高考数学正弦定理知识点总结(2)

高考数学正弦定理知识点总结

　　9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.

　　解:,∴sin A=.

　　∵c>a,∴C>A.∴A=.

　　∴B=,b=+1.

　　三、判断三角形形状

　　10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)

　　A.锐角三角形 B.直角三角形

　　C.钝角三角形 D.不确定

　　答案:B

　　解析:bcos C+ccos B=asin A,

　　∴由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,

　　即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,

　　故A=,故三角形为直角三角形.

　　故选B.

　　11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为(　　)

　　A.直角三角形 B.锐角三角形

　　C.等边三角形 D.等腰直角三角形

　　答案:C

　　解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,

　　得sin B=2sin Ccos A,

　　在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

　　代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,

　　即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,

　　又-πb可知B=150°不合题意,B=30°.

　　∴C=180°-60°-30°=90°.

　　7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是　　　　.

　　答案:等边三角形

　　解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.sin A=.

　　∵△ABC为锐角三角形,A=.

　　又cos B=cos C,0b,则B=　　　　.

　　答案:

　　解析:由正弦定理=2R,

　　得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=×2Rsin B.

　　由0b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.

　　9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.

　　解:由已知得,

　　由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),

　　.

　　∴sin Acos A=sin Bcos B.

　　∴sin 2A=sin 2B.

　　又A,B为三角形的内角,

　　2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.

　　△ABC为等腰或直角三角形.

　　10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30°,求ac的值.

　　解:由正弦定理得

　　sin B=.

　　由条件b=6,a=2,知b>a,所以B>A.

　　B=60°或120°.

　　(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.

　　在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,则c=4,

　　ac=2×4=24.

　　(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,A=C,则有a=c=2.

　　ac=2×2=12.