2017年高考全国Ⅱ卷理数试题和答案(2)
2017年高考全国Ⅱ卷理数试题和答案
2017年高考全国Ⅱ卷理数试题解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由复数除法的运算法则有：，故选D。
【考点】 复数的除法
【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2=|z1|2=|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。
2.设集合，。若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【答案】B
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积，该组合体的体积为：。故选B。
【考点】 三视图;组合体的体积
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。
5.设，满足约束条件，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。
【考点】 排列与组合;分步乘法计数原理
【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
(3)按照题目的要求完成解答并验证。
9.若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
试题分析：由题可得
因为，所以，，故
令，解得或，所以在单调递增，在单调递减
所以极小值为，故选A。
【考点】 函数的极值;函数的单调性
【名师点睛】(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。
12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 。
【答案】
14.函数()的最大值是 。
【答案】1
【解析】
试题分析：化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，
当时，函数取得最大值1。
【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向;对称轴位置;判别式;端点函数值符号四个方面分析。
15.等差数列的前项和为，，，则 。
【答案】
【解析】
试题分析：设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和,
裂项有：，据此：
。
【考点】 等差数列前n项和公式;裂项求和。
【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。
【答案】6
【考点】抛物线的定义;梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
的内角所对的边分别为，已知，
(1)求;
(2)若，的面积为，求。
【答案】(1);
(2)。
18.(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率分布直方图如下：
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率;
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
附：
【答案】(1);
(2) 有的把握认为箱产量与养殖方法有关;
(3)。
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66
由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关。
19.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。
(1)证明：直线 平面PAB;
(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)证明略;
(2) 。
(2)由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，,，
设则，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，
【考点】 判定线面平行;面面角的向量求法
【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|=|cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
20. (12分)
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
(2)由题意知。设,则
，
。
由得，又由(1)知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
【考点】 轨迹方程的求解;直线过定点问题。
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)=0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
21.(12分)
已知函数，且。
(1)求;
(2)证明：存在唯一的极大值点，且。
【答案】(1);
(2)证明略。
(2)由(1)知 ，。
设，则。
当 时， ;当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
(1)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。
【答案】(1);
(2) 。
【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程;三角形面积的最值。
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知。证明：
(1);
(2)。
【答案】(1)证明略;
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