+33n+1，
所以当n=1时，cn
所以(cn)max=c2=13<1，所以s无解.(14分)
当t=3时，(*)式整理为s2=1，因为s∈N*，所以s=1.
综上所述，使得等式成立的所有的正整数s，t的值是s=1，t=3.(16分)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 解：由MM-1=m723 n-7-2 m=mn-1402n-6-14+3m=1001，(4分)
所以mn-14=1，2n-6=0，-14+3m=1，(8分)
解得m=5，n=3.(10分)
B. 解：由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x，
即圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(3分)
又由x=22t+m，y=22t，消t，得x-y-m=0.(6分)
因为直线l与圆C相切，所以|2-m|2=2，所以m=2±22.(10分)
C. 证明：因为(a+b+c)(a2b+c+b2a+c+c2a+b)
=12[(a+b)+(b+c)+(c+a)](a2b+c+b2a+c+c2a+b)(4分)
≥12a+bc2a+b+b+ca2b+c+c+ab2c+a2=12(a+b+c)2，(8分)
所以a2b+c+b2a+c+c2a+b≥12(a+b+c).(10分)
22. 解：(1) 当ξ=2时，所取三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个，
所以P(ξ=2)=C34C35=410=25.(2分)
(2) ξ的可能取值为2，5，22.
P(ξ=2)=25;
P(ξ=5)=4C35=25;(4分)
P(ξ=22)=C12C35=15.(6分)
所以ξ的分布列为
ξ 2 5
22
P 25
25
15
(8分)
ξ的数学期望为E(ξ)=2×25+5×25+22×15=22+25+45.(10分)
23. 解：(1) 取AD中点O，BC中点M，连结OP，OM，
因为PA=AD，所以OP⊥AD.
因为平面PAD上平面ABCD，OP⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以OP⊥平面ABCD，
所以OP⊥OA，OP⊥OM.
又四边形ABCD是正方形，所以OA⊥OM.
以O为原点，OA，OM，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图，(1分)
则A(12，0，0)，D(-12，0，0)，B(12，1，0)，C(-12，1，0).
设P(0，0，c)(c>0)，则PB→=(12，1，-c)，CB→=(1，0，0).
设平面PBC的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，(3分)
则12x1+y1-cz1=0，x1=0，取z1=1，则y1=c，从而n1=(0，c，1).
设PA与平面PBC所成角为α，因为PA→=(12，0，-c)，
所以sin α=|cos 〈PA→，n1〉|=|PA→•n1||PA→|•|n1|=c14+c2•c2+1=217，
解得c2=34或c2=13，所以PA=1或PA=216.(5分)
(2) 由(1)知，PA≥AB=1，所以PA=1，c=32.
由(1)知，平面PBC的一个法向量为n1=(0，c，1)=(0，32，1).(6分)
设平面PCE的一个法向量为n2=(x，y，z)，而CE→=(1，-12，0)，PC→=(-12，1，-32)，
所以x-12y=0，-12x+y-32z=0，取x=1，则y=2，z=3，即n2=(1，2，3).(8分)
设二面角BPCE的平面角为β，
所以|cos β|=|cos〈n1，n2〉|=n1•n2|n1|•|n2|=2372×22=67=427.
根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE的余弦值为427.(10分)
关于高三数学文上册期末试卷
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)复数
A. B. C. D.
(2)在极坐标系中 ，方程 表示的圆为
(3)执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A.4
B.5
C.6
D.7
(4)设 是不为零的实数，则“ ”是“方程 表示
的曲线为双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(5)已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，则实数 的值为
A. B. C. 或 D. 或
(6)从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为
A. B. C. D.
(7)某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：
①三棱锥的体积为
②三棱锥的四个面全是直角三角形
③三棱锥的四个面的面积最大的是
所有正确的说法是
A. ①B. ①②C. ②③D. ①③
(8)已知点 为抛物线 的焦点，点 为点 关于原点的对称点，点 在抛物线 上，则下列说法错误的是
A.使得 为等腰三角形的点 有且仅有4个
B.使得 为直角三角形的点 有且仅有4个
C. 使得 的点 有且仅有4个
D. 使得 的点 有且仅有4个
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)点 到双曲线 的渐近线的距离是 .
(10)已知公差为1的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 的前100项和为 .
(11)设抛物线 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线 交于 两点，则 .
(12)已知 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则 .
(13)已知正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 在底面 内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为 .
(14)对任意实数 ，定义集合 .
①若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ;
②当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
如图，在 中，点 在 边上，且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.
(16)(本小题13分)
据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下(数值越小，速度越快，单位是MIPS)
测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12
品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14
品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21
(Ⅰ)从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率;
(Ⅱ)从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E(X);
(Ⅲ)经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
(17)(本小题14分)
如题1，梯形 中， 为 中点.将 沿 翻折到 的位置，如图2.
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)设 分别为 和 的中点，试比较三棱锥 和三棱锥 (图中未画出)的体积大小，并说明理由.
(18)(本小题13分)
已知椭圆 ，点
(Ⅰ)求椭圆 的短轴长和离心率;
(Ⅱ)过 的直线 与椭圆 相交于两点 ，设 的中点为 ，判断 与 的大小，并证明你的结论.
(19)(本小题14分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点处的切线方程;
(Ⅱ)当 时，求证：函数 有且仅有一个零点;
(Ⅲ)当 时，写出函数 的零点的个数.(只需写出结论)
(20)(本小题13分)
无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 ， 为前 项 ， ， ， 中等于 的项的个数.
(Ⅰ)若 ，请写出数列 的前7项;
(Ⅱ)求证：对于任意正整数 ，必存在 ，使得 ;
(Ⅲ)求证:“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件。
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1
数学(理科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A D B A D C D C
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)
(9) (10)5050 (11)2 (12)6 (13) (14)① ②
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15.(本小题13分)
解：(Ⅰ)如图所示， ，…………………….1分
故 ， ……………………….2分
设 ，则 ， .
在 中，由余弦定理
……………………….3分
即 ，……………………….4分
解得 ，即 .……………………….5分
(Ⅱ)方法一.在 中，由 ，得 ，故
……………………….6分
在 中，由正弦定理
……………………….7分
即 ，故 ，……………………….9分
由 ，得 ，……………………….11分
………………………13分
方法二. 在 中，由余弦定理
……………………….7分
由 ，故 ……………………….9分
故 ……………………….11分
故
………………………13分
16. (本小题13分)
(Ⅰ)从品牌 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：
测试1、2、5、6、9、10、11，共7次
设该测试结果打开速度小于7为事件 ，因此 ……………………….3分
(Ⅱ)12次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有：
测试1、3、4、5、7、8，共6次
随机变量 所有可能的取值为：0，1，2，3
……………………….7分
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
……………………….10分
(Ⅲ)本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论，1分;
结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.
…………………13分.
标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述(这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值;这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度)
标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述(这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差;这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动)
标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述(品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B)
标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述(品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B)
标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述(品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B)
标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述(品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B)
标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于(小于)品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于(小于)品牌B测试结果的次数进行阐述(前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B)
标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于(小于)品牌B测试结果的次数进行阐述(这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当)
参考数据
期望 前6次 后6次 12次
品牌A 5.50 9.83 7.67
品牌B 4.33 11.83 8.08
品牌A与品牌B 4.92 10.83
方差 前6次 后6次 12次
品牌A 12.30 27.37 23.15
品牌B 5.07 31.77 32.08
品牌A与品牌B 8.27 27.97
17. (本小题14分)
(Ⅰ)证明：因为 ， ， ， ， 平面
……………..1分
所以 平面 ……………..2分
因为 平面 ，所以平面 平面 ……………..3分
(Ⅱ)解：在平面 内作 ，
由 平面 ，建系如图. ……………..4分
则 ， ， ， ， .
， ， ……………..7分
设平面 的法向量为 ，则
，即 ，令 得， ，
所以 是平面 的一个方向量. ……………..9分
……………..10分
所以 与平面 所成角的正弦值为 . ……………..11分
(Ⅲ)解：三棱锥 和三棱锥 的体积相等.……………..12分
理由如:
方法一：由 ， ，知 ，则
因为 平面 ，所以 平面 . ……………..13分
故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
方法二：如图，取 中点 ，连接 ， ， .
因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以
因为在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，所以
因为 ， ， 平面 ， ， 平面
所以平面 平面
因为 平面 ，所以 平面 ……………..13分
故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
法二法三
方法三：如图，取 中点 ，连接 ， ， .
因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 且
因为在正方形 中， 是 的中点，所以 且
所以 且 ，故四边形 是平行四边形，故
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……………..13分
故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. ……………..14分
18. (本小题13分)
解：(Ⅰ) ： ，故 ， ， ，
有 ， . ……………..3分
椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .……………..5分
(Ⅱ)结论是： . ……………..6分
设直线 ： ， ，
，整理得： ……………..8分
故 ， ……………..10分
……………..12分
故 ，即点 在以 为直径的圆内，故 ……………..13分
19. (本小题14分)
(Ⅰ)因为函数
所以 ……………..2分
故 ， ……………..4分
曲线 在 处的切线方程为 ……………..5分
(Ⅱ)当 时，令 ，则
……………..6分
故 是 上的增函数. ……………..7分
由 ，故当 时， ，当 时， .
即当 时， ，当 时， .
故 在 单调递减，在 单调递增.……………..9分
函数 的最小值为 …………….10分
由 ，故 有且仅有一个零点. …………….12分
(Ⅲ)当 时， 有一个零点;当 且 时， 有两个零点.
……………..14分
20. (本小题13分)
解：(Ⅰ)2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分
(Ⅱ)假设存在正整数 ，使得对任意的 ， . 由题意，
考虑数列 的前 项：
， ， ，…，
其中至少有 项的取值相同，不妨设
此时有： ，矛盾.
故对于任意的正整数 ，必存在 ，使得 . ………….. 8分
(Ⅲ)充分性：
当 时，数列 为 ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，…
特别地， ，
故对任意的
(1)若 为偶数，则
(2)若 为奇数，则
综上， 恒成立，特别地，取 有当 时，恒有 成立
………….11分
必要性：
方法一:假设存在 ( )，使得“存在 ，当 时，恒有 成立”
则数列 的前 项为
后面的项顺次为
……
对任意的 ，总存在 ，使得 ， ，这与 矛盾，故若存在 ，当 时，恒有 成立，必有
………….. 13分
方法二：若存在 ，当 时， 恒成立，记 .
由第(2)问的结论可知：存在 ，使得 (由s的定义知 )
不妨设 是数列 中第一个大于等于 的项，即 均小于等于s.
则 .因为 ，所以 ，即 且 为正整数，所以 .
记 ，由数列 的定义可知，在 中恰有t项等于1.
假设 ，则可设 ，其中 ，
考虑这t个1的前一项，即 ，
因为它们均为不超过s的正整数，且 ，所以 中一定存在两项相等，
将其记为a，则数列 中相邻两项恰好为(a，1)的情况至少出现2次，但根据数列 的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾!
故假设 不成立，所以 ，即必要性得证!………….. 13分
综上，“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件.
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