2016年高二文科数学上学期期末试卷
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2016年高二文科数学上学期期末试卷及解析
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )
A.∀x∉R，log2x=2015 B.∀x∈R，log2x≠2015
C.∃x0∈R，log2x0=2015 D.∃x0∈R，log2x0≠2015
2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32
C.5，6，7，8，9 D.6，16，26，36，46
3.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )
A. B. C. D.
4.双曲线 的渐近线方程为( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.
5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;
③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )
A.98 B.105 C.112 D.119
7.运行如图的程序后，输出的结果为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆 过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )
A.2x﹣y﹣3=0 B. 2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0
9.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )
A.2 B. C. D.8
11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)
若 + = ，则实数a的值为( )
A. B.2 C. D.2或
12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )
A.(2，4) B.(4，6) C.[2，4]D.[4，6]
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.
13.将十进制数2016(10)化为八进制数为 .
14.已知变量x与y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 8﹣a 9+a 12
从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程 必经过的定点为 .
15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为 .
16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：
①函数f(x)为奇函数;
②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);
③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;
④函数f(x)的最小值为 .
其中说法正确的序号是 (请写出所有正确说法的序号).
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?
(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.
19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A;
(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数 有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.
20.已知双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0).
(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于 的概率;
(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于 的概率.[来源:Zxxk.Com]
21.已知椭圆C： 的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且 ，求k的取值范围.
22.已知函数 .
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.
2015-2016学年福建省三明市A片区高中联盟校高二(上)期末数学试卷(文科)
2016年高二文科数学上学期期末试卷参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知命题p：∀x∈R，log2x=2015，则￢p为( )
A.∀x∉R，log2x=2015 B.∀x∈R，log2x≠2015
C.∃x0∈R，log2x0=2015 D.∃x0∈R，log2x0≠2015
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x0∈R，log2x0≠2015，
故选：D.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.
2.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32
C.5，6，7，8，9 D.6，16，26，36，46
【分析】利用系统抽样的性质求解.
【解答】解：∵要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，
∴所选取的5袋奶粉的编号应该分别在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，
且所选取的5袋奶粉的编号间隔相等，
由此能排除A、B、C，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是D.
故选：D.
【点评】本题考查用系统抽样方法确定所选取样本的编号的求法，是基础题，解题时要注意系统抽样的性质的合理运用.
3.如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用列举法求出基本事件空间，由此能求出结果.
【解答】解：一个家庭有两个小孩，
基本事件为：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，
∴两个孩子是一男一女的概率为p= .
故选：C.
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.
4.双曲线 的渐近线方程为( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C. D.
【分析】由双曲线 ﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，即可得到所求双曲线的渐近线方程.
【解答】解：由双曲线 ﹣ =1(a，b>0)的渐近线方程为y=± x，
可得双曲线 的渐近线方程为y=± x.
故选：D.
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题.
5.甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等;
③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是( )[来源:Z_xx_k.Com]
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙两同学成绩的中位数、平均数与方差即可.
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得;
甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误;
甲同学的平均分是 = (87+89+90+91+93)=90，
乙同学的平均分是 = (88+89+90+91+92)=90，平均分相等，②正确;
甲同学成绩的方差是 = [(﹣3)2+(﹣1)2+02+12+32]=4，
乙同学成绩的方差是 = [(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22]=2， > ，③正确;
综上，正确的命题是②③.
故选：B.
【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题.
6.用秦九韶算法求多项式f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f(2)的值为( )
A.98 B.105 C.112 D.119
【分析】f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，即可得出.
【解答】解：f(x)=4x4+3x3+2x2+x+7=(((4x+3)x+2)x+1)x+7，
∴f(2)=(((4×2+3)×2+2)×2+1)×2+7=105，
故选：B.
【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7.运行如图的程序后，输出的结果为( )
A. B. C. D.
【分析】根据程序语言的运行过程，得出程序运行后输出的S= + + + + ;计算S的值即可.
【解答】解：根据程序语言的运行过程，得
该程序运行后输出的是S= + + + + ;
计算S=(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )=1﹣ = .
所以输出S= .
故选：C.
【点评】本题利用程序语言考查了数列求和的应用问题，是基础题目.
8.已知椭圆 过点P(﹣2，1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为( )
A.2x﹣y﹣3=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.x﹣2y﹣4=0 D.x﹣2y+4=0
【分析】判断点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程，运用作差法，结合直线的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程.
【解答】解：将P(﹣2，1)代入椭圆方程可得： + <1，即点P在椭圆内，
设弦的端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
可得 + =1， + =1，
相减可得 + =0，
则弦所在直线的斜率为 =﹣ ，
由中点坐标公式可得，x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
可得斜率为﹣ = ，
即有直线的方程为y﹣1= (x+2)，
即为x﹣2y+4=0.
故选：D.
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，直线方程的求法，注意运用点差法，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题.
9.已知g(x)为函数f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】利用导数与函数之间的关系.把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出恰当的图象.确定出答案.
【解答】解：∵f(x)=2ax3﹣3ax2﹣12ax(a≠0)，
∴g(x)=f′(x)=6ax2﹣6ax﹣12a=6a ﹣ ，
对称轴x= ，而f′(﹣1)=f′(2)=0，
根据f′(x)>0时，y=f(x)递增;f′(x)<0时，y=f(x)递减可得.
①中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确;
而②④中的对称轴不是 ，③中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间不吻合，故错误，
故选：A.
【点评】本题考查函数与其导函数的关系，函数的递增区间即为导函数为正的区间，函数的递减区间即为导函数为负的区间，根据这个依赖性可以确定出函数图形吻合的是哪一个.
10.已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为( )
A.2 B. C. D.8
【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，求弦AB的长，再求出原点到直线的距离，即可求得△OAB的面积.
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，
∵直线l：y=x+b经过抛物线的焦点，
∴b=﹣1，
∴直线l：y=x﹣1，
由抛物线的定义：|AB|=xA+xB+2，
将直线与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣6x+1=0，
∴xA+xB=6，
∴|AB|=8，
∵原点到直线的距离为d= ，
∴S= =2 .
故选：B.
【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出弦AB的长.
11.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f(x)=ax•g(x)(a>0，且a≠1;②g(x)≠0;③f′(x)•g(x)
若 + = ，则实数a的值为( )
A. B.2 C. D.2或
【分析】先根据 + = ，得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数 =ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可.
【解答】解：由 + = ，得a1+a﹣1= ，
所以a=2或a= .
又由f(x)•g′(x)>f′(x)•g(x)，
即f(x)g′(x)﹣f′(x)g(x)>0，
也就是[ ]′=﹣ <0，
说明函数 =ax是减函数，
即0
故选：A.
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察.
12.如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆(y﹣1)2+x2=4的实线部分(即在抛物线开口内的圆弧)交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是( )
A.(2，4) B.(4，6) C.[2，4]D.[4，6]
【分析】圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，可得|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，利用1
【解答】解：圆(y﹣1)2+x2=4的圆心为(0，1)，与抛物线的焦点重合，
∴|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，
∴三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，
∵1
∴三角形ABF的周长的取值范围是(4，6).
故选：B.
【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分.
13.将十进制数2016(10)化为八进制数为 3740(8) .
【分析】将十进制数2016转化为八进制数，利用除K取余法直接计算得解.
【解答】解：2016÷8=252…0
252÷8=31…4
31÷8=3…7
3÷8=0…3
∴化成8进制是3740(8).
故答案为：3740(8).
【点评】本题考查带余除法，进位制的转化，由十进制数转化为八进制数，用除K取余法计算即可，属于基础题.
14.已知变量x与y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 8﹣a 9+a 12
从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程 必经过的定点为 (4，9) .
【分析】由最小二乘法原理可知线性回归方程必经过数据中心( ).
【解答】解： = =4， = =9，
∴线性回归方程必经过(4，9).
故答案为(4，9).
【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题.
15.已知P为圆M：(x+2)2+y2=4上的动点，N(2，0)，线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为 x2﹣ =1 .
【分析】由中垂线的性质可知|QN|=|PQ|，故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，所以Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.
【解答】解：∵Q在PN的中垂线上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，
∴Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线.
设双曲线方程为 ，则 ，又∵a2+b2=c2，∴a2=1，b2=3，
∴点Q的轨迹方程为x2﹣ =1.
故答案为x2﹣ =1.
【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题.
16.已知函数f(x)=xex，现有下列五种说法：
①函数f(x)为奇函数;
②函数f(x)的减区间为(﹣∞，1)，增区间为(1，+∞);
③函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;
④函数f(x)的最小值为 .
其中说法正确的序号是 ③④ (请写出所有正确说法的序号).
【分析】根据奇函数的定义判断①，求出函数的导数，得到函数的单调区间，判断②③④即可.
【解答】解：①f(﹣x)=(﹣x)• ≠﹣f(x)，不是奇函数，故①错误;
②f′(x)=(1+x)ex，
当x∈(﹣∞，﹣1)时，f′(x)<0，当x∈(﹣1，+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，
故②错误;
③∵f′(x)=(1+x)ex，∴f′(0)=1，
即函数f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为1;
故③正确;
④f(x)的单调递增区间为(﹣1，+∞)，单调递减区间为(﹣∞，﹣1)，
∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣ ，
故④正确;
故答案为：③④.
【点评】本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设命题p：|x﹣2|>1;命题q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【分析】由p：|x﹣2|>1，解出x的范围.由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0，解出x的范围.由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件.
【解答】解：由p：|x﹣2|>1，
解得x<1或x>3.…(3分)
由q：x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)[x﹣(a+1)]≥0，
解得x≤a或x≥a+1.…(6分)
∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件.…(8分)
∴ ，则1≤a≤2.
∴实数a的取值范围是[1，2].(10分)
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18.某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60，65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求体重在[60，65)内的频率，并补全频率分布直方图;
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人?
(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数.
【分析】(1)利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65)内的频率，由此能补全的频率分布直方图.
(2)设男生总人数为n，由 ，可得n=1000，从而体重超过65kg的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数.
(3)利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数.
【解答】解：(1)体重在[60，65)内的频率=1﹣(0.03+0.07+0.03+0.02+0.01)×5=0.2
= ，
补全的频率分布直方图如图所示.…(4分)
(2)设男生总人数为n，
由 ，可得n=1000
体重超过65kg的总人数为(0.03+0.02+0.01)×5×1000=300
在[65，70)的人数为0.03×5×1000=150，应抽取的人数为 ，
在[65，70)的人数为0.02×5×1000=100，应抽取的人数为 ，
在[75，80)的人数为0.01×5×1000=50，应抽取的人数为 .
所以在[65，70)，[70，75)，[75，80]三段人数分别为3，2，1.…(8分)
(3)中位数为60kg
平均数为(52.5×0.03+57.5×0.07+62.5×0.04+67.5×0.03+72.5×0.02+77.5×0.01)×5=61.75(kg)…(12分)
【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的作法，考查中位数、平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、频率分布直方图的性质的合理运用.
19.(1)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A;
(2)命题p：a∈A，其中集合A为第(1)题中的s的取值范围;命题q：函数 有极值;若p∧q为真命题，求实数a的取值范围.
【分析】(1)由程序框图可知，分段函数的对称轴为t=2，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，解得smax=3，smin=2，即可解得集合A.
(2)函数 有极值，等价于f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，由此能求出命题p：a<﹣1或a>1，利用p∧q为真命题，建立不等式组，即可解得实数a的取值范围.
【解答】(本题满分为12分)
解：(1)由程序框图可知，当﹣1≤t<1时，s=2t，则s∈[﹣2，2)，
当1≤t≤3时，s=﹣(t﹣2)2+3，
∵该函数的对称轴为t=2，
∴该函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减.
∴smax=3，smin=2，
∴s∈[2，3].
综上知，s∈[﹣2，3]，集合A=[﹣2，3].…(4分)
(2)∵函数 有极值，且f′(x)=x2+2ax+1，
∴f′(x)=0有两个不相等的实数根，即△=(2a)2﹣4>0，解得a<﹣1或a>1，
即命题p：a<﹣1或a>1.…(8分)
∵p∧q为真命题，
∴则 ，解得﹣2≤a<﹣1或1
∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1)∪(1，3].…(12分)
【点评】本题主要考查了选择结构的程序框图，考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.
20.已知双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0).
(1)有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4.若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于 的概率;
(2)在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于 的概率.
【分析】(1)由双曲线C的离心率小于 ，得到0
(2)由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C的离心率小于 的概率.
【解答】解：(1)双曲线的离心率 .
因为 ∴ .…(2分)
因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，
所以基本事件(a，b)共有16个：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
设“双曲线C的离心率小于 ”为事件A，
则事件A所包含的基本事件为：
(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共有12个.
故双曲线C的离心率小于 的概率为 .…(7分)
(2)∵a∈[1，6]，b∈[1，6]
∴
所以以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，如图所示，
S阴影= =21，
由几何概型可知，双曲线C的离心率小于 的概率为 .…(12分)
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用.
21.已知椭圆C： 的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为k的直线l经过点M(4，0)，与椭圆C相交于A，B两点，且 ，求k的取值范围.
【分析】(1)由已知得2c=2，a=2，由此能求出椭圆C的标准方程.
(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，与椭圆联立，得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，能求出k的取值范围.
【解答】解：(1)∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，
∴2c=2，a=2，∴b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C的标准方程为 .…(4分)
(2)设直线l的方程为y=k(x﹣4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立 ，消去y可得((3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0
∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴△>0
由△=(32k2)2﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0解得
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
则 ， …(7分)
解得 ∴
∴k的取值范围是﹣ 或 .…(12分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用.
22.已知函数 .
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时，若函数f(x)在[1，e]上的最小值记为g(a)，请写出g(a)的函数表达式.
【分析】(1)求出函数的导数，求出f(1)，f′(1)的值，代入切线方程即可;
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可.
【解答】解：(1)∵ ，
∴
当a=1时， ，
f(1)=3，k=f′(1)=﹣2，
曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：
y﹣3=﹣2(x﹣1)即2x+y﹣5=0.…(3分)
(2) ，
∵a>0，x>0，由f′(x)>0得x>2a，由f′(x)<0得0
∴f(x)在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(5分)
①当0<2a≤1即0
∴g(a)=f(1)=2a2+1在(0，2a]上为减函数，在(2a，+∞)上为增函数.…(7分)
②当1<2a
∴g(a)=f(2a)=﹣aln(2a)+3a…(9分)
③当2a≥e即a≥ 时，f(x)在[1，e]上为减函数，
∴ …(11分)
综上所述， …(12分)
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.
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