上学期期末高三数学试卷试题
我们如果喜欢数学的话就要多多做一下题才可以，小编今天下面就给大家整理高三数学，希望大家可以来学习一下
高三数学上学期期末试卷带答案
参考公式：样本数据 的方差 ，其中 .
柱体的体积 ，其中 为柱体的底面积， 为高.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知集合 ，则 ________.
2.已知复数 满足 ( 是虚数单位)，则复数 ________.
3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为 ，
且这5个分数的平均数为 ，则实数 ________.
4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的 值为 ，
则输入的实数 的值为________.
5. 函数 的定义域为________.
6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.
7. 已知双曲线 的离心率为2，直线 经过双 的焦点，则双曲线 的渐近线方程为________.
8. 已知圆锥 ，过 的中点 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆
柱 ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 的体积与圆锥 的
体积的比值为________.
9. 已知正数 满足 ，则 的最小值为________.
10. 若直线 与曲线 ( 是自然对数的底数)相切，则实数
________.
11. 已知函数 是偶函数，点 是函数 图象
的对称中心，则 最小值为________.
12. 平面内不共线的三点 ，满足 ，点 为线段 的中点， 的平分线交线段 于 ，若| ，则 ________.
13. 过原点的直线 与圆 交于 两点，点 是该圆与 轴负半轴的交点，以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ，且直线 与直线 的斜率之积等于 ，那么直线 的方程为________.
14. 数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，已知数列 的前 项和为1，那么数列 的首项 ________.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点.
(1) 求证：CM∥平面AB1N;
(2) 求证：平面A1BN⊥平面AA1B1B.
(第15题)
16. (本小题满分14分)已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2-233bcsinA+c2=a2.
(1) 求角A的大小;
(2) 若tanBtanC=3，且a=2，求△ABC的周长.
17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2：y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且点63，63是椭圆C1，C2位于第一象限的交点.
(1) 求椭圆C1，C2的标准方程;
(2) 过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知PA→=35PB→，求直线l的斜率.
18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6 m，两根竖轴CH=DG=1.2 m，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.
(1) 若∠ABC=2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m，求景观窗格的外框总长度;
(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.
图(1) 图(2)
(第18题)
19. (本小题满分16分)已知在数列{an}中，a1=1，且an+1+3an+4=0，n∈N*.
(1) 求证：{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式;
(2) 数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列?若存在，求出满足条件的项;若不存在，请说明理由.
20. (本小题满分16分)已知函数m(x)=x2，函数n(x)=aln x+1(a∈R).
(1) 若a=2，求曲线y=n(x)在点(1，n(1))处的切线方程;
(2) 若函数f(x)=m(x)-n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围;
(3) 若函数g(x)=n(x)-1+ex-ex≥0对x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数，e=2.718 28…)
江苏省常州市2019届高三上学期期末考试
数学参考答案及评分标准
1. {1} 2. -i 3. 9.5 4. 3 5. (0，e] 6. 35
7. y=±3x 8. 38 9. 4 10. e2
11. π2 12. 23 13. y=±3x 14. 32
(第15题)
15. (1) 令AB1交A1B于点O，连接OM，ON，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1=CC1，且四边形AA1B1B是平行四边形，所以O为AB1的中点，又因为M为AB的中点，所以OM∥BB1，且OM=12BB1.因为N为CC1的中点，CN=12CC1，所以OM=CN，且OM∥CN，所以四边形CMON是平行四边形，(5分)
所以CM∥ON，又ON⊂平面AB1N，CM⊄平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.(7分)
(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以BB1⊥CM.(9分)
因为CA=CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB，又由(1)知CM∥ON，所以ON⊥AB，ON⊥BB1.又因为AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)
又ON⊂平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)
16. (1) 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，又b2-233bcsinA+c2=a2，
所以b2-2bccos A+c2=b2-233bcsinA+c2，即2bccos A=233bcsin A，(3分)
从而sinA=3cosA，若cosA=0，则sinA=0，与sin2A+cos2A=1矛盾，所以cos A≠0，
所以tanA=3.又A∈(0，π)，所以A=π3.(7分)
(2) tanB+tanC1-tanBtanC=tan(B+C)=tan(π-A)=tan2π3=-3.(9分)
又tanBtan C=3，所以tanB+tanC=-3×(-2)=23，解得tanB=tanC=3.(11分)
又B，C∈(0，π)，所以B=C=π3.又因为A=π3，所以△ABC是正三角形，
由a=2，得△ABC的周长为6.(14分)
17. (1) 椭圆C1：x2a2+y2b2=1的焦点坐标为(±c，0)，代入椭圆C2的方程有c2b2=1，
点P63，63的坐标代入椭圆C1，C2的方程有C1：23a2+23b2=1，
所以c2b2=1，a2=b2+c2，23a2+23b2=1，解得a2=2，b2=c2=1，(3分)
所以椭圆C1，C2的标准方程分别为x22+y2=1，y22+x2=1.(5分)
(2) 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)，
由y22+x2=1，y=kx+m，消去y，得(kx+m)22+x2=1，
即1+k22x2+kmx+m22-1=0，
Δ=k2m2-41+k22m22-1=0，
即k2+2-m2=0.(7分)
由x22+y2=1，y=kx+m，消去y，得x22+(kx+m)2=1，
即12+k2x2+2kmx+m2-1=0，
因为直线l与椭圆C1相交，有Δ=4k2m2-412+k2(m2-1)=4k2-12m2+12>0(*)，
x1，2=-2km±4k2-12m2+12212+k2.(9分)
因为PA→=35PB→，即(x1，y1-m)=35(x2，y2-m)，则5x1=3x2，所以5-2km+4k2-12m2+12212+k2=
3-2km-4k2-12m2+12212+k2或
5-2km-4k2-12m2+12212+k2=
3-2km+4k2-12m2+12212+k2化简得，km=
4k2-12m2+12或km=-4k2-12m2+12，
即k2m2=16k2-12m2+12.(12分)
又因为k2+2-m2=0，解得k2=2，m2=4或k2=4，m2=6，符合(*)式，所以直线l的斜率为±2或±2.(14分)
18. (1) 记CH与AF，BE的交点为M，N，
由∠ABC=2π3，得在△BCN中，∠CBN=π6，
其中CN=HM=12(1.2-0.6)=0.3 m，
所以BC=CNsin∠CBN=0.3sinπ6=35m，
BN=CNtan∠CBN=0.3tanπ6=3310m，(2分)
所以CD=BE-2BN=1.6-335=8-335，则
AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+ HA=2AB+2CD+4BC=1.2+16-635+125=34-635.(5分)
答：景观窗格的外框总长度为34-635 m.(6分)
(2) AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA=2AB+2CD+4BC≤5，
设∠CBN=α，α∈0，π2，BC=r，
则CN=rsinα，BN=rcosα，
所以AB=CH-2CN=1.2-2rsinα， CD=BE-2BN=1.6-2rcosα，
所以2(1.2-2rsinα)+2(1.6-2rcosα)+4r≤5，即4r(sinα+cosα-1)≥35.(8分)
设景观窗格的面积为S，有S=1.2×1.6-2r2sinα•cosα≤4825-9sinαcosα200(sinα+cosα-1)2当且仅当4r(sinα+
cosα-1)=35时取等号.(9分)
令t=sinα+cosα∈(1，2]，则sinαcosα=t2-12，
所以S≤4825-9t2-12200(t-1)2=4825-9400•1+2t-1，其中1+2t-1≥1+22-1当且仅当t=2，即α=π4时取等号，(12分)
所以S≤4825-94001+2t-1≤4825-9400•1+22-1=4825-9400(3+22)=741400-92200，
即S≤741400-92200当且仅当4r(sinα+cosα-1)=35
且α=π4时，取等号，
所以当且仅当r=3(2+1)20且α=π4时，S取到最大值.(15分)
答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC=3π4且BC=3(2+1)20 m.(16分)
19. (1) 由an+1+3an+4=0，得an+1+1=-3(an+1)，n∈N*，(2分)
其中a1=1，所以a1+1=2≠0，可得an+1≠0，n∈N*，(4分)
所以an+1+1an+1=-3，n∈N*，所以{an+1}是以2为首项，-3为公比的等比数列，(6分)
所以an+1=2(-3)n-1，
所以数列{an}的通项公式为an=2(-3)n-1，n∈N*.(8分)
(2) 若数列{an}中存在三项am，an，ak(m
分以下三种情形：
①am位于中间，则2am=an+ak，即2[2(-3)m-1-1]=2(-3)n-1-1+2 (-3)k-1-1，
所以2(-3)m=(-3)n+(-3)k，两边同时除以(-3)m，得2=(-3)n-m+(-3)k-m是3的倍数，舍去;
②an位于中间，则2an=am+ak，即2[2(-3)n-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)k-1-1，
所以2(-3)n=(-3)m+(-3)k，两边同时除以(-3)m，得2(-3)n-m=1+(-3)k-m，
即1=2(-3)n-m-(-3)k-m是3的倍数，舍去;
③ak位于中间，则2ak=am+an，即2[2(-3)k-1-1]=2(-3)m-1-1+2(-3)n-1-1，
所以2(-3)k=(-3)m+(-3)n，两边同时除以(-3)m，得2(-3)k-m=1+(-3)n-m，
1=2(-3)k-m-(-3)n-m是3的倍数，舍去.(15分)
综上可得，数列{an}中不存在三项满足题意.(16分)
20. (1) 当a=2时，n(x)=2ln x+1，所以n′(x)=2x，
所以n′(1)=2，又n(1)=1，
所以切线的方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.(3分)
(2) f(x)=x2-aln x-1，定义域为(0，+∞)，其图象是一条不间断的曲线，
f′(x)=2x-ax=2x2-ax.
①若a≤0，则f′(x)>0对x∈(0，+∞)恒成立，
所以y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(1)=0，
所以y=f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，符合题意.
②若a>0，令f′(x)=0，得x=a2或x=-a2(舍去).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0，a2
a2
a2，+∞
f′(x) - 0 +
f(x) ? 极小值 ?
1°.若a2>1，即a>2，此时a>a2，则fa2
令F1(a)=a2-aln a-1，a≥2，
则F1′(a)=2a-ln a-1，
令F2(a)=2a-ln a-1，则F2′(a)=2-1a>0对a∈[2，+∞)恒成立，
所以F2(a)=2a-ln a-1在[2，+∞)上单调递增，
所以F2(a)≥F2(2)=3-ln 2>0，
即F1′(a)>0对a∈[2，+∞)恒成立，
所以F1(a)=a2-aln a-1在[2，+∞)上单调递增，
所以F1(a)≥F1(2)=3-2ln 2>0，
即f(a)>0，又因为fa2<0，且函数f(x)在a2，+∞上单调递增，
所以函数f(x)在a2，+∞上有且只有一个零点，
因为函数f(x)在0，a2上单调递减，且有一个零点x=1，故函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，不符合题意，舍去.
2°.若a2=1，即a=2，
则函数f (x)在(0，1)上单调递减，所以f(x)>f(1)=0，
函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)=0，
故函数f(x)在(0，+∞)上有且只有一个零点，符合题意.
3°.若a2<1，即0
因为函数f(x)在a2，+∞上单调递增，
所以fa2
又fe-1a=e-2a>0，所以函数f(x)在(0，1)内必有零点，
又因为1是函数f(x)的零点，不符合题意，舍去.(9分)
综上，a≤0或a=2.(10分)
(3) 当x≥1时，g(x)=aln x+ex-ex.
令G(x)=ex-ex，x≥1，则G′(x)=ex-e≥0对x∈[1，+∞)恒成立，
所以函数y=G(x)在[1，+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)=0.
①若a≥0，则当x≥1时，ln x≥0，所以g(x)=aln x+ex-ex≥0恒成立，符合题意.(11分)
②若a<0，g′(x)=ax+ex-e，令H(x)=ax+ex-e，x≥1，则H′(x)=ex-ax2>0恒成立，
所以H(x)=ax+ex-e在[1，+∞)上单调递增，
且H(1)=a<0.
因为a<0，所以1-a>1，所以G(1-a)>G(1)=0，即e1-a>e(1-a).(12分)
所以H(1-a)=a1-a+e1-a-e>a1-a+e-ea-e=a1-a-ea=11-a+(1-a)-2-(e-1)a，
因为a<0，1-a>1，所以11-a+(1-a)>2，(e-1)a<0，
所以H(1-a)>0，因为H(x)=ax+ex-e在[1，+∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H(1)=a<0，所以存在唯一的x0∈(1，1-a)，使得H(x0)=0，即g′(x0)=0，
当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，所以函数y=g(x)在(1，x0)上单调递减，
此时g(x)
综上，a≥0.(16分)
高三上学期期末考试
数学附加题
21. 【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修42：矩阵与变换
已知点(1，2)在矩阵A=1x2y对应的变换作用下得到点(7，6).
(1) 求矩阵A;
(2) 求矩阵A的特征值及对应的特征向量.
B. 选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的参数方程为x=22t+1，y=12t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ=22sinθ+π4，求直线l被曲线C所截的弦长.
C. 选修45：不等式选讲
已知a>0，b>0，求证：a+b+1≥ab+a+b.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD的高OP=2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB=2，点M是棱PC的中点.
(1) 求直线AM与平面PAB所成角的正弦值;
(2) 求二面角APBC的余弦值.
(第22题)
23. (本小题满分10分)是否存在实数a，b，c使得等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?若存在，求出a，b，c的值;若不存在，请说明理由.
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. (1) 由题意知1x2y12=76，即1+2x=7，2+2y=6，解得x=3，y=2，所以A=1322.(3分)
(2) f(λ)=λ-1-3-2λ-2=(λ-1)(λ-2)-6=λ2-3λ-4，令f(λ)=0，得λ2-3λ-4=0，解得λ1=-1，λ2=4.(5分)
当λ1=-1时，-2x-3y=0，-2x-3y=0，取x=3，y=-2，所以属于λ1=-1的一个特征向量为3-2，
当λ2=4时，3x-3y=0，-2x+2y=0，取x=1，y=1，所以属于λ2=4的一个特征向量为11.(9分)
所以矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=4，对应的一个特征向量分别为3-2，11.(10分)
B. 直线l的普通方程为x-2y-1=0，曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2，(4分)
所以曲线C是圆心为C(1，1)，半径为r=2的圆，(6分)
所以圆心C(1，1)到直线l的距离为d=|1-2-1|1+(-2)2=23，(8分)
所以直线l被曲线C所截的弦长为2r2-d2=22-23=433.(10分)
C. 因为a>0，b>0，由柯西不等式可得(a+b+1)(b+1+a)≥(ab+a+b)2，
当且仅当ab=b1=1a时取等号，所以(a+b+1)2≥(ab+a+b)2.
又因为a+b+1>0，ab+a+b>0，
所以a+b+1≥ab+a+b.(10分)
22. (1) 记直线AM与平面PAB所成的角为α，A(0，-1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，
M0，12，1，则AB→=(1，1，0)，PA→=(0，-1，-2)，AM→=0，32，1，
设平面PAB的法向量为n=(x，y，z)，所以n•AB→=0，n•PA→=0，即x+y=0，-y-2z=0，取n=(2，-2，1)，
所以sinα=cos〈n，AM→〉=n•AM→|n|•|AM→|=23×132=41339，(5分)
即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为41339.(6分)
(2) 设平面PBC的法向量为n1=(x，y，z)，
BC→=(-1，1，0)，PB→=(1，0，-2)，
由n1•BC→=0，n1•PB→=0，即-x+y=0，x-2z=0，取n1=(2，2，1)，所以cos〈n，n1〉=n•n1|n|•|n1|=13×3=19，(9分)
由图可知二面角APBC的余弦值为-19.(10分)
23. 在1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(an2+bn+c)中，
令n=1，得15=24(a+b+c);
令n=2，得63=64(4a+2b+c);
令n=3，得168=124(9a+3b+c)，
即a+b+c=30，4a+2b+c=42，9a+3b+c=56，解得a=1，b=9，c=20.(3分)
下面用数学归纳法证明：等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)对于一切正整数n都成立.
当n=1时，等式成立;
假设当n=k时，等式成立，即
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)=k(k+1)4•(k2+9k+20).(4分)
当n=k+1时，
1•3•5+2•4•6+…+k(k+2)(k+4)+(k+1)(k+3)(k+5)=k(k+1)4(k2+9k+20)+(k+1)(k+3)•(k+5)=14k(k+1)(k+4)(k+5)+(k+1)(k+3)(k+5)
=14(k+1)(k+5)(k2+8k+12)
=(k+1)(k+1+4)4[(k+1+1)(k+1+5)]
=(k+1)[(k+1)+1]4[(k+1)2+9(k+1)+20]，
即等式对n=k+1也成立.(8分)
综上可得，等式1•3•5+2•4•6+…+n(n+2)•(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20)对于一切正整数n都成立.
所以存在实数a，b，c符合题意，且a=1，b=9，c=20.(10分)
高三数学理上册期末试卷
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 =
2. 设 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数为
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为
4. 下列函数中为偶函数的是
5. 某四面体的三视图如图所示，该四面
体的体积为
6. 已知平面向量 ，则下列关系正确的是
7. 在 中， ，则 的面积为
8.
已知函数 则下列关于函数 的零点个数的判断正确的是
A. 当 时，有4个零点;当 时，有1个零点
B. 当 时，有3个零点;当 时，有2个零点
C. 无论 为何值，均有2个零点
D. 无论 为何值，均有4个零点
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 在 的展开式中， 的系数为____________.(用数字作答)
10. 设 为等差数列 的前 项和， ，则其通项公式 ______ .
11. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值等于______.
12. 写出“ ”的一个充分不必要条件__________________.
13. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为 ，点 在双曲线上，且线段
的中点坐标为 ，则双曲线的离心率为__________.
14. 2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行.不过，为了
让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表(见附录)计算纳税.
按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:
月份 …… 纳税
所得额 起征额 应纳
税额 适用
税率 速算
扣除数 税款 税后
工资
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，
税款=应纳税额 适用税率–速算扣除数，
税后工资=纳税所得额–税款 )
(1)某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为___元;
(2)某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为____元.
附录：
原税率表(执行至2018年9月) 新税率表(2018年10月起执行)
应纳税额 税率 速算
扣除数 应纳税额 税率 速算
扣除数
不超过1500元 3% 0元 不超过3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题13分)
函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设 ，求函数 在区间 上的最小值.
16. (本小题13分)
年 月，某校高一年级新入学有 名学生，其中 名男生， 名女生.学校计划为家远的高一新生提供 间男生宿舍和 间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学.
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位： )如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4
6.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6
(Ⅰ)根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为 ，他是否能住宿?说明理由;
(Ⅱ)通过计算得到男生样本数据平均值为 ，女生样本数据平均值为 ，求所有样本数据的平均值;
(Ⅲ)已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率.
17. (本小题14分)
如图，在 中， . 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且 ，动点 在斜边 上.
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)当 为 的中点时，求二面角 的余弦值;
(Ⅲ)求 与平面 所成的角中最大角的正弦值.
18. (本小题14分)
已知抛物线 经过点 ，其焦点为 . 为抛物线上除了原点外的任一点，过 的直线 与 轴， 轴分别交于 .
(Ⅰ)求抛物线 的方程以及焦点坐标;
(Ⅱ)若 与 的面积相等，求证：直线 是抛物线 的切线.
19. (本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 在 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时，若 有极小值，求实数 的取值范围.
20.(本小题13分)
将1至 这 个自然数随机填入 方格的 个方格中，每个方格恰填一个数( ).对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这 个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”.
(Ⅰ)若 ，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”;
(Ⅱ)当 时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为 ;
(Ⅲ)求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于 .
数学(理)试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B A C D A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. ， .
三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
解：(Ⅰ)由图可得
，所以 .
当 时， ，可得 ，
(Ⅱ)
当 ，即 时， 有最小值为 .
16.(本小题13分)
解：(Ⅰ)能住宿.
因为200名男生中有10名男生能住宿，
所以40名男生样本中有2名男生能住宿。
样本数据中距离为8.4km和8km的男生可以住宿，距离为7.5km以下的男生不可以住宿，
由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。
(Ⅱ)根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人.
所有样本数据平均值为 .
(Ⅲ)解法一：记住宿的双胞胎为 ，其他住宿女生为 .
考虑 的室友，共有 七种情况，
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 ，
则 .
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
17.(本小题14分)
(Ⅰ)证明：在 中， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
(Ⅱ)解：如图建立空间直角坐标系 ，
∵ 为 的中点，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 为平面 的法向量，
∴ 即
令 ，则 ，
∴ 是平面 的一个法向量，
设 为平面 的法向量，
∴ 即
令 ，则 ， ，
∴ 是平面 的一个法向量，
∴ ，
∴二面角 的余弦值为 .
(Ⅲ)解法一:∵ 平面 ，
∴ 为 与平面 所成的角，
∵ ，
∴点 到直线 的距离最小时， 的正弦值最大，
即当 时， 的正弦值最大，
此时 ，∴ ，
∴ .
解法二：设 ，所以 .
.
平面 的法向量 ，
所以
所以当 时， 与平面 所成的角最大， .
18.(本小题14分)
解：(Ⅰ)因为抛物线 经过点 ，
所以 ， .
所以抛物线 的方程为 ，焦点 点坐标为 .
(Ⅱ)因为 与 的面积相等，
所以 ，所以 为 的中点.
设 ，则 .
所以直线 的方程为 ，
与抛物线 联立得：
，
所以直线 是抛物线 的切线.
19.(本小题13分)
解：(Ⅰ)当 时， ， .
，
所以 在 处的切线方程为 .
(Ⅱ) 有极小值 函数 有左负右正的变号零点.
令 ，则
令 ，解得 .
的变化情况如下表：
- 0 +
减 极小值
增
① 若 ，即 ，则 ，所以 不存在变号零点，不合题意.
② 若 ，即 时， ， .
所以 ，使得 ;
且当 时， ，当 时， .
所以当 时， 的变化情况如下表：
减 极小值 增
所以 .
20.(本题13分)
解：(Ⅰ)
(前两问答案不唯一，请酌情给分)
(Ⅲ)不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为 ,
考虑含n+1个元素的集合 ，
易知其中必有至少两个数处于同一行，设为
也必有至少两个数处于同一列，设为 .
①若
则有 (因为 ).
②若 ，即 ，
则 ， .
所以 .
即不论何种情况，总有 . …13分
高三年级数学期中试卷题参考
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 =
2. 设 是虚数单位，复数 ，则 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程
序，则输出 的值为
4. 下列函数中为偶函数的是
5. 某四面体的三视图如图所示，该四面
体的体积为
6. 已知向量 ，则下列关系正确的是
7. 在 中， ，则 的值是
8. 关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知角 的终边经过点 ，则 __________.
10. 若变量 满足约束条件 则 的最小值等于_________.
11. 若直线 与圆 相交于 两点，且
( 为坐标原点)，则r =__________.
12. 写出“ ”成立的一个充分不必要条件___________________________.
13. 已知抛物线 的准线为 ， 与双曲线 的两条渐近线分别交于
两点，则线段 的长度为_____________.
14. 2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行.不过，为了
让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表(见附录)计算纳税.
按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:
月份 …… 纳税
所得额 起征额 应纳
税额 适用
税率 速算
扣除数 税款 税后
工资
9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855
10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970
(相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，
税款=应纳税额 适用税率–速算扣除数，
税后工资=纳税所得额–税款 )
(1)某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为___元;
(2)某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为____元.
附录：
原税率表(执行至2018年9月) 新税率表(2018年10月起执行)
应纳税额 税率 速算
扣除数 应纳税额 税率 速算
扣除数
不超过1500元 3% 0元 不超过3000元 3% 0元
1500元至4500元 10% 105元 3000元至12000元 10% 210元
4500元至9000元 20% 555元 12000元至25000元 20% 1410元
9000元至35000元 25% 1005元 25000元至35000元 25% 2660元
…… …… …… …… …… ……
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题13分)
函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设 ，求函数 在区间 上的最小值.
16. (本小题13分)
已知 为等差数列 的前 项和，且 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ， 为数列 的前 项和，是否存在 ，使得 = ?若存在，求出 的值;若不存在，说明理由.
17. (本小题13分)
年 月，某校高一年级新入学有 名学生，其中 名女生， 名男生.学校计划为家远的高一新生提供 间女生宿舍和 间男生宿舍，每间宿舍可住2名同学.
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取20名女生家庭居住地与学校的距离数据(单位： )如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
(Ⅰ)根据以上样本数据推断，若女生甲家庭居住地与学校距离为 ，她是否能住宿?说明理由;
(Ⅱ)通过计算得到女生家庭居住地与学校距离的样本平均值为 ，男生家庭居住地与学校距离的样本平均值为 ，则所有样本数据的平均值为多少?
(Ⅲ)已知某班有4名女生安排在两间宿舍中，其中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率.
18. (本小题14分)
如图，在多面体 中，已知 是边长为2的正方形， 为正三角形， 且 ， ， 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ;
(Ⅱ)求证： 平面 ;
(Ⅲ)求三棱锥 的体积.
19. (本小题14分)
已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设过椭圆右焦点的直线 交椭圆于 、 两点，过原点的直线 交椭圆于 、 两点. 若 ，求证： 为定值.
20. (本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，求 在 处的切线方程;
(Ⅱ)当 时，若 有极小值，求实数 的取值范围.
石景山区2018-2019学年第一学期高三期末
数学(文)试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A A C B C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
9. ; 10. ; 11. ;
12. ;(答案不唯一) 13. ; 14. ， .
三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
解：(Ⅰ)由图可得
，所以 .
当 时， ，可得 ，
当 ，即 时， 有最小值为 .
16.(本小题13分)
解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，
则 ，
又 ，所以 ， .
(Ⅱ)因为 ，所以 为等比数列.
所以 .
假设存在 ，使得 = .
，
所以 ，即 ，所以 满足题意.
17.(本小题13分)
解：(Ⅰ)能住宿.
(Ⅱ)根据分层抽样的原则，抽取男生样本数为16人.
所有样本数据平均值为 .
(Ⅲ)解法一：记住宿的双胞胎为 ，其他住宿女生为 .
考虑 的室友，共有 三种情况，
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
解法二：记住宿的双胞胎为 ，其他住宿女生为 .
随机分配宿舍，共有
三种情况，
满足题意得有 一种情况，
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 .
18.(本小题14分)
(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连结 ，
∵四边形 是边长为 的正方形， 为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的中点，且 ，
∴ ，又 ∥ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 .
(Ⅱ)证明：∵ ∥ ， ，
∴ ，
在正方形 中 ，且 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
又 为正三角形， 为 的中点，
∴
又
∴ 平面 .
(Ⅲ)∵ ∥ ，
∴ ∥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ 为三棱锥 的高，
∵ 为正三角形， 为 的中点，
∴ ，
∴ .
19.(本小题14分)
解：(Ⅰ)依题意， .
由 ，得 .
∴椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)证明：(1)当直线 的斜率不存在时，易求 ， ，
则 .
(2)当直线 的斜率存在时，
设直线 的斜率为 ，依题意 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
设 ， ， ， ，
由 得 ，
则 ， ，
由 整理得 ，则 .
.
∴ .
综合(1)(2)， 为定值.
20.(本小题13分)
解：(Ⅰ)当 时， ， .
，
所以 在 处的切线方程为 .
(Ⅱ) 有极小值 函数 有左负右正的变号零点.
令 ，则
令 ，解得 .
的变化情况如下表：
– 0 +
减 极小值
增
① 若 ，即 ，则 ，所以 不存在变号零点，不合题意.
② 若 ，即 时， ， .
所以 ，使得 ;
且当 时， ，当 时， .
所以当 时， 的变化情况如下表：
– 0 +
减 极小值 增
所以 .
上学期期末高三数学试卷试题相关文章：