理科高二年级数学年级期中试题
到了高二就分文理科目了，理科的数学是会难一点的，今天小编就给大家分享一下高二数学，欢迎大家来收藏哦
理科上学期高二数学期中试卷
第I卷(选择题)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
1.直线 的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知水平放置的 ，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图 ，其中 ， ，那么原 的面积是( )
A. B. C. D.
3.在长方体 中， ，则异面直线 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.设m、n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
5.已知直线 平行，则实数 的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
7.已知从点 发出的一束光线，经 轴反射后，反射光线恰好平分圆： 的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
8.若过点 有两条直线与圆 相切，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知直线 与直线 的交点位于第一象限，则实数 的取值范围是( )
A. B. 或
C. D.
10.如图，将边长为2的正方体 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，则下列命题中，错误的为( )
A.直线 平面
B.
C. 三棱锥 的外接球的半径为
D.若 为 的中点，则 平面
11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， ⊥平面 , ， , 三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上, 则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
12.设a ，则 的最小值为( )
A.11B.121 C.9 D.81
第II卷(非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上
13.已知空间两点 ， ，则它们之间的距离为__________.
14.已知直线 截圆 所得的弦 的中点坐标为 ，则弦 的垂直平分线方程为____________.
15.在正方体 中，对角线 与底面 所成角的正弦值为___________.
16.在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 满足 ，则实数 的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)已知圆 .
(1)求过圆心 且在 轴、 轴上的截距相等的直线方程.
(2)已知过点 的直线 交圆 于 、 两点，且 ，求直线 的方程.
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 中， ，且 900
(2)若 ，四棱锥 的体积为9，求四棱锥 的侧面积
19.(本小题满分12分)已知圆 过两点 ，且圆心 在 上.
(1)求圆 的方程;
(2)设 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 为切点，求四边形 面积的最小值.
20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱 中， 是 上的一点， ，且 .
(1)求证： 平面 ;
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
21.(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， ， ， .
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正切值.
22.(本小题满分12分)已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 .
(1)求圆 的圆心坐标;
(2)求线段 的中点 的轨迹 的方程;
(3)是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点?若存在，求出 的取值范围;若不存在，说明理由.
万州二中高2020级高二上期中期考试理科数学试题
参考答案
ABBCA CCDDBAD
13. 14. 15. 16.
16.【详解】由题意得圆 的圆心为 ，半径为1.
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆.
由题意得圆 和点Q的轨迹有公共点，
∴ ，
解得 .
∴实数 的取值范围是 .
17.【解析】( )①若直线过原点，设 为 ，过圆心为 可得 ，
此时直线方程为 .
②若直线不过原点，设 为 ，即
由过圆心为 可得 ， ，
综上所述，直线方程为 或 .
( )①若斜率不存在，则直线方程为 ，
弦长距 ，半径为 ，则 ，符合题意.
②若斜率存在，设直线方程为 ，
弦心距 得 ，解得 ，
综上所述，直线 的方程为 或 .
18.【解析】(1)
又
又
(2)设 ，则 .
过 作 , 为垂足， 为 中点.
.
. .
四棱锥P-ABCD的侧面积为：
,
。
19.【解析】(1)法一： 线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x-y=0.
解方程组 ，解得 ，所以圆M的圆心坐标为(1,1)，
半径 .
故所求圆M的方程为
法二：设圆M的方程为 ，
根据题意得 ，解得 ， .
故所求圆M的方程为
(2)如图，
由题知，四边形PCMD的面积为
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可。
即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
所以四边形PCMD面积的最小值为 .
20.【解析】(1)如图，
连接 ，交 于点 ，再连接 ，据直棱柱性质知，四边形 为平行四边形， 为 的中点，∵当 时， ，∴ 是 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
(2)如图，在平面 中，过点 作 ，垂足为 ，
∵ 是 中点，
∴点 到平面 与点 到平面 距离相等，
∵ 平面 ，∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
∴ 长为所求，在 中， ， ， ，
∴ ，∴点 到平面 的距离为 .
21.【解析】(Ⅰ)取 的中点 ，连接 ，
因为底面 是边长为 的正三角形，
所以 ，且 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ， 又因为 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 .
(Ⅱ)证明：过 连接
由(Ⅰ)知道： 平面 ,结合三垂线定理得
即为所求角.
在 中，
同理可求
在 中，由面积相等可得
又
22.【解析】(1)圆 化为 ，所以圆 的圆心坐标为
(2)方法一：设线段 的中点 ，由圆的性质可得 垂直于直线 .
设直线 的方程为 (易知直线 的斜率存在)，所以 ， ，所以 ，所以 ，即 .
因为动直线 与圆 相交，所以 ，所以 .
所以 ，，解得 ，
， 综上：
所以 满足
即 的轨迹 的方程为 .
方法二：设线段 的中点， 直线 的方程为 (易知直线 的斜率存在)，则 得：
.解得：
消去 得：
又 解得： 或
的轨迹 的方程为
(3)由题意知直线 表示过定点 ，斜率为 的直线.
结合图形， 表示的是一段关于 轴对称，起点为 按顺时针方向运动到 的圆弧(不包含端点 ).
由条件得： 而当直线 与轨迹 相切时， ，解得 (舍去).
结合图形，可得当 时，直线 与曲线 只有一个交点。
综上所述，当时 直线 与曲线 只有一个交点.
高二理科数学上学期期中试卷
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知 为实数，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为
A. B. C. D.
3.已知向量 , 则
A.300 B.450 C. 600 D.1200
4.已知实数 ，则 的大小关系为
A. B. C. D.
5.若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
6.设直线 与圆 相交于 ， 两点，且弦 的长为 ，则实数
的值是
A. B. C. D.
7.函数 的图像向右平移 个单位后得到的图像关于原点对称，则 的
最小值是
A. B. C. D.
8.已知在平行六面体 中，过顶点A的三条棱所在直线两两夹角均为 ，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线 的长为
A. B. C. D.
9.已知 是双曲线 的右焦点，若点 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好
落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.已知直三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线 与 所成的角的
余弦值为
A. B. C. D.
11.在 中，角 的对边分别为 ， ,且 ，则 面积的最大值为
A. B. C. D.
12.已知 是椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，
线段 与圆 相切于点 (其中 为椭圆的半焦距)，
且 ，则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
二.填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知三点 ， ， 共线，那么 __________
14.等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则数列 的前 项 __ .
15.在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ， ，则 =
16.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交拋物线于 两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，当 点坐标为 时， 为正三角形，则此时 的面积为
__
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆;命题 ：方程 表示离心率 的双曲线。若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围。
18.(本小题满分12分)
如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， .
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
19.(本小题满分12分)
已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ， ，求△ABC的面积S.
20.(本小题满分12分)
已知在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 ，与椭圆 有两个不同的交点 和 .
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ) 设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与
共线?如果存在，求 值;如果不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， 分别是 的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)设 为线段 上的动点，若线段 长的
最小值为 ，求二面角 的余弦值.
22.(本小题满分12分)
已知点 是圆 ： 上任意一点，点 与圆心 关于原点对称.线段 的中垂线与 交于 点.
(Ⅰ)求动点 的轨迹方程 ;
(Ⅱ)设点 ，若直线 轴且与曲线 交于另一点 ，直线 与直线 交于点 ，
证明：点 恒在曲线 上，并求 面积的最大值.
高二理科数学 答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A A C D B D C C B A
二.填空题： 13.1; 14. ; 15. ; 16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆;命题 ：方程 表示离心率 的双曲线。若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围。
解：若命题 为真命题，则： ，解得：
若命题 为真命题，则： ，解得：
若 为真命题， 为假命题，则 和 有且只有1个为真命题。
若 为真命题， 为假命题，则： ，无解.
若 为假命题， 为真命题，则： ，解得： .
综上所述，实数 的取值范围为
18.(本小题满分12分)
如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， .
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
解：(1)取 中点 ，连接 、 、 ，
∵四边形 是边长为 的菱形，∴ .
∵ ，∴ 是等边三角形.
∴ ， .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .∴ .
∵ ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
(2)∵ ，∴ .
由(1)知，平面 平面 ，∴ 平面 ，
∴直线 两两垂直.以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，
则 .
∴ .
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
得 ， ……10分 ∴ ，
由图可知二面角 为锐二面角，∴二面角 的的余弦值为 .
19. (本小题满分12分)
已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ， ，求△ABC的面积S.
解：(Ⅰ)由正弦定理得：
则
整理得 ，又
∴ ，即
(Ⅱ)由余弦定理可知 ，
由(Ⅰ)可知 ,
再由 ，解得 ， ，
∴
20.(本小题满分12分)
已知在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 ，与椭圆 有两个不同的交点 和 .
(I)求 的取值范围;
(II)设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与
共线?如果存在，求 值;如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)由已知条件，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 .
整理得 ①
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 .即 的取值范围为 .
(Ⅱ)设 ，则 ，
由方程①， . ②
又 . ③
而 .
所以 与 共线等价于 ，
将②③代入上式，解得 .
由(Ⅰ)知 或 ，故没有符合题意的常数 .
21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， 分别是 的中点.
(1)证明: ;
(2)设 为线段 上的动点，若线段 长的
最小值为 ，求二面角 的余弦值.
(1)证明： 底面 为菱形， ，
三角形ABC为等边三角形
是BC的中点
，即 .
平面 ， 平面
(2)
22.(本小题满分12分)
已知点 是圆 ： 上任意一点，点 与圆心 关于原点对称.线段 的中垂线与 交于 点.
(1)求动点 的轨迹方程 ;
(2)设点 ，若直线 轴且与曲线 交于另一点 ，直线 与直线 交于点 ，
证明：点 恒在曲线 上，并求 面积的最大值.
解：(1)由题意得， 点坐标为 ，因为 为 中垂线上的点，所以 ，
又 ，所以 ，
由椭圆的定义知动点 的轨迹为椭圆， 和 为两个焦点，且 ， .
所以动点 的轨迹方程 ： .
(2)证明：设 点坐标为 ，则 点的坐标为 ，且 ，
所以直线 ： ，即 ，
直线 ： ，即 ;
联立方程组 ，解得 ， ，则： .
所以点 恒在椭圆 上.
设直线 ： ， ， ，
则 ，消去 整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
从而 ，
令 ，则函数 在 上单调递增，故 ，
所以 ，即当 时， 面积取得最大值，且最大值为 .
高二数学上学期期中考试理科
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1. 某镇有 、 、 三个村，，它们的精准扶贫的人口数量之比为 ，现在用分层抽样的方法抽出容量为 的样本，其中 村有15人，则样本容量 为( )
A 50 B 60 C 70 D 80
2. 已知下面两个程序
甲： 乙：
WHILE DO
WEND LOOP UNTIL
PRINT PRINT
END END
对甲乙两个程序和输出结果判断正确的是( )
A 程序不同，结果不同 B 程序相同，结果不同
C 程序不同，结果相同 D 程序相同，结果相同
3 . 已知 个数 的平均数为 ，方差为 ，则数 的平均数和方差分别为( )
A ， B ， C ， D ，
4.在区间 上随机取一个数 ,使不等式 成立的概率为( )
A B C D
5. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人送来532石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得54粒内夹谷6粒，则这批米内夹谷约为( )
A 59石 B 60石 C 61石 D 62石
6. 下列说法正确的是( )
A 天气预报说明天下雨的概率为 ，则明天一定会下雨
B 不可能事件不是确定事件
C 统计中用相关系数 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若 则两个变量正相关很强
D 某种彩票的中奖率是 ，则买1000张这种彩票一定能中奖
7. 从高二某班级中抽出三名学生。设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则( )
A 甲与丙互斥 B 任何两个均互斥 C 乙与丙互斥 D 任何两个均不互斥
8. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是( )
A B C D
9. 某个商店为了研究气温对饮料销售的影响，得到了一个卖出饮料数与当天气温的统计表，根据下表可得回归直线方程 中的 为6，则预测气温为 时，销售饮料瓶数为( )
摄氏温度 -1 2 9 13 17
饮料瓶数 2 30 58 81 119
A 180 B 190 C 195 D 200
10. 已知 ，则 的值为( )
A 24 B 25 C 26 D 27
11. 在某个微信群的一次抢红包活动中，若所发红包的总金额10元，被随机分配为1.34元、2.17元、3.28元、1.73元和1.48元共5个供甲和乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲和乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )
A B C D
12. 设集合 ，集合 ， 若 的概率为1，则 的取值范围是( )
A B C D
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 二进制数110101转化为六进制数是
14. 某学校有300名教职工，现要用系统抽样的方法从中抽取50名教职工。将全体教职工按1～300编号，并按编号顺序平均分为50组(1～ 6号，7～12号， ，295～300号),若第3组抽出的号码是15，则第6组抽出的号码为
15. 由1、2、3、4、5组成无重复数字的四位奇数的个数是
16. 的展开式中 的一次项系数为
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分10分)
已知一个5次多项式为 ，用秦九韶算法求这个多项式当 时的值。
18、(本小题满分12分) 已知一工厂生产了某种产品700件，该工厂对这些产品进行了安全和环保这两个性能的质量检测。工厂决定利用随机数表法从中抽取100件产品进行抽样检测，现将700件产品按001，002， ,700进行编号;
(1)如果从第8行第4列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3件产品的编号;
(下面摘取了随机数表的第7～9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100件产品的安全性能和环保性能的质量检测结果如下表：
检测结果分为优等、合格、不合格三个等级，横向和纵向分别表示安全性能和环保性能。若在该样本中，产品环保性能是优等的概率是35%，求 的值;
件数 环保性能
优等 合格 不合格
安全性能 优等 6 20 5
合格 10 18 6
不合格
4
(3)已知 ，求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率。
19、(本小题满分12分)现有A和B两个盒子装有大小相同的黄乒乓球和白乒乓球，A盒装有2个黄乒乓球，2个白乒乓球;B盒装有2个黄乒乓球， 个白乒乓球。 现从A、B两盒中各任取2个乒乓球。
(1)若 ，求取到的4个乒乓球全是白的概率;
(2)若取到的4个乒乓球中恰有2个黄的概率为 , 求 的值。
20、(本小题满分12分)某果农选取一片山地种植红柚，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间(40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图。已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的43倍。
(1)求 、 的值;
(2)求样本的平均数;
(3)从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率。
21、(本小题满分12分)
在 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 。
(1)求 的值;
(2)求展开式中所有的有理项;
(3)求展开式中系数最大的项。
22、(本小题满分12分)甲、乙两名同学决定在今年的寒假每天上午9：00—10：00在图书馆见面，一起做寒假作业，他们每次到图书馆的时间都是随机的。若甲先到图书馆而乙在10分钟后还没到，则甲离开图书馆;若乙先到图书馆而甲在15分钟后还没到，则乙离开图书馆。求他们两人在开始的第一天就可以见面的概率。
2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试
高二数学试卷(理科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A A C A A B B C D
二、填空题
13. 14. 33 15. 72 16. 200
三、解答题
17解：根据秦九韶算法把多项式改成如下形式：
(2分)
按照从内到外的顺序依次计算
多项式的值为43.3 (10分)
18解：(1)依题意，最先检测的三件产品的编号为163,567,199; (3分)
(2)由 %，得 ， (5 分)
(7分)
(3)由题意， 且 ，
所以满足条件的 有：
共12组，且每组出现的可能性相同(9分)
其中环保性能为优等的件数比不合格的件数少有 共4组，所以环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率为 (12分)
19 解：(1)设“取到的4个乒乓球全是白球”为事件A,
则 (5分)
(2) 设“取到的4个乒乓球中恰有2个黄的”为事件B, .
则 (7分)
= (9分)
化简得：
解得 或 (舍去)，所以 (12分)
20解：(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有 (株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有 (株)则有
即
根据频率分布直方图可知 . (2分)
解组成的方程组得 (4分)
(2)平均数 (8分)
(3)样本中产量在区间(50,55]上的果树有 (株)，产量在区间(55,60]上的果树有 (株)
设“从样本中产量在区间(50,60]上的果树里随机抽取两株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件 ，则
(12分)
21解：(1)有题意知： ，则第4项的系数为 ，
倒数第4项的系数为 ， (2分)
则有 即 ， (4分)
(2)由(1)可得 ，当 时
所有的有理项为 即 ， ，
， (8分)
(3)设展开式中第 项的系数最大，则
(10分)
故系数最大项为 (12分)
22解：以 和 分别表示甲和乙到达图书馆的时间，则两人见面的条件是：一是甲先到： ，二是乙先到：
建立直角坐标系如图所示：
(4分)
则 的所有可能结果是边长为60的正方形， (8分)
而可能见面的时间用图中的阴影部分表示，
(10分)
于是他们见面的概率为： (12分)
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