高二数学下学期期末考试题
数学中有许多概念，如何让学生正确地掌握概念，应该指明学习概念需要怎样的一个过程，应达到什么程度，今天小编就给大家分享了高二数学，欢迎大家来多多参考哦
高二数学下学期期末联考试题
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.复数 的实部为
A. B. C. D.
3. 的展开式中 的系数为
A. B. C. D.
4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的 直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为
A. B. C. D.
5若实数 满足条件 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
6.在等比数列 中， ，公比为 ，前 项和为 ，若数列 也是等比数列，则 等于
A. B. C. D.
7.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是
A. B. C. D.
8.函数 的部分图象可能是
A. B.
C. D.
9.抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为
A. B. C. D.
10.正四棱锥的顶点都在同一球面 上，若该棱锥的高和底面边长均为 ，则该球的体积为
A. B. C. D.
11.在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
12.已知 是定义域为 的奇函数，满足 .若 ，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.
14.已知向量 ， ， .若 ，则 __________.
15.学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是 或 作品获得 一等奖”
乙说：“ 作品获得一等奖”
丙说：“ 两项作品未获得一等 奖”
丁说：“是 作品获得一等奖”
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___________.
16.如图在 中， ， ，点 是 外一点， , 则平面四边形 面积的最大值是___________.
三、解答题：本大题共6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分) 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)求 ，并求 的最小值.
[来源:学|科|网]
18.(本小题满分12分)在如图所示的六面体中，面 是边长为 的正方形，面 是直角梯形， ， ， .
(Ⅰ)求证： //平面 ;
(Ⅱ)若二面角 为 ，求直线 和平面 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)为迎接 月 日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取 名男生参加 米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于 秒，则称为“好体能”.
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)要从这 人中随机选取 人，求至少有 人是“好体能”的概率;
(Ⅲ)以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取 人，记 表示抽到“好体能”学生的人数，求 的分布列及数学期望.
(20)(本小题满分12分) 设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ， .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线 与椭圆交于 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限.若 的面积是 面积的2倍，求k的值.
21.已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最大值;
(Ⅱ)已知 ，求证 .
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线 ： ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 的极坐标方程为 .
(Ⅰ) 求圆心 的极坐标;
(Ⅱ)设点 的直角坐标为 ，直线 与圆 的交点为 ,求 的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知关于 的不等式
(Ⅰ)当 时，求不等式解集;
(Ⅱ)若不等式有解，求 的范围.
数学理科答案
选择题 CADDB CBBCA AD
填空题
17(I)设 的公差为d，由题意得 .……………………………………………………………… 3分
由 得d=2.
所以 的通项公式为 .………………………………………………………………………………… 6分
(II)由(1)得 .………………………………………………………………………9分
所以当n=4时， 取得最小值，最小值为−16.………………………………………………………………………12分
18证明：(I)连接 相交于点 ，取 的中点为 ,连接 .
是正方形， 是 的中点， ,
又因为 ,所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，……………………………………………………………………… ………… 3分
，又因为 平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………5分
(II) 是正方形， 是直角梯形， ，
, 平面 ,同理可得 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ,
又因为二面角 为 ，
所以 , , ,由余弦定理得 ,
所以 ,又因为 平面 ，
,所以 平面 ，…………………………………………………7分
以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴、 为 轴建立空间直角坐标系.
则 ,………………… …………………8分
所以 ,设平面 的一个法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，
所以 ………………………………………………………11分
设直线 和平面 所成角为 ，
则 ………………………………………12分
19解： (I)这组数据的众数和中位数分别是 ;………………………………………………………………3分
(II)设求至少有 人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;
总的基本事件个数为 ， …………………………………………7分
(Ⅲ) 的可能取值为
由于该校男生人数众多，故 近似服从二项分布 …………………………………………………………9分
， , ,
的分布列为
故 的数学期望 ………………………………………………………………………1 2分
20(I)解：设椭圆的焦距为2c，由已知得 ，又由 ，可得
由 ,从而 .
所以，椭圆的方程为 . …………………………………………………………………………5分
(II)解：设点P的坐标为 ，点M的坐标为 ，由题意， ，
点 的坐标为 由 的面积是 面积的2倍，可得 ，
从而 ，即 .……………………………………………………………………………6分
易知直线 的方程为 ，由方程组
消去y，可得 .
由方程组 消去 ，可得 . …………………………………………………………9分
由 ， 可得 ，
两边平方，整理得 ，解得 ，或 .
当 时， ，不合题意，舍去;
当 时， ， ，符合题意.
所以， 的值为 . ………………………………………………………………………………12分
21解：(I)因为 ，
…………………………………………………………2分
当 时 ;当 时 ，
则 在 单调递增，在 单调递减. 所以 的最大值为 . …………………………………………………………………5分
(II)由 得， ，………7分
则 ，又因为 ，有 ，
构造函数 ………………………………………9分
则 ，
当 时， ，可得 在 单调递增，
有 ， ……………………………………………………11分
所以有 .………………………………………12分
22解：(I)由题意可知圆的直角坐标系方程为 ，
所以圆心的极坐标为 . ……………………………………………4分
(II)因为圆的直角坐标系方程为 ，直线方程为 ，
得到 所以 . ………………………………………10分
23解：(I)当 时，则
所以
即不等式解集为 . ………………………………………………5分
(II)令 ，由题意可知;
又因为
所以 ，即 . …………………………………………10分
高二数学理科下学期期末试题阅读
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列运算正确的为( )
A. ( 为常数) B.
C. D.
2.已知 ，则复数 ( )
A. B. C. D.
3.已知曲线 在点 处的切线平行于直线 ，那么点 的坐标为( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.随机变量 ，且 ，则 ( )
A.0.20 B.0.30 C.0.70 D.0.80
5.设 ，那么 ( )
A. B. C. D.
6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件 “第一次取到的是偶数”， “第二次取到的是偶数”，则 ( )
A. B. C. D.
7.用反证法证明命题“已知函数 在 上单调，则 在 上至多有一个零点”时，要做的假设是( )
A. 在 上没有零点 B. 在 上至少有一个零点
C. 在 上恰好有两个零点 D. 在 上至少有两个零点
8.在 的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为 ，则 的系数为( )
A.21 B.63 C.189 D.729
9.如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是( )
A.在 上 是增函数
B.在 上 是减函数
C.在 上 是增函数
D.在 时， 取极大值
10.若 是离散型随机变量， ， ，又已知 ， ，则 的值为( )
A. B. C.3 D.1
11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有( )种
A.19 B.26 C.7 D.12
12.已知在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每小题5分，共计20分)
13.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表
玩手机 不玩手机 合计
学习成绩优秀 4 8 12
学习成绩不优秀 16 2 18
合计 20 10 30
经计算 的值，则有 的把握认为玩手机对学习有影响.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， .
14.由曲线 与 围成的封闭图形的面积是 .
15.对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数 ，计算 .
16.对于函数 ，若存在区间 ，当 时， 的值域为 ，则称 为 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是 (填上所有正确的序号).
① ②
③ ④
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知 ， ， 为实数.
(Ⅰ)若 ，求 ;
(Ⅱ)若 ，求实数 ， 的值.
18.已知函数 .
(Ⅰ)若 在 处取得极值，求 的单调递减区间;
(Ⅱ)若 在区间 内有极大值和极小值，求实数 的取值范围.
19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
售出水量 (单位：箱)
7 6 6 5 6
收入 (单位：元)
165 142 148 125 150
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元;综合考核21～50名，获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.
(Ⅰ)若售出水量箱数 与 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元?
(Ⅱ)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，不获得奖学金的概率均为 ，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和 的分布列及数学期望.
附：回归直线方程 ，其中 ， .
20.如图(1)是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为 分米的半圆和矩形 组成，其中 长为 分米，如图(2).为了美观，要求 .已知该首饰盒的长为 分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为 百元.
(Ⅰ)写出 关于 的函数解析式;
(Ⅱ)当 为何值时，该首饰盒的制作费用最低?
21.已知函数 在点 处的切线与直线 垂直.
(Ⅰ)求函数 的极值;
(Ⅱ)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数， )，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(Ⅰ)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线 与曲线 交于 、 两点，求 的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 ， .
(Ⅰ)若 恒成立，求 的取值范围;
(Ⅱ)已知 ，若 使 成立，求实数 的取值范围.
高二数学(理科)试题参考答案
一、选择题
1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA
二、填空题
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④
三、解答题
17.解：(Ⅰ)∵ ，∴ .
∴ ，
∴ ;
(Ⅱ)∵ ，
∴
.
∴ ，
解得 ，
∴ ， 的值为：-3，2.
18.解： ，
(Ⅰ)∵ 在 处取得极值，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，令 ，则 ，
∴ ，
∴函数 的单调递减区间为 .
(Ⅱ)∵ 在 内有极大值和极小值，
∴ 在 内有两不等实根，对称轴 ，
∴ ，
即 ，
∴ .
19.解：(Ⅰ) ， ，
，
，
所以线性回归方程为 ，
当 时， 的估计值为206元;
(Ⅱ)甲乙两名同学所获得奖学金之和 的可能取值为0，300，500，600，800，1000;
;
;
;
;
;
.
0 300 500 600 800 1000
所以 的数学期望 .
20.解：(Ⅰ)由题知 ，
∴ .
又因 ，得 ，
∴
.
(Ⅱ)令 ，
∴ ，
令 则 ，
∵ ，
当 时 ，函数 为增函数.
∴ 时， 最小.
答：当 分米时，该首饰盒制作费用最低.
21.解：(Ⅰ)函数 的定义域为 ， ，
所以函数 在点 处的切线的斜率 .
∵该切线与直线 垂直，所以 ，解得 .
∴ ， ，
令 ，解得 .
显然当 时， ，函数 单调递增;当 时， ，函数 单调递减.
∴函数 的极大值为 ，函数 无极小值.
(Ⅱ) 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上为增函数，即 ，
①当 时， ，即 ，则 在 上是增函数，
∴ ，故当 时， 在 上恒成立.
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减， ，
因此当 时， 在 上不恒成立，
22.解：(Ⅰ)将 ( 为参数， )消去参数 ，
得直线， ，即 .
将 代入 ，得 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
(Ⅱ)设直线 的普通方程为 ，其中 ，又 ，
∴ ，则直线 过定点 ，
∵圆 的圆心 ，半径 ， ，
故点 在圆 的内部.
当直线 与线段 垂直时， 取得最小值，
∴ .
23.解：(Ⅰ)∵ ，若 恒成立，需 ，
即 或 ，
解得 或 .
(Ⅱ)∵ ，∴当 时， ，
∴ ，即 ， 成立，
由 ，∵ ，∴ (当且仅当 等号成立)，
∴ .
又知 ，∴ 的取值范围是 .
有关高二数学下学期期末试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数 是纯虚数( 为虚数单位)，则实数 的值为 .
2.已知点 ， ，则 .
3.若 ，则 的值为 .
4.已知随机变量 服从二项分布 ，那么方差 的值为 .
5.三个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是 ，并且各人猜对与否相互独立，那么他们同时猜对的概率为 .
6.已知矩阵 ，则矩阵 的逆矩阵为 .
7.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为 .(结果用分数表示)
8.在极坐标系中，已知 到直线 ： ， 的距离为2，则实数 的值为 .
9.设向量 ， ，且 ，则 的值为 .
10.圆 ： 在矩阵 对应的变换作用下得到了曲线 ，曲线 的矩阵 对应的变换作用下得到了曲线 ，则曲线 的方程为 .
11.若 的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则 的展开式中含 项的系数为 .
12.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有 种(用数字作答).
13.对于自然数方幂和 ， ， ，求和方法如下：
，
，
…
，
将上面各式左右两边分别相加，就会有 ，解得 ，类比以上过程可以求得 ， 且与 无关，则 的值为 .
14.化简 .
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知复数 ， 为虚数单位.
(1)求 ;
(2)若复数 满足 ，求 的最大值.
16.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 重合，极轴与 轴的正半轴重合，若直线 的参数方程为： ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为： .
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)求直线 被曲线 截得线段的长.
17.已知矩阵 ，向量 .
(1)求 的特征值 、 和特征向量 、 ;
(2)求 的值.
18.如图，在正四棱柱 中， ， ，建立如图所示的空间直角坐标系 .
(1)若 ，求异面直线 与 所成角的大小;
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)若二面角 的大小为 ，求实数 的值.
19.假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为 ，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标操作，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量 .
(1)若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率;
(2)求随机变量 的概率分布与数学期望 .
20.设 ，其中 ， ， 与 无关.
(1)若 ，求 的值;
(2)试用关于 的代数式表示： ;
(3)设 ， ，试比较 与 的大小.
理 科 数 学
一、填空题
1. -1 2. 5 3. 4或9 4. 5. 6.
7. 8. 1 9. 168 10.
11. 160 12. 84 13. 14.
二、解答题
15.解：(1)
(2)设 ，因为 ，所以
在复平面中，复数 对应点 ，
复数 对应点的轨迹是以为 圆心，2为半径的圆;
因为AO= ,所以 的最大值为 .
16.解：(1)直线 的普通方程为 ，
曲线 的普通方程为 .
(2)曲线 表示以 为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线 的距离 ，
故直线 被曲线 截得的线段长为 .
17.解：(1)矩阵 的特征多项式为 ，
令 ，解得 ， ，
当 时，解得 ;
当 时，解得 .
(2)令 ，得 ，求得 .
所以
18.解：(1)当 时， ，， ， ， ，
则 ，
，
故 ，
所以异面直线 与 所成角为 .
(2)当 时， ， ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则由 得，
不妨取 ，则 ， 此时 ，
设 与平面 所成角为 ，因为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)由 得， ， ，
设平面 的法向量 ，
则由 得，
不妨取 ，则 ， 此时 ，
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由图形得二面角 大于 ，所以符合题意.
所以二面角 的大小为 ， 的值为 .
19. 解：(1)该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为
.
(2)耗用子弹数 的所有可能取值为2，3，4，5.
当 时，表示射击两次，且连续击中目标， ;
当 时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，
;
当 时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，
;
当 时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
;
随机变量 的数学期望
.
20.解：(1)由题意知 ，所以 .
(2)当 时， ，
两边同乘以 得：
，
等式两边对 求导，得：
，
令 得：
，
即 .
(3) ， ，
猜测： ，
① 当 时， ， ， ，此时不等式成立;
②假设 时，不等式成立，即： ，则 时，
所以当 时，不等式也成立;
根据①②可知， ，均有 .
【实际上问题即比较 与 的大小关系;】
理 科 数 学
(考试时间120分钟，试卷满分160分)
注意事项:
1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方.
2.答题时，请使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.请保持卡面清洁，不折叠，不破损.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.
答案：-1
2.
答案：5
3.
答案：4或9
4.
答案：
5.
答案：
6.
答案：
7.
答案：
8.
答案：1
9.
答案：168
10.
答案：
11.
答案：160
12.
答案：84
13.
答案：
14.
答案：
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解： (1) ……………………6分
(2)设 ，因为 ，所以 ……………………8分
在复平面中，复数 对应点 ，
复数 对应点的轨迹是以为 圆心，2为半径的圆;
……………………10分
因为AO= ,所以 的最大值为 . ……………………14分
16.
解：(1)直线 的普通方程为 ， ……………………4分
曲线 的普通方程为 . ……………………8分
(2)曲线 表示以 为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线 的距离 ， ……………………10分
故直线 被曲线 截得的线段长为 . …………………14分
17.
解： (1)矩阵 的特征多项式为 ，
令 ，解得 ， ， ………4分
当 时，解得 ; ………6分
当 时，解得 . ………8分
(2)令 ，得 ，求得 . …………………10分
所以
………………14分
18.解：(1)当 时， ，， ， ， ，
则 ，
， ………………2分
故 ，
所以异面直线 与 所成角为 .……………………4分
(2)当 时， ， ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则由 得，
不妨取 ，则 ， 此时 ， ……………………7分
设 与平面 所成角为 ，因为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 . ……………………10分
(3)由 得， ， ，
设平面 的法向量 ，
则由 得，
不妨取 ，则 ， 此时 ， ……………13分
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由图形得二面角 大于 ，所以符合题意.
所以二面角 的大小为 ， 的值为 . ……………16分
19.
解：(1)该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为
………4分
(2)耗用子弹数 的所有可能取值为2，3，4，5.
当 时，表示射击两次，且连续击中目标， ; ………6分
当 时，表示射击三次，第一次未击中目标，且第二次和第三次连续击中目标，
; ………8分
当 时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标，
; ………10分
当 时，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
;
………12分
随机变量 的数学期望
………16分
20.
解：(1)由题意知 ，所以 . ………2分
(2)当 时， ，
两边同乘以 得：
，
………………………4分
等式两边对 求导，得：
………………………6分
令 得：
，
即 …………………………………………8分
(3) ，
猜测： ………………………………………………10分
② 当 时， ， ， ，此时不等式成立;
………………………………………………11分
②假设 时，不等式成立，即： ，则 时，
所以当 时，不等式也成立; ………………………………………………15分
根据①②可知， ，均有 . …………………………16分
【实际上问题即比较 与 的大小关系;】
高二数学下学期期末试卷阅读
第I卷 选择题(60分)
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知 是虚数单位，且 ，则
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
① ，② ，③
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.已知 ， 则 等于
A. B. C. D.
4.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4)=0.84，则 P(ξ≤0)=
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
5.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02.设发病 的牛的头数为ξ，则 Dξ等于
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
6.将小亮等 名同学全部安排到 、 、 、 四个社区参加社区活动，每个社区至少安排一人，则小亮在 社区的安排方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.某中学有高中生 人，初中生 人，高中生中男生、女生人数之比为 ，初中生中男生、女生人数之比为 ，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，已知从初中生中抽取男生 人，则从高中生中抽取的女生人数是
A. B. C. D.
8.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件 为“取出的两个球颜色不同”，事件 为“取出一个黄球，一个绿球”，则
A. B. C. D.
10.设函数 ， .若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
A. B. C. D.
11.已知函数 ，在区间 内任取两个实数 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知抛物线 上一动点到其准线与到点M(0，4)的距离之和的最小值为 ，F是抛物线的焦点， 是坐标原点，则 的内切圆半径为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式 展开式中含 项的系数是 .
14.已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，则 .
15.在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x +y -4 =0相切，则圆C面积的最小值为 .
16.已知函数 的定义域是 ，关于函数 给出下列命题：
①对于任意 ，函数 是 上的减函数;②对于任意 ，函数 存在最小值;
③存在 ，使得对于任意的 ，都有 成立;
④存在 ，使得函数 有两个零点.
其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
三.解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数 ，且当 时，函数 取得极值为 .
(1)求 的解析式;
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
频数 2 250 450 290 8
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布 ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上;
(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)错误!未找到引用源。范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望.
附:若 错误!未找到引用源。，则
，
19.(本小题满分12分)
如图所示，三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明： ;
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求直线 的斜率 的取值范围;
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围;
(3)当 时，证明： .
(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)
[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中， 是过点 且倾斜角为 的直线.以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程;
(2)若直线 与曲线 交于两点 ， ，求 .
23.(本小题满分10分)
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)当 时，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取
值范围.
理科数学参考答案
一.选择题
1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D
二.填空题
13. 210 14. 15. 16. ②④
三.解答题
17.解：(1) ，
由题意得， ，即 ，解得 ，
∴ .
(2)由 有两个不同的实数解，
得 在 上有两个不同的实数解，
设 ，
由 ，
由 ，得 或 ，
当 时， ，则 在 上递增，
当 时， ，则 在 上递减，
由题意得 ，即 ，解得 ，
18.解：(1)设样本的中位数为 ，
则 错误!未找到引用源。，
解得 ，所得样本中位数为错误!未找到引用源。(百元).
估计有805位同学旅游费用支出在8100元以上.
(3) 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
，
∴错误!未找到引用源。的分布列为
0 1 2 3
19. 解 设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图).
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN=14AB，M、S分别为PB、BC的中点，
∴N(12，0,0)，M(1,0，12)，S(1，12，0)，
(1)CM→=(1，-1，12)，SN→=(-12，-12，0)，
∴CM→•SN→=(1，-1，12)•(-12，-12，0)=0，
因此CM⊥SN.
(2) NC→=(-12，1,0)，设a=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
∴CM→•a=0，NC→•a=0.
则x-y+12z=0，-12x+y=0.∴x=2y，z=-2y.取y=1，则得 =(2,1，-2).
平面NBC的法向量
因为平面NBC与平面C MN所成角是锐二面角;所以平面NBC与平面CMN所成角的余弦值为 ..
20.解：(1)设椭圆 的方程为： ，
由已知： 得： ， ，
所以，椭圆 的方程为： .
(2)由题意，直线斜率存在，故设直线 的方程为
由 得
由 即有
即
有
解得
综上：实数 的取值范围为
21.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2，
当a≥1时，y′≥0，所以函数y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函数;
当0
(2)当a≥1时，函数y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函数.
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)= 1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)时恒成立，
当0
综上，实数a的取值范围是[1，+∞)
(3)当a=1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)时恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2 ，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，15<12(ln3-ln2)，17<12(ln4-ln3)，...，12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
将上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立.
22.解：(1)直线 的参数方程为 ( 为参数).
由曲线 的极坐标方程 ，得 ，
把 ， ，代入得曲线 的直角坐标方程为 .
(2)把 代入圆 的方程得 ，
化简得 ，
设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，
则 ，∴ ， ，则 .
23.解：(1)当 时，由 得： ，
故有 或 或 ，
∴ 或 或 ，∴ 或 ，
∴ 的解集为 .
(2)当 时 ，∴ ，
由 得： ，∴ ，∴ 的取值范围为 .
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