2017年高考全国Ⅰ卷理数试题和答案(2)
2017年高考全国Ⅰ卷理数试题和答案
2017年高考全国Ⅰ卷文数试题解析版
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=，B=，则
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
【答案】B
【解析】
试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B
【考点】样本特征数
【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平; 中位数：一组数据中间的数，(起到分水岭的作用)中位数反应一组数据的中间水平; 平均数：反应一组数据的平均水平;
方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度.
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】C
4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，选B.
【考点】几何概型
【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域;另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关.
5.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ;由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ;由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故A不满足，选A.
【考点】空间位置关系判断
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
7.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
8.函数的部分图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】C
9.已知函数，则
A.在(0，2)单调递增 B.在单调递减
C.y=的图像关于直线x=1对称 D.y=的图像关于点(1，0)对称
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知，，所以的图象关于直线对称，C正确，D错误;又()，在上单调递增，在上单调递减，A，B错误，故选C.
【考点】函数性质
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴;如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
10.如图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
11.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，a=2，c=，则C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得
，
即，所以.
由正弦定理得，即，得，故选B.
【考点】解三角形
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
12.设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量a=(–1，2)，b=(m，1).若向量a+b与a垂直，则m=________.
【答案】7
【解析】
试题分析：由题得，因为，所以，解得
【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量
【名师点睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0.
14.曲线在点(1，2)处的切线方程为______________.
【答案】
15.已知，tan α=2，则=__________.
【答案】
【解析】
试题分析：由得
又
所以
因为
所以
因为
所以
【考点】三角函数求值
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.
【答案】
形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点)，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：60分.
17.(12分)
记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
(1)求的通项公式;
(2)求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列.
【答案】(1);(2)，证明见解析.
解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
18.(12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.
【答案】(1)证明见解析; (2).
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，.
(1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查?
(ⅱ)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附：样本的相关系数，.
【答案】(1)，可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值与标准差估计值分别为10.02，0.09.
(ii)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为.
【考点】相关系数，方差均值计算
【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”;二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”;三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.
20.(12分)
设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.
【答案】(1)1; (2).
【解析】
21.(12分)
已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)讨论的单调性;
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)当，在单调递增;当，在单调递减，在单调递增;当，在单调递减，在单调递增;(2).
【解析】
试题分析：(1)分，，分别讨论函数的单调性;(2)分，，分别解，从而确定a的取值范围.
试题解析：(1)函数的定义域为，，
①若，则，在单调递增.
②若，则由得.
当时，;当时，，所以在单调递减，在单调递增.
③若，则由得.
当时，;当时，，故在单调递减，在单调递增.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为
.
(1)若，求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求.
【答案】(1)，;(2)或.
(2)直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以;
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
【考点】参数方程
【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值.
23.[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数，.
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围.
【答案】(1);(2).
(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解.
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