高三数学理科三角恒等变形复习测试题(含答案)

　　考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是学习啦小编为大家整理的高三数学理科三角恒等变形复习测试题，请认真复习!

　　高三数学理科三角恒等变形复习测试题及答案解析

　　第一节 同角三角函数的基本关系

　　A组

　　1.已知sinα=55，sin(α-β)=-1010，α、β均为锐角，则β等于________.

　　解析：∵α、β均为锐角，∴-π2<α-β<π2，∴cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.

　　∵sinα=55，∴cosα= 1-(55)2=255.

　　∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.

　　∵0<β<π2，∴β=π4.答案：π4

　　2.已知0<α<π2<β<π，cosα=35，sin(α+β)=-35，则cosβ的值为________.

　　解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α+β<32π.∴sinα=45，cos(α+β)=-45，

　　∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45=-2425.答案：-2425

　　3.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则sin(α+β)cos(α-β)=________.

　　解析：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，则sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ

　　=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31-3=-32.答案：-32

　　4.已知cos(α-π6)+sinα=453，则sin(α+7π6)的值是___.

　　解析：由已知得32cosα+12sinα+sinα=453，即12cosα+32sinα=45，

　　得sin(α+π6)=45，sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案：-45

　　5.(原创题)定义运算a?b=a2-ab-b2，则sinπ12?cosπ12=________.

　　解析：sinπ12?cosπ12=sin2π12-sinπ12cosπ12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)-12×2sinπ12cosπ12=-cosπ6-12sinπ6=-1+234.答案：-1+234

　　6.已知α∈(π2，π)，且sinα2+cosα2=62.

　　(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35，β∈(π2，π)，求cosβ的值.

　　解：(1)因为sinα2+cosα2=62，两边同时平方得sinα=12.

　　又π2<α<π.所以cosα=-32.

　　(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以-π<-β<-π2，故-π2<α-β<π2.

　　又sin(α-β)=-35，得cos(α-β)=45.

　　cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

　　=-32×45+12×(-35)=-43+310.

　　B组

　　1.cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα的值为________.

　　解析：cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα=cos2α-sin2α(sinα+cosα)2•1+tanα1-tanα

　　=cosα-sinαsinα+cosα•1+tanα1-tanα=1-tanα1+tanα•1+tanα1-tanα=1.

　　2.已知cos(π4+x)=35，则sin2x-2sin2x1-tanx的值为________.

　　解析：∵cos(π4+x)=35，∴cosx-sinx=352，

　　∴1-sin2x=1825，sin2x=725，∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.

　　3.已知cos(α+π3)=sin(α-π3)，则tanα=________.

　　解析：cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα-32sinα，sin(α-π3)

　　=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα-32cosα，

　　由已知得：(12+32)sinα=(12+32)cosα，tanα=1.

　　4.设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α-π4)=35，sin(3π4+β)=513，则sin(α+β)=________.

　　解析：α∈(π4，3π4)，α-π4∈(0，π2)，又cos(α-π4)=35，∴sin(α-π4)=45.

　　∵β∈(0，π4)，∴3π4+β∈(3π4，π).∵sin(3π4+β)=513，∴cos(3π4+β)=-1213，

　　∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]

　　=-cos(α-π4)•cos(3π4+β)+sin(α-π4)•sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513=5665，

　　即sin(α+β)=5665.

　　5.已知cosα=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α-β)的值等于________.

　　解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π).∵cosα=13，∴cos2α=2cos2α-1=-79，∴sin2α=1-cos22α=429，而α，β∈(0，π2)，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223，∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.

　　6.已知角α在第一象限，且cosα=35，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=________.

　　解析：∵α在第一象限，且cosα=35，∴sinα=45，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=1+2(22cos2α+22sin2α)cosα=2cos2α+2sinαcosαcosα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=145.

　　7.已知a=(cos2α，sinα)，b=(1,2sinα-1)，α∈(π2，π)，若a•b=25，则tan(α+π4)的值为________.

　　解析：a•b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25，∴sinα=35，又α∈(π2，π)，∴cosα=-45，tanα=-34，∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17.

　　8.tan10°tan70°tan70°-tan10°+tan120°的值为______.

　　解析：由tan(70°-10°)=tan70°-tan10°1+tan70°•tan10°=3，

　　故tan70°-tan10°=3(1+tan70°tan10°)，代入所求代数式得：

　　tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)+tan120°=tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)-3=tan70°tan10°3tan70°tan10°=33.

　　9.已知角α的终边经过点A(-1，15)，则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1的值等于________.

　　解析：∵sinα+cosα≠0，cosα=-14，∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=24cosα=-2.

　　10.求值：cos20°sin20°•cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°.

　　解：原式=cos20°cos10°sin20°+3sin10°sin70°cos70°-2cos40°

　　=cos20°cos10°+3sin10°cos20°sin20°-2cos40°

　　=cos20°(cos10°+3sin10°)sin20°-2cos40°

　　=2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)sin20°-2cos40°

　　=2cos20°sin40°-2sin20°cos40°sin20°=2.

　　11.已知向量m=(2cosx2，1)，n=(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)=m•n-1.

　　(1)求函数f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=513，f(B)=35，求f(C)的值.

　　解：(1)f(x)=m•n-1=(2cosx2，1)•(sinx2，1)-1=2cosx2sinx2+1-1=sinx.

　　∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[-1,1].

　　(2)∵f(A)=513，f(B)=35，∴sinA=513，sinB=35.

　　∵A，B都为锐角，∴cosA=1-sin2A=1213，cosB=1-sin2B=45.

　　∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

　　=513×45+1213×35=5665.∴f(C)的值为5665.

　　12.已知：0<α<π2<β<π，cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45.

　　(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π4)的值.

　　解：(1)法一：∵cos(β-π4)=cosπ4cosβ+sinπ4sinβ=22cosβ+22sinβ=13，

　　∴cosβ+sinβ=23，∴1+sin2β=29，∴sin2β=-79.

　　法二：sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79.

　　(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β-π4<3π4，π2<α+β<3π2，∴sin(β-π4)>0，cos(α+β)<0.

　　∵cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45，∴sin(β-π4)=223，cos(α+β)=-35.

　　∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)

　　=-35×13+45×223=82-315.

　　第二节 两角和与差及二倍角的三角函数

　　A组

　　1.若sinα=35，α∈(-π2，π2)，则cos(α+5π4)=________.

　　解析：由于α∈(-π2，π2)，sinα=35得cosα=45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210.

　　2.已知π<θ<32π，则 12+12 12+12cosθ=________.

　　解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.

　　12+12 12+12cosθ= 12+12 cos2θ2

　　= 12-12cosθ2=sinθ4.

　　3.计算：cos10°+3sin10°1-cos80°=________.

　　解析：cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.

　　4.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是__________________.

　　解析：y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1

　　=2sin(2x+π4)+1≥1-2.

　　5.函数f(x)=(sin2x+12010sin2x)(cos2x+12010cos2x)的最小值是________.

　　解析：f(x)=(2010sin4x+1)(2010cos4x+1)20102sin2xcos2x

　　=20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+120102sin2xcos2x

　　=sin2xcos2x+201120102sin2xcos2x-22010≥22010(2011-1).

　　6.已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.

　　(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.

　　解：∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0，

　　又α∈(π4，π2)，∴tanα=43，sinα=45，cosα=35，

　　(1)tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=43+11-43=-7.

　　(2)cos2α=2cos2α-1=-725，sin2α=2sinαcosα=2425，

　　cos(π3-2α)=cosπ3cos2α+sinπ3sin2α=12×(-725)+32×2425=243-750.

　　B组

　　1.若tan(α+β)=25，tan(β-π4)=14，则tan(α+π4)=_____.

　　解析：tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.

　　2.若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为________.

　　解析：由3sinα+cosα=0得cosα=-3sinα，则1cos2α+sin2α=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=9sin2α+sin2α9sin2α-6sin2α=103.

　　3.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=62，则a、b、c的大小关系是

　　解析：a=2sin59°，c=2sin60°，b=2sin61°，∴a<c<b.

　　或a2=1+sin28°<1+12=32，b2=1+sin32°>1+12=32，c2=32，∴a<c<b.

　　4.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.

　　解析：原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.

　　5.若tanα+1tanα=103，α∈(π4，π2)，则sin(2α+π4)的值为_________.

　　解析：由题意知，tanα=3，sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α)，而sin2α=2tanα1+tan2α=35，cos2α=1-tan2α1+tan2α=-45.∴sin(2α+π4)=22(35-45)=-210.

　　6.若函数f(x)=sin2x-2sin2x•sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________.

　　解析：f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x，所以T=2π4=π2.

　　7. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.

　　解析：由已知得：原式=2cos(30°-25°)-sin25°cos25°=3cos25°cos25°=3.

　　8.向量a=(cos10°，sin10°)，b=(cos70°，sin70°)，|a-2b|=________________.

　　解析：|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3，∴|a-2b|=3.

　　9.已知1-cos2αsinαcosα=1，tan(β-α)=-13，则tan(β-2α)=________.

　　解析：因为1-cos2αsinαcosα=1，即1-1-tan2α1+tan2α=12×2tanα1+tan2α，所以2tanα=1，即tanα=12，所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=-13-121-16=-1.

　　10.已知tanα=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α的值.

　　解：(1)∵tan(α+π4)=1+tanα1-tanα，tanα=2，∴tan(α+π4)=1+21-2=-3.

　　(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α=2sinαcosα+cos2α2cos2α=2sinα+cosα2cosα=tanα+12=52.

　　11.如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA=α.

　　(1)求1+sin2α1+cos2α的值;(2)求|BC|2的值.

　　解：(1)∵A的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα=45，cosα=35，∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918.

　　(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°.∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°.=35×12-45×32=3-4310，

　　∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×3-4310=7+435.

　　12.△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=sinA+sinBcosA+cosB，sin(B-A)=cosC.(1)求角A，C.(2)若S△ABC=3+3，求a，c.

　　解：(1)因为tanC=sinA+sinBcosA+cosB，即sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB，

　　所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

　　即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，

　　得sin(C-A)=sin(B-C)，

　　所以C-A=B-C，或C-A=π-(B-C)(不成立)，

　　即2C=A+B，得C=π3，所以B+A=2π3.

　　又因为sin(B-A)=cosC=12，则B-A=π6或B-A=5π6(舍去)，

　　得A=π4，B=5π12.故A=π4，C=π3.

　　(2)S△ABC=12acsinB=6+28ac=3+3，又asinA=csinC，即 a22=c32，

　　得a=22，c=23.
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