七年级数学下学期期中试卷
培养学生数学学习兴趣的途径很多，如让学生积极参与教学活动，并让其体验到成功的愉悦，今天小编就给大家看看七年级数学，仅供参考哦
七年级数学下学期期中试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(3分)下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
3.(3分)如图AB∥CD，则∠1=( )
A.75° B.80° C.85° D.95°
4.(3分)在实数﹣ ，0. ， ，π， 中，无理数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(3分) 的平方根是( )
A.2 B.4 C.﹣2或2 D.﹣4或4
6.(3分)在平面直角坐标系中，点P(﹣3，5)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.(3分)已知坐标平面内点M(a，b)在第三象限，那么点N(b，﹣a)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.(3分)已知x=3﹣k，y=k+2，则y与x的关系是( )
A.x+y=5 B.x+y=1 C.x﹣y=1 D.y=x+1
9.(3分)若方程组 的解x和y的值相等，则k的值为( )
A.4 B.11 C.10 D.12
10.(3分)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是( )
A.(2016，1) B.(2016，0) C.(2016，2) D.(2017，0)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.(3分)把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是： .
12.(3分)点P(﹣2，3)关于x轴对称点的坐标是 ，关于原点对称点的坐标是 ，关于y轴的对称点的坐标是 ;
13.(3分)若 +(n﹣2)2=0，则m= ，n= .
14.(3分)直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′点，那么O′点对应的数是 .
15.(3分)已知方程组 的解也是方程3x﹣2y=0的解，则k= .
16.(3分)已知点P(3，﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1﹣b)，则ab的值为 .
三.解答题(共72分)
17.(8分)计算题
(1) + ﹣ +
(2) ﹣ ﹣ + +
18.(9分)如图，已知单位长度为1的方格中有个△ABC.
(1)请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′;
(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出)，然后写出点B、B′的坐标;
(3)求出△ABC面积.
19.(7分)如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，求出这个正数的立方根.
20.(4分)用适当方法(代入法或加减法)解下列方程组.
(1)
(2)
21.(9分)如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动(即：沿着长方形移动一周).
(1)写出B点的坐标( );
(2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标.
(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间.
22.(7分)如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：AC∥DF.
23.(8分)甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ;乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算a2006+(﹣ b)2007的值.
24.(8分)如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法.
证法1：如图1，延长BC到D，过C画CE∥BA.
∵BA∥CE(作图2所知)，
∴∠B=∠1，∠A=∠2(两直线平行，同位角、内错角相等).
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
如图3，过BC上任一点F，画FH∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A+∠B+∠C=180°吗?请你试一试.
25.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(n，0)且a、n满足|a+2|+ =0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD.
(1)求点C，D的坐标及四边形OBDC的面积;
(2)如图2，若 点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时(不与B，D重合) 的值是否发生变化，并说明理由.
(3)在四边形OBDC内是否存在一点P，连接PO，PB，PC，PD，使S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1?若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(3分)下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可.
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项的是对顶角，其它都不是.
故选：C.
【点评】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
2.(3分)如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断.
【解答】解：当∠1=∠3时，a∥b;
当∠4=∠5时，a∥b;
当∠2+∠4=180°时，a∥b.
故选：B.
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行.
3.(3分)如图AB∥CD，则∠1=( )
A.75° B.80° C.85° D.95°
【分析】延长BE交CD于点F，根据平行线的性质求得∠BFD的度数，然后根据三角形外角的性质即可求解.
【解答】解：延长BE交CD于点F.
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFD=180°，
∴∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣120°=60°，
∴∠1=∠ECD+∠BFD=25°+60°=85°.
故选：C.
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是关键.
4.(3分)在实数﹣ ，0. ， ，π， 中，无理数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案.
【解答】解： ，π是无理数，
故选：B.
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
5.(3分) 的平方根是( )
A.2 B.4 C.﹣2或2 D.﹣4或4
【分析】先对 进行化简，可得 =4，求 的平方根就是求4的平方根，只要求出4的平方根即可，本题得以解决.
【解答】解：∵ ，
∴ 的平方根是±2，
故选：C.
【点评】本题考查算术平方根、平方根，解题的关键是先对 进行化简，学生有时误认为求16的平方根，这是易错点，要注意.
6.(3分)在平面直角坐标系中，点P(﹣3，5)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.
【解答】解：点P(﹣3，5)所在的象限是第二象限.
故选：B.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+);第二象限(﹣，+);第三象限(﹣，﹣);第四象限(+，﹣).
7.(3分)已知坐标平面内点M(a，b)在第三象限，那么点N(b，﹣a)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数表示出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答.
【解答】解：∵点M(a，b)在第三象限，
∴a<0，b<0，
∴﹣a>0，
∴点N(b，﹣a)在第二象限.
故选：B.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+);第二象限(﹣，+);第三象限(﹣，﹣);第四象限(+，﹣).
8.(3分)已知x=3﹣k，y=k+2，则y与x的关系是( )
A.x+y=5 B.x+y=1 C.x﹣y=1 D.y=x+1
【分析】利用x=3﹣k，y=k+2，直接将两式左右相加得出即可.
【解答】解：∵x=3﹣k，y=k+2，
∴x+y=3﹣k+k+2=5.
故选：A.
【点评】此题主要考查了等式的基本性质，根据已知将两式左右相加等式仍然成立得出是解题关键.
9.(3分)若方程组 的解x和y的值相等，则k的值为( )
A.4 B.11 C.10 D.12
【分析】x和y的值相等，把第一个式子中的y换成x，就可求出x与y的值，这两个值代入第二个方程就可得到一个关于k的方程，从而求得k的值.
【解答】解：把y=x代入4x+3y=1得：7x=1，
解得x= ，
∴y=x= .
把y=x= 得： k+ (k﹣1)=3，
解得：k=11
故选：B.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法.
10.(3分)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是( )
A.(2016，1) B.(2016，0) C.(2016，2) D.(2017，0)
【分析】设第n此运动后点P运动到Pn点(n为自然数).根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2)”，依此规律即可得出结论.
【解答】解：设第n此运动后点P运动到Pn点(n为自然数).
观察，发现规律：P0(0，0)，P1(1，1)，P2(2，0)，P3(3，2)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，
∴P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2).
∵2016=4×504，
∴P2016(2016，0).
故选：B.
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律“P4n(4n，0)，P4n+1(4n+1，1)，P4n+2(4n+2，0)，P4n+3(4n+3，2)”.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，罗列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键.
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.(3分)把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是： 如果两个角是对顶角，那么它们相等 .
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式.
【解答】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述，注意确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式.
12.(3分)点P(﹣2，3)关于x轴对称点的坐标是 (﹣2，﹣3) ，关于原点对称点的坐标是 (2，﹣3) ，关于y轴的对称点的坐标是 (2，3) ;
【分析】利用关于原点对称点的坐标性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标性质分别得出答案.
【解答】解：点P(﹣2，3)关于原点的对称点的坐标为：(2，﹣3)，
关于x轴的对称点的坐标为(﹣2，﹣3)，
关于y轴的对称点的坐标为(2，3).
故答案为：(﹣2，﹣3);(2，﹣3);(2，3).
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟记对称的点的横坐标与纵坐标关系是解题的关键.
13.(3分)若 +(n﹣2)2=0，则m= 1 ，n= 2 .
【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、n的值即可.
【解答】解：由题意得，m﹣1=0，n﹣2=0，
解得m=1，n=2.
故答案为：1;2.
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.
14.(3分)直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O′点，那么O′点对应的数是 π .
【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数.
【解答】解：因为圆的周长为π•d=1×π=π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π.
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离.
15.(3分)已知方程组 的解也是方程3x﹣2y=0的解，则k= ﹣5 .
【分析】由题意，建立关于x，y的二元一次方程组，求得解后，再代入4x﹣3y+k=0的方程而求解的.
【解答】解：根据题意，联立方程 ，
运用加减消元法解得 ，
再把解代入方程4x﹣3y+k=0，
得k=﹣5.
【点评】本题先通过建立二元一次方程组，求得x，y的值后，再代入关于k的方程而求解的.
16.(3分)已知点P(3，﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1﹣b)，则ab的值为 25 .
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案.
【解答】解：∵点P(3，﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1﹣b)，
∴ ，
解得： ，
则ab的值为：(﹣5)2=25.
故答案为：25.
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.
三.解答题(共72分)
17.(8分)计算题
(1) + ﹣ +
(2) ﹣ ﹣ + +
【分析】(1)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案;
(2)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案.
【解答】解：(1) + ﹣ +
=2+0﹣ ﹣
=2;
(2) ﹣ ﹣ + +
=﹣3﹣0﹣ +0.5+
=﹣2 .
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.
18.(9分)如图，已知单位长度为1的方格中有个△ABC.
(1)请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C′;
(2)请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出)，然后写出点B、B′的坐标;
(3)求出△ABC面积.
【分析】(1)首先找到A、B、C三点的对应点，然后再顺次连接即可;
(2)画出坐标系，再写出点的坐标即可;
(3)利用正方形的面积减去周围多余三角形的面积可得答案.
【解答】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：B(1，2)，B′(3，5);
(3)△ABC面积：3×3﹣1×2× ﹣1×3× ﹣2×3× =3.5.
【点评】此题主要考查了平移作图，关键是正确画出图形，第三问补全后再减去，求解三角形的面积值得同学们参考掌握.
19.(7分)如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，求出这个正数的立方根.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得出关于a的方程，解出即可.
【解答】解：由题意知a+1+2a﹣22=0，
解得：a=7，
则a+1=8，
∴这个正数为64，
∴这个正数的立方根为4.
【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，注意掌握一个正数的两个平方根互为相反数.
20.(4分)用适当方法(代入法或加减法)解下列方程组.
(1)
(2)
【分析】(1)利用加减消元法求解可得;
(2)利用加减消元法求解可得.
【解答】解：(1) ，
①+②，得：3x=﹣3，
解得：x=﹣1，
将x=﹣1代入①，得：﹣1+y=1，
解得：y=2，
所以方程组的解为 ;
(2) ，
①×3+②×2，得：13x=52，
解得：x=4，
将x=4代入②，得：8+3y=17，
解得：y=3，
所以方程组的解为 .
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
21.(9分)如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动(即：沿着长方形移动一周).
(1)写出B点的坐标( 4，6 );
(2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标.
(3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间.
【分析】(1)根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可;
(2)先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标;
(3)根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间=路程÷速度列式计算即可得解.
【解答】解：(1)∵A点的坐标为(4，0)，C点的坐标为(0，6)，
∴OA=4，OC=6，
∴点B(4，6);
故答案为：4，6.
(2)如图所示，
∵点P移动了4秒时的距离是2×4=8，
∴点P的坐标为(2，6);
(3)点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5，
若点P在OC上，则OP=5，
t=5÷2=2.5秒，
若点P在AB上，则OP=OC+BC+BP=6+4+(6﹣5)=11，
t=11÷2=5.5秒，
综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒.
【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于(3)要分情况讨论.
22.(7分)如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D.试说明：AC∥DF.
【分析】根据已知条件∠1=∠2及对顶角相等求得同位角∠2=∠3，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C=∠ABD;然后由已知条件∠C=∠D推知内错角∠D=∠ABD，所以两直线AC∥DF.
【解答】证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠1=∠3( 对顶角相等 )，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代换)，
∴AC∥DF( 内错角相等，两直线平行).
【点评】本题考查了平行线的判定与性质.解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
23.(8分)甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ;乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算a2006+(﹣ b)2007的值.
【分析】将 代入方程组的第二个方程，将 代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，代入即可求出所求式子的值.
【解答】解：将 代入方程组中的4x﹣by=﹣2得：﹣12+b=﹣2，即b=10;
将 代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=﹣1，
则a2006+(﹣ b)2007=1﹣1=0.
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.
24.(8分)如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法.
证法1：如图1，延长BC到D，过C画CE∥BA.
∵BA∥CE(作图2所知)，
∴∠B=∠1，∠A=∠2(两直线平行，同位角、内错角相等).
又∵∠BCD=∠BCA+∠2+∠1=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
如图3，过BC上任一点F，画FH∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A+∠B+∠C=180°吗?请你试一试.
【分析】根据平行线性质得出∠1=∠C，∠3=∠B，∠2+∠AGF=180°，∠A+∠AGF=180°，推出∠2=∠A，即可得出答案.
【解答】证明：如图3，
∵HF∥AC，
∴∠1=∠C，
∵GF∥AB，
∴∠B=∠3，
∵HF∥AC，
∴∠2+∠AGF=180°，
∵GF∥AH，
∴∠A+∠AGF=180°，
∴∠2=∠A，
∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
【点评】本题考查了平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力.
25.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(n，0)且a、n满足|a+2|+ =0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD.
(1)求点C，D的坐标及四边形OBDC的面积;
(2)如图2，若 点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时(不与B，D重合) 的值是否发生变化，并说明理由.
(3)在四边形OBDC内是否存在一点P，连接PO，PB，PC，PD，使S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1?若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由.
【分析】(1)根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出b和n，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位，则纵坐标加4，向右平移3个单位，则横坐标加3，求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式，列式计算;
(2)根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变;
(3)根据面积相等的特殊性可知，点P为平行四边形ABCD对角线的交点，即PB=PC，因此根据中点可求出点P的坐标.
【解答】解：(1)如图1，
由题意得，a+2=0，a=﹣2，则A(﹣2，0)，
5﹣n=0，n=5，则B(5，0)，
∵点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，
∴点C(1，4)，D(8，4);
∵OB=5，CD=8﹣1=7，
∴S四边形OBDC= (CD+OB)×h= ×4×(5+7)=24;
(2) 的值不发生变化，且值为1，理由是：
由平移的性质可得AB∥CD，
如图2，过点P作PE∥AB，交AC于E，则PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴ =1，比值不变.
(3)存在，如图3，连接AD和BC交于点P，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BP=CP，
∴S△PCD=S△PBD; S△POB：S△POC=1，
∵C(1，4)，B(5，0)
∴P(3，2).
七年级数学下期中试卷试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE=2，则EF是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，已知AB∥CD，∠A=70°，则∠1度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.130°
3.如图所示，下列条件能判断a∥b的有( )
A.∠1+∠2=180° B.∠2=∠4 C.∠2+∠3=180° D.∠1=∠3
4.下列式子不正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a2•a3=a5 C.(a3)2=a6 D.a3÷a2=a
5.二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
6.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
7.下列式子正确的是( )
A.(﹣x﹣y)(x+y)=x2﹣y2
B.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
C.(﹣4m2)3=﹣4m6
D.
8.若关于x，y的二元一次方程组的解都为正整数，且m为非负数，则m的值有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
9.已知x2﹣3x=2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是( )
A.9 B.11 C.12 D.13
10.已知a，b是实数，x=a2+b2+24，y=2(3a+4b)，则x，y的大小关系是( )
A.x≤y B.x≥y C.x
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
11.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 .
12.2x3y2与12x4y的公因式是 .
13.(4m2﹣6m)÷(2m)= .
14.如果多项式x2+mx+16是另一个多项式的平方，那么m= .
15.若代数式x2﹣8x+a可化为(x﹣b)2+1，则a+b= .
16.某校为住校生分宿舍，若每间7人，则余下3人;若每间8人，则有5个空床位，设该校有住校生x人，宿舍y间，则可列出方程组为 .
17.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α= .
18.xa=3，xb=4，则x2a﹣3b= .
19.如图，白色长方形的面积为3，且长比宽多4，以长方形的一组邻边为边向外作如图所示两个灰色的等腰直角三角形，则两个灰色等腰直角三角形的面积和为 .
20.把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 .
三、解答题(本大题共6小题，共计50分)
21.(9分)计算或化简
(1)﹣12018+2﹣3+(3.14﹣π)0
(2)2a2•a3÷a4
(3)(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)2
22.(9分)因式分解
(1)2x3﹣8x
(2)x2﹣2x﹣3
(3)4a2+4ab+b2﹣1
23.(6分)选用适当的方法解下列方程组
(1)
(2)
24.(8分)如图，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠D的2倍比∠B的大90°，求∠B，∠D的度数.
25.(8分)如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”.例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数.
(1)15和40是奇妙数吗?为什么?
(2)如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗?为什么?
(3)如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数.
26.(10分)某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装.调研部门发现：1名热练工和2名新工人每日可安装8辆自行车;2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车.
(1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
(2)如果工厂招聘n名新工人(0
(3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行使路程为11千公里;如安装在后轮，安全行使路程为9千公里.请问一对轮胎能行使的最长路程是多少千公里?
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE=2，则EF是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解.
【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1.
∴EF=BC=BE+EC=1+2=3，
故选：C.
【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.
2.如图，已知AB∥CD，∠A=70°，则∠1度数是( )
A.70° B.100° C.110° D.130°
【分析】两条直线平行，内错角相等，然后根据邻补角的概念即可解答.
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠2=70°(两直线平行，内错角相等)，
再根据平角的定义，得
∠1=180°﹣70°=110°，
故选：C.
【点评】注意平行线的性质的运用，此类题方法要灵活.也可以求得∠A的同旁内角，再根据对顶角相等，进行求解.
3.如图所示，下列条件能判断a∥b的有( )
A.∠1+∠2=180° B.∠2=∠4 C.∠2+∠3=180° D.∠1=∠3
【分析】根据平行线的判定即可判断.
【解答】解：A、∵∠1+∠2=180°，不能判定a∥b，错误;
B、∵∠2=∠4，∴a∥b，正确;
C、∵∠2+∠3=180°，不能判定a∥b，错误;
D、∵∠1=∠3，不能判定a∥b，错误;
故选：B.
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于基础题.
4.下列式子不正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a2•a3=a5 C.(a3)2=a6 D.a3÷a2=a
【分析】直接利用整式乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案.
【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项正确;
B、a2•a3=a5，正确，不合题意;
C、(a3)2=a6，正确，故此选项错误;
D、a3÷a2=a，正确，故此选项错误;
故选：A.
【点评】此题主要考查了整式乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键.
5.二元一次方程x﹣2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
【分析】将x、y的值分别代入x﹣2y中，看结果是否等于1，判断x、y的值是否为方程x﹣2y=1的解.
【解答】解：A、当x=0，y=﹣时，x﹣2y=0﹣2×(﹣)=1，是方程的解;
B、当x=1，y=1时，x﹣2y=1﹣2×1=﹣1，不是方程的解;
C、当x=1，y=0时，x﹣2y=1﹣2×0=1，是方程的解;
D、当x=﹣1，y=﹣1时，x﹣2y=﹣1﹣2×(﹣1)=1，是方程的解;
故选：B.
【点评】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解.
6.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
【分析】完全平方公式是：a2±2ab+b2=(a±b)2由此可见选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，只有D选项可以.
【解答】解：根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，
选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，
D、x2+4x+4=(x+2)2.
故选：D.
【点评】本题主要考查完全平方公式的判断和应用：应用完全平方公式分解因式.
7.下列式子正确的是( )
A.(﹣x﹣y)(x+y)=x2﹣y2
B.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
C.(﹣4m2)3=﹣4m6
D.
【分析】根据整式的乘法公式、同底数幂的乘方法则分别进行计算即可得到答案.
【解答】解：A、(﹣x﹣y)(x+y)=﹣(x+y)2=﹣x2﹣2xy﹣y2，所以A选项错误;
B、(a﹣b)2+4ab=a2﹣2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2，所以B选项正确;
C、(﹣4m2)3=﹣64m6，所以C选项错误;
D、9x3y2÷(﹣x3y)=﹣27y，所以D选项错误;
故选：B.
【点评】本题考查了整式的混合运算：利用整式的乘法公式、同底数幂的乘方法则以及合并同类进行计算，有括号先算括号内，再算乘方和乘除，最后算加减.
8.若关于x，y的二元一次方程组的解都为正整数，且m为非负数，则m的值有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【分析】首先用含m的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于m的不等式组，求出m的取值范围，再根据m为整数确定m的值.
【解答】解：，
由②得：y=4﹣x，
再代入①得：
3x+m(4﹣x)=6，
解得：x=，
再代入②得：
y=，
∵x、y都为正整数，
∴，
即：0<3﹣m≤6，0<3﹣m≤6﹣4m，
解得：﹣3≤m≤1，
m取整数为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
经验算﹣1，﹣2，不合题意舍去.
∵m为非负数，
∴m取0，1
故选：B.
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组，要注意的是x，y都为正整数，解出x，y关于m的式子，最终求出m的范围，即可知道整数m的值.
9.已知x2﹣3x=2，那么多项式x3﹣x2﹣8x+9的值是( )
A.9 B.11 C.12 D.13
【分析】由题意可得x2=3x+2，代入多项式可求其值.
【解答】解：∵x2﹣3x=2，
∴x2=3x+2
∴x3﹣x2﹣8x+9=x(3x+2)﹣x2﹣8x+9=2x2﹣6x+9=2(3x+2)﹣6x+9=13
故选：D.
【点评】本题考查了求代数式的值，根据已知条件将高次幂降次化简是本题的关键.
10.已知a，b是实数，x=a2+b2+24，y=2(3a+4b)，则x，y的大小关系是( )
A.x≤y B.x≥y C.x
【分析】判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系.
【解答】解：x﹣y=a2+b2+24﹣6a﹣8b=(a﹣3)2+(b﹣4)2﹣1，
∵(a﹣3)2≥0，(b﹣4)2≥0，﹣1<0，
∴无法确定(x﹣y)的符号，即无法判断x，y的大小关系.
故选：D.
【点评】考查了配方法的应用;关键是根据比较式子的大小进行计算;通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大;反之减数大.
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
11.PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 .
【分析】因为0.0000025<1，所以0.0000025=2.5×10﹣6.
【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6;
故答案为：2.5×10﹣6.
【点评】本题考查了较小的数的科学记数法，10的次数n是负数，它的绝对值等于非零数字前零的个数.
12.2x3y2与12x4y的公因式是 2x3y .
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式.
【解答】解：∵2x3y2=2x3y•y，12x4y=2x3y•6x，
∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，
故答案为：2x3y.
【点评】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键.
13.(4m2﹣6m)÷(2m)= 2m﹣3 .
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算可得.
【解答】解：原式=4m2÷2m﹣6m÷2m=2m﹣3，
故答案为：2m﹣3.
【点评】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则.
14.如果多项式x2+mx+16是另一个多项式的平方，那么m= ±8 .
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值.
【解答】解：∵x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2×4×x，
解得m=±8.
故答案为：±8.
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要.
15.若代数式x2﹣8x+a可化为(x﹣b)2+1，则a+b= 21 .
【分析】利用配方法把原式变形，根据题意求出a、b，计算即可.
【解答】解：x2﹣8x+a
=x2﹣8x+16﹣16+a
=(x﹣4)2﹣16+a，
由题意得，b=4，﹣16+a=1，
解得，a=17，b=4，
则a+b=21，
故答案为：21.
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键.
16.某校为住校生分宿舍，若每间7人，则余下3人;若每间8人，则有5个空床位，设该校有住校生x人，宿舍y间，则可列出方程组为 .
【分析】设该校有住校生x人，宿舍y间，根据若每间7人，则余下3人;若每间8人，则有5个空床位，列出方程组.
【解答】解：设该校有住校生x人，宿舍y间，
由题意得.
故答案为.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组.
17.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α= 75° .
【分析】折叠前，纸条上边为直线，即平角，由折叠的性质可知：2α+30°=180°，解方程即可.
【解答】解：观察纸条上的边，由平角定义，折叠的性质，得
2α+30°=180°，
解得α=75°.
故答案为75°.
【点评】本题考查了折叠的性质.关键是根据平角的定义，列方程求解.
18.xa=3，xb=4，则x2a﹣3b= .
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及结合幂的乘方运算法则计算得出答案.
【解答】解：∵xa=3，xb=4，
∴x2a﹣3b=(xa)2÷(xb)3
=32÷43
=.
故答案为：.
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.
19.如图，白色长方形的面积为3，且长比宽多4，以长方形的一组邻边为边向外作如图所示两个灰色的等腰直角三角形，则两个灰色等腰直角三角形的面积和为 11 .
【分析】设白色长方形的长为x，根据题意得到x2﹣4x=3，根据等腰直角三角形的面积公式计算即可.
【解答】解：设白色长方形的长为x，则宽为(x﹣4)，
由题意得，x(x﹣4)=3，
整理得，x2﹣4x=3，
两个灰色等腰直角三角形的面积和=x2+(x﹣4)2
=x2﹣4x+8
=3+8
=11，
故答案为：11.
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正确表示出两个灰色等腰直角三角形的面积和是解题的关键.
20.把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 .
【分析】对比两个方程组，可得3(x+y)就是第一个方程组中的x，即3(x+y)=6，同理：2(x﹣y)=2，解出即可.
【解答】解：∵，
∴
由题意知：，解得;
故答案为：.
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一.
三、解答题(本大题共6小题，共计50分)
21.(9分)计算或化简
(1)﹣12018+2﹣3+(3.14﹣π)0
(2)2a2•a3÷a4
(3)(x+2)(x﹣2)﹣(2x﹣1)2
【分析】(1)先计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再计算加减可得;
(2)先计算乘法，再计算除法即可得;
(3)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可得.
【解答】解：(1)原式=﹣1++1=;
(2)原式=2a5÷a4=2a;
(3)原式=x2﹣4﹣(4x2﹣4x+1)
=x2﹣4﹣4x2+4x﹣1
=﹣3x2+4x﹣5.
【点评】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则.
22.(9分)因式分解
(1)2x3﹣8x
(2)x2﹣2x﹣3
(3)4a2+4ab+b2﹣1
【分析】(1)首先提取2x，进而利用平方差公式分解因式得出答案;
(2)直接利用十字相乘法分解因式得出答案;
(3)将前三项分解因式进而利用公式法分解因式得出答案.
【解答】解：(1)2x3﹣8x
=2x(x2﹣4)
=2x(x+2)(x﹣2);
(2)x2﹣2x﹣3
=(x﹣3)(x+1);
(3)4a2+4ab+b2﹣1
=(2a+b)2﹣1
=(2a+b﹣1)(2a+b+1).
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式以及提取公因式法、公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键.
23.(6分)选用适当的方法解下列方程组
(1)
(2)
【分析】(1)利用代入消元法求解可得;
(2)利用加减消元法求解可得.
【解答】解：(1)，
①代入②，得：3x+2x﹣3=7，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：y=4﹣3=1，
则方程组的解为;
(2)，
②×2﹣①，得：x=2，
将x=2代入①，得：10+4y=4，
解得：y=﹣1.5，
则方程组的解为.
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
24.(8分)如图，已知AB∥DE，BC⊥CD，∠D的2倍比∠B的大90°，求∠B，∠D的度数.
【分析】过C作CF∥AB，则AB∥CF∥DE，设∠B=x°，∠D=y°，依据∠B+∠BCD+∠D=360°，∠D的2倍比∠B的大90°，即可得到∠B，∠D的度数.
【解答】解：如图，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥DE，
∴∠B+∠BCF=180°，∠D+∠DCF=180°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
设∠B=x°，∠D=y°，则
，
解得，
∴∠B=150°，∠D=120°.
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键.
25.(8分)如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”.例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数.
(1)15和40是奇妙数吗?为什么?
(2)如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗?为什么?
(3)如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数.
【分析】(1)根据题意可判断;
(2)利用平方差公式可证;
(3)将“奇妙数”从小到大排列后，可求第12个奇妙数.
【解答】解：(1)15和40是奇妙数，
理由：15=42﹣12，40=72﹣32.
(2)设这两个数为2n﹣1，2n+1
∵(2n+1)2﹣(2n﹣1)2=8n
∴是8的倍数.
(3)“奇妙数”从小到大排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19
∴第12个奇妙数为19
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练运用平方差公式分解因式是本题的关键.
26.(10分)某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装.调研部门发现：1名热练工和2名新工人每日可安装8辆自行车;2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车.
(1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
(2)如果工厂招聘n名新工人(0
(3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行使路程为11千公里;如安装在后轮，安全行使路程为9千公里.请问一对轮胎能行使的最长路程是多少千公里?
【分析】(1)设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据“1名热练工和2名新工人每日可安装8辆自行车;2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车”，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论;
(2)设抽调熟练工a名，根据工作总量=工作效率×人数×天数，即可得出关于a、n的二元一次方程，结合a、n为正整数，即可得出结论;
(3)设一个轮胎用作前轮使用m千公里，用作后轮使用n千公里，根据一个轮胎作为前轮可安全行驶11千公里、作为一个后轮可安全行驶9千公里，即可得出关于m、n的二元一次方程，两方程相加除以(+)，即可求出结论.
【解答】解：(1)设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，
根据题意得：，
解得：.
答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车.
(2)设抽调熟练工a名，
根据题意得：(2n+4a)×30=600，
∴n=10﹣2a，
∴或或或.
答：工厂可以找出2名、4名、6名或6名新工人.
(3)设一个轮胎用作前轮使用m千公里，用作后轮使用n千公里，
根据题意得：，
∴a+b=9.9.
答：一对轮胎能行使的最长路程是9.9千公里.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程;(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程组.
初中七年级数学下册期中试题
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列运算中，结果正确的是( )
A.x3•x3=x6 B.3x2+2x2=5x4
C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2
2.已知 是方程mx+3y=5的解，则m的值是( )
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
3.下列由左到右边的变形中，是因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4
B.x2﹣1=x(x﹣ )
C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3x
D.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
4.下列各式不能使用平方差公式的是( )
A.(2a+b)(2a﹣b) B.(﹣2a+b)(b﹣2a)
C.(﹣2a+b)(﹣2a﹣b) D.(2a﹣b)﹣(2a﹣b)
5.已知am=6，an=3，则a2m﹣3n的值为( )
A. B. C.2 D.9
6.如图，从边长为(a+4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为( )
A.2a+5 B.2a+8 C.2a+3 D.2a+2
7.已知4y2+my+9是完全平方式，则m为( )
A.6 B.±6 C.±12 D.12
8.若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，则∠α的度数为( )
A.70° B.70°或86° C.86° D.30°或38°
9.如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代数式表示y为( )
A.y=2x B.y=x2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=x2+1
10.已知关于x、y的方程组 ，给出下列结论：
① 是方程组的解;②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数;
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解;④x，y的都为自然数的解有4对.
其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.在方程4x﹣2y=7中，如果用含有x的式子表示y，则y= .
12.计算：(﹣2)2+(2011﹣ )0﹣(﹣2)3= .
13.若要(a﹣1)a﹣4=1成立，则a= .
14.如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 米2.
15.有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要C类卡片 张.
16.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.
(1)请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数.(a+b)4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+b4
(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期 .
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
17.(8分)计算：
(1)(8a3b﹣5a2b2)÷4ab
(2)(2x+y)2﹣(2x+3y)(2x﹣3y)
18.(8分)解方程组
(1)
(2)
19.(8分)先化简，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=2.
20.(10分)已知：如图AB∥CD，∠E=∠F，试说明∠1=∠2，并说明理由.
21.(10分)如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数.
22.(10分)(1)如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是 ，并说明理由.
(2)在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用(1)中的结论(可以直接套用)，求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系?
(3)科技活动课上，雨轩同学制作了一个图(3)的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗?说明理由.
23.(12分)我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材.如图1所示，(单位：cm)
(1)列出方程(组)，求出图甲中a与b的值.
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒.
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张;
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格：
礼品盒板 材 竖式无盖(个) 横式无盖(个)
x y
A型(张) 4x 3y
B型(张) x
③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个;此时，横式无盖礼品盒可以做 个.(在横线上直接写出答案，无需书写过程)
四、附加题(5分)
24.(5分)观察下列各式：
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1.
根据各式的规律，可推测：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)= .
根据你的结论计算：1+3+32+33+…+32013+32014的个位数字是 .
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列运算中，结果正确的是( )
A.x3•x3=x6 B.3x2+2x2=5x4
C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断;
B、合并同类项得到结果，即可做出判断;
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断;
D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断.
【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确;
B、3x2+2x2=5x2，本选项错误;
C、(x2)3=x6，本选项错误;
D、(x+y)2=x2+2xy+y2，本选项错误，
故选：A.
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
2.已知 是方程mx+3y=5的解，则m的值是( )
A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.
【解答】解：由题意，得
﹣2m+3=5，
解得m=﹣1，
故选：D.
【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于m的方程是解题关键.
3.下列由左到右边的变形中，是因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4
B.x2﹣1=x(x﹣ )
C.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3x
D.x2﹣4=(x+2)(x﹣2)
【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案.
【解答】解：A、(x+2)(x﹣2)=x2﹣4，是多项式乘法，故此选项错误;
B、x2﹣1=(x+1)(x﹣1)，故此选项错误;
C、x2﹣4+3x=(x+4)(x﹣1)，故此选项错误;
D、x2﹣4=(x+2)(x﹣2)，正确.
故选：D.
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键.
4.下列各式不能使用平方差公式的是( )
A.(2a+b)(2a﹣b) B.(﹣2a+b)(b﹣2a)
C.(﹣2a+b)(﹣2a﹣b) D.(2a﹣b)﹣(2a﹣b)
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可.
【解答】解：各式不能使用平方差公式的是(﹣2a+b)(b﹣2a)，
故选：B.
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
5.已知am=6，an=3，则a2m﹣3n的值为( )
A. B. C.2 D.9
【分析】原式利用同底数幂的除法法则及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解：∵am=6，an=3，
∴原式=(am)2÷(an)3=36÷27= ，
故选：A.
【点评】此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
6.如图，从边长为(a+4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙)，若拼成的长方形一边的长为3，则另一边的长为( )
A.2a+5 B.2a+8 C.2a+3 D.2a+2
【分析】利用已知得出矩形的长分为两段，即AB+AC，即可求出.
【解答】解：如图所示：
由题意可得：
拼成的长方形一边的长为3，另一边的长为：AB+AC=a+4+a+1=2a+5.
故选：A.
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确理解题意分割矩形成两部分是解题关键.
7.已知4y2+my+9是完全平方式，则m为( )
A.6 B.±6 C.±12 D.12
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m的值即可.
【解答】解：∵4y2+my+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12.
故选：C.
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
8.若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，则∠α的度数为( )
A.70° B.70°或86° C.86° D.30°或38°
【分析】根据已知得出(2x+10)+(3x﹣20)=180，2x+10=3x﹣20，求出x=38，x=30，代入求出即可.
【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α=(2x+10)°，∠β=(3x﹣20)°，
∴(2x+10)+(3x﹣20)=180，2x+10=3x﹣20，
x=38，x=30，
当x=38时，∠α=86°，
当x=30时，∠α=70°，
故选：B.
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补.
9.如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代数式表示y为( )
A.y=2x B.y=x2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=x2+1
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，把3m代入，可得答案.
【解答】解：x=3m+1，y=2+9m，
3m=x﹣1，
y=2+(3m)2，
y=(x﹣1)2+2，
故选：C.
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，先化成要求的形式，把3m代入得出答案.
10.已知关于x、y的方程组 ，给出下列结论：
① 是方程组的解;②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数;
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解;④x，y的都为自然数的解有4对.
其中正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】①将x=5，y=﹣1代入检验即可做出判断;
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y=3来判断;
③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可;
④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对.
【解答】解：①将x=5，y=﹣1代入方程组得： ，
由①得a=2，由②得a= ，故①不正确.
②解方程
①﹣②得：8y=4﹣4a
解得：y=
将y的值代入①得：x=
所以x+y=3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确.
③将a=1代入方程组得： ，
解此方程得： ，
将x=3，y=0代入方程x+y=3，方程左边=3=右边，是方程的解，故③正确.
④因为x+y=3，所以x、y都为自然数的解有 ， ， ， .故④正确.
则正确的选项有②③④.
故选：B.
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.在方程4x﹣2y=7中，如果用含有x的式子表示y，则y= .
【分析】将x看做已知数求出y即可.
【解答】解：4x﹣2y=7，
解得：y= .
故答案为：
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y.
12.计算：(﹣2)2+(2011﹣ )0﹣(﹣2)3= 13 .
【分析】原式第一项利用平方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用立方的意义化简，计算即可得到结果.
【解答】解：原式=4+1﹣(﹣8)=4+1+8=13.
故答案为：13
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
13.若要(a﹣1)a﹣4=1成立，则a= 4，2，0 .
【分析】根据任何非0的数的0次幂等于1，以及1的任何次幂等于1、﹣1的偶次幂等于1即可求解.
【解答】解：a﹣4=0，即a=4时，(a﹣1)a﹣4=1，
当a﹣1=1，即a=2时，(a﹣1)a﹣4=1.
当a﹣1=﹣1，即a=0时，(a﹣1)a﹣4=1
故a=4，2，0.
故答案为：4，2，0.
【点评】本题考查了整数指数幂的意义，正确进行讨论是关键.
14.如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 (ab﹣a﹣2b+2) 米2.
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答.
【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：(a﹣2)米，宽为(b﹣1)米.
所以草坪的面积应该是长×宽=(a﹣2)(b﹣1)=ab﹣a﹣2b+2(米2).
故答案为(ab﹣a﹣2b+2).
【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键.
15.有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要C类卡片 5 张.
【分析】计算长方形的面积得到(2a+b)(a+2b)，再利用多项式乘多项式展开后合并，然后确定ab的系数即可得到需要C类卡片的张数.
【解答】解：长方形的面积=(2a+b)(a+2b)
=2a2+5ab+b2，
所以要拼成一个长为(2a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，
则需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片5张.
故答案为5.
【点评】本题考查了多项式乘多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
16.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.
(1)请仔细观察，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数.(a+b)4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+b4
(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期 四 .
【分析】(1)根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可;
(2)根据814=(7+1)14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案.
【解答】解：(1)(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
故答案为：6，4;
(2)∵814=(7+1)14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四，
故答案为：四.
【点评】本题考查了完全平方公式，能发现(a+b)n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右(a+b)n﹣1系数之和.它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
17.(8分)计算：
(1)(8a3b﹣5a2b2)÷4ab
(2)(2x+y)2﹣(2x+3y)(2x﹣3y)
【分析】(1)原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值;
(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果.
【解答】解：(1)原式=2a2﹣ ab;
(2)原式=4x2+4xy+y2﹣4x2+9y2=10y2+4xy.
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(8分)解方程组
(1)
(2)
【分析】(1)利用代入消元法求解可得;
(2)利用加减消元法求解可得.
【解答】解：(1) ，
将②代入①，得：2(﹣2y+3)+3y=7，
解得：y=﹣1，
则x=﹣2×(﹣1)+3=5，
所以方程组的解为 ;
(2) ，
①×3﹣②×2，得：17n=51，
解得：n=3，
将n=3代入①，得：2m+9=13，
解得：m=2，
则方程组的解为 .
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
19.(8分)先化简，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=2.
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.
【解答】解：当x=2时，
原式=4x2﹣9﹣x2+4x﹣4﹣3x2+3x
=7x﹣13
=14﹣13
=1
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.
20.(10分)已知：如图AB∥CD，∠E=∠F，试说明∠1=∠2，并说明理由.
【分析】由∠E=∠F，可知AF∥ED，可得内错角相等，由AB∥CD，可得∠CDA=∠DAB，依据等量减等量，结果仍相等的原则，即可推出∠1=∠2.
【解答】证明：∵∠E=∠F，
∴AF∥ED，
∴∠DAF=∠ADE，
∵AB∥CD，
∴∠CDA=∠DAB，
∴∠CDA﹣∠ADE=∠DAB﹣∠DAF，
即∠1=∠2.
【点评】本题主要考查平行线的性质及判定定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，推出∠DAF=∠ADE，∠CDA=∠DAB.
21.(10分)如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数.
【分析】由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=20°，进而得到图b中∠GFC=140°，依据图c中的∠CFE=∠GFC﹣∠EFG进行计算.
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在图b中∠GFC=180°﹣2∠EFG=140°，
在图c中∠CFE=∠GFC﹣∠EFG=120°.
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
22.(10分)(1)如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是 ∠BPD=∠B+∠D ，并说明理由.
(2)在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用(1)中的结论(可以直接套用)，求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系?
(3)科技活动课上，雨轩同学制作了一个图(3)的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗?说明理由.
【分析】(1)过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系.
(2)连接QP并延长至F，根据三角形的外角性质可得∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD的关系;
(3)连接CP并延长至G，根据三角形的外角性质可得∠APB﹑∠B﹑∠A﹑∠ACB的关系，代入即可.
【解答】解：(1)∠BPD=∠B+∠D，如图1，过P点作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠BPE=∠B，∠EPD=∠D，
∵∠BPD=∠BPE+∠EPD，
∴∠BPD=∠B+∠D.
故答案为：∠BPD=∠B+∠D;
(2)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，连接QP并延长至F，如图2，
∵∠BPF=∠ABP+∠BAP，∠FPD=∠PDQ+∠PQD，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD;
(3)∠APB=65°+∠ACB，连接CP并延长至G，如图3，
∵∠APG=∠A+∠ACP，∠BPG=∠B+∠BCP，
∴∠APB=∠B+∠A+∠ACB，
∵∠A=30°，∠B=35°，
∴∠APB=65°+∠ACB.
【点评】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线后，利用平行线和三角形外角性质解答.
23.(12分)我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材.如图1所示，(单位：cm)
(1)列出方程(组)，求出图甲中a与b的值.
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒.
①两种裁法共产生A型板材 64 张，B型板材 38 张;
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格：
礼品盒板 材 竖式无盖(个) 横式无盖(个)
x y
A型(张) 4x 3y
B型(张) x
③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 20 个;此时，横式无盖礼品盒可以做 16或17或18 个.(在横线上直接写出答案，无需书写过程)
【分析】(1)由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解.(2)根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成表格，并完成计算.
【解答】解：(1)由题意得： ，
解得： ，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40.
(2)①由图示裁法一产生A型板材为：2×30=60，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材
为60+4=64(张)，
由图示裁法一产生B型板材为：1×30=30，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材
为30+8=38(张)，
故答案为：64，38.
②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张.
礼品盒板 材 竖式无盖(个) 横式无盖(个)
x y
A型(张) 4x 3y
B型(张) x 2y
③由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张.
则做两款盒子共需要A型4x+3y张，B型x+2y张.
则4x+3y≤64;x+2y≤38.两式相加得5x+5y≤102.
则x+y≤20.4.所以最多做20个.
两式相减得3x+y≤26.则2x≤5.6，解得x≤2.8.则y≤18.
则横式可做16，17或18个.
故答案为：20，16或17或18.
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答.
四、附加题(5分)
24.(5分)观察下列各式：
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1.
根据各式的规律，可推测：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)= xn﹣1 .
根据你的结论计算：1+3+32+33+…+32013+32014的个位数字是 3 .
【分析】根据已知算式得出规律，即可求出答案.
【解答】解：(x﹣1)(xn﹣1+xn﹣2+…+x+1)=xn﹣1;
1+3+32+33+…+32013+32014= (3﹣1)(1+3+32+33+…+32013+32014= (32015﹣1)，
∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，
∴2015÷4=503…3，
即32015的个位数字是7，
所以1+3+32+33+…+32013+32014的个位数字是 ，
故答案为：xn﹣1，3.
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键.
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