初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试卷B
初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试卷B
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初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试题B
一.选择题 (本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为( )
A.7cm B.13cm C.6cm D.8cm
2.下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形;②两个全等三角形一定成轴对称;③轴对称的两个圆的半径相等;④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域(阴影部分的格点)，则跳行的最少步数为( )
A.2步 B.3步 C.4步 D.5步
4.如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是( )
A.2 B.4 C. D.
5.如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠.使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )
A. cm B. cm C. cm D.3cm
6.三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有( )
①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等
②三角形的三条内角平分线交于一点
③三角形的内角平分线位于三角形的内部
④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.下列各语句中不正确的是( )
A.全等三角形的周长相等
B.全等三角形的对应角相等
C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
8.在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A.7条 B.8条 C.9条 D.10条
9.已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，∠ABD+ ∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形;②AE=AC;③BE=CE=CD;④CB平分∠ACE.其中正确的结论个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有( )
(1)这个三角形是锐角三角形;(2)这个三角形是等腰三角形;(3)这个三角形是等边三角形;(4)形状不能确定;(5)不存在这样的三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+(a﹣b)2=0，则∠A等于( )
A.60° B.45° C.90° D.不能确定
12.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共6小题,共24分)
13.把图中的某两个小方格涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形.
.
14.如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 .
15.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 .
16.如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)： .
17.如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 .
18.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.则下列结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是 .
三.解答题(共8小题)
19.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，﹣3)，点B的坐标为(﹣1，3)，回答下列问题
(1)点C的坐标是 .
(2)点B关于原点的对称点的坐标是 .
(3)△ABC的面积为 .
(4)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′.
20.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.
求证：(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
21.如图，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E.
(1)若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小;
(2)若AC=3，AB=5，求△AEB的周长.
22.小明用一条长30cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这个三角形的各边的长分别是多少?
23.已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.
①图中有几个等腰三角形?请说明EF与BE、CF间有怎样的关系.
②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗?如果有，请分别指出它们.另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形?EF与BE、CF间的关系如何?为什么?
24.在等腰三角形中，过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形，我们称这种等腰三角形为“少见的三角形”，这条直线称为分割线，下面我们来研究这类三角形.
(1)等腰直角三角形是不是“少见的三角形”?
(2)已知如图所示的钝角三角形是一个“少见的三角形”，请你画出分割线的大致位置，并求出顶角的度数;
(3)锐角三角形中有没有“少见的三角形”?如果没有，请说明理由;如果有，请画出图形并求出顶角的度数.
25.数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”，“<”或“=”).
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).
26.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”，“<”或“=”).
(2)一般情况，证明结论：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你继续完成对以上问题(1)中所填写结论的证明)
(3)拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC. 若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 (请直接写出结果).
初二数学下第五章生活中的轴对称单元检测试题B答案
一.选择题(共12小题)
1.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长分别为13cm、6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【解答】解：当6cm是腰时，因6+6<13，不能组成三角形，应舍去;
当13cm是腰时，6cm、13cm、13cm能够组成三角形.
则第三边应是13cm.
故选：B.
2. 【分析】注意全等三角形与轴对称的性质
【解答】解：①成轴对称的图形，关于对称轴折叠后可重合，正确;
②轴对称不仅考虑全等，还要考虑位置，所以全等三角形不一定成轴对称，错误;
③错误.两个同心圆，是轴对称图形，半径不相等.
④两个圆半径相等，则全等，并且总能找到作为对称轴的一条直线，所以一定成轴对称，正确.
∴①④共2个正确.
故选C.
3. 【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项.
【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步.
故选B.
4.【分析】延长DC到D'，使CD=CD'，G对应位置为G'，则FG=FG'，作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'=HE.由两点之间线段最短可知当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，再延长AB至K使BK=AB，连接E′K，利用勾股定理即可求出EE′的长.
【解答】解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，
则H'E'=HE.
容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'= = =2 .
故选C.
5.【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可.
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，
∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，
∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，
∴∠ADE=∠A′DE，
∴∠BDE=∠A′DB+∠A′DE= ×180°=90°，
在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷ = cm，
在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°= × = cm.
故选：C.
6. 【分析】画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可.
【解答】解：
∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，
∴ON=OQ，OQ=OM，
∴ON=OM=OQ，
∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误;
∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，
∴O在∠ABC的角平分线上，
即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确;
∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确;
∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误;
故选B.
7.【分析】此题从已知开始结合全等三角形、角平分线、中垂线的相关性质对各个选项进行判断.
【解答】解：全等三角形是能够完全重合的两个三角形，因此它们的周长相等，对应角也相等;故A、B正确;
到角两边距离相等的点，在角的平分线所在直线上，很明显C的叙述有漏解的情况，故C错误;
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是中垂线的性质，故D正确;
故选C.
8. 【分析】根据等腰三角形的判定，进行划分，即可解答.
【解答】解：如图：
∴最多画8条，
故选：B.
9. 【分析】可根据证△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形;可根据同弦所对的圆周角相等点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC;求出∠7=90°﹣ ∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线.
【解答】解：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+ ∠3=90°，
∴∠BAF= ∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中
∴△ABF≌△ADF(ASA)，
∴AB=AD，∴①正确;
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴点A、B、E、C在同一个圆上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正确;
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣ ∠2.
∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣ ∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正确
∵∠5=∠2+∠7=90°﹣ ∠2，
∴∠7=90°﹣ ∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④错误;
故选C.
10. 【分析】因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是60°，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形.
【解答】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形;
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形;
等边三角形是特殊的等腰三角形.
所以前三项正确，即正确有三个.
故选C.
11. 【分析】根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.
【解答】解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+(a﹣b)2=0，
∴b﹣c=0，a﹣b=0，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°.
故答案选：A.
12.【分析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN= a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是 a，是等边三角形QKM的边长的 ;同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的 ;求出第五个等边三角形的边长，乘以 即可得出第六个正六边形的边长.
【解答】解：连接AD、DF、DB.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)，
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 a，即等边三角形QKM的边长的 ，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN= a，
∵GF= AF= × a= a，∠FGI=60°(已证)，
∴∠GFZ=30°，
∴GZ= GF= a，
同理IN= a，
∴GI= a+ a+ a= a，即第二个等边三角形的边长是 a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是 × a;
同理第第三个等边三角形的边长是 × a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是 × × a;
同理第四个等边三角形的边长是 × × a，第四个正六边形的边长是 × × × a;
第五个等边三角形的边长是 × × × a，第五个正六边形的边长是 × × × × a;
第六个等边三角形的边长是 × × × × a，第六个正六边形的边长是 × × × × × a，
即第六个正六边形的边长是 × a，
故选：A.
二.填空题(共6小题)
13.【分析】本题主要是根据轴对称图形的性质来做，就是从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点就可.
【解答】解：所作图形如图：
14.【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等(即OE=OD=OF)，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可.
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×(AB+BC+AC)×3
= 20×3=30，
故答案为：30.
15.【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21.从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16.
【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16;
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7;此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8.
经验证，这两种情况都是成立的.
∴这个三角形的底边长为8或16.
故答案为：16或8.
16.【分析】根据已知条件求证△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用两角相等即可判定△ABC是等腰三角形.此题答案不唯一.
【解答】答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形.
证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，(对顶角相等)
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形.
17.【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长
【解答】解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24.
故答案为：24.
18.【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以②正确;根据全等三角形对应边相等可以推出AP=BQ，所以③正确，根据③可推出DP=EQ，再根据△DEQ的角度关系DE≠DP.
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°﹣∠ECD=180°﹣∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，故①小题正确;
∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°﹣60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中， ，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ，故③小题正确;PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②小题正确;
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD﹣AP=BE﹣BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误.
综上所述，正确的是①②③.
故答案为：①②③.
三.解答题(共8小题)
19.(【分析】(1)根据平面直角坐标系写出即可;
(2)根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答;
(3)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解;
(4)根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可.
【解答】解：(1)点C的坐标是(﹣3，﹣2);
(2)点B关于原点的对称点的坐标是(1，﹣3);
(3)△ABC的面积=6×6﹣ ×2×5﹣ ×1×6﹣ ×4×6，
=36﹣5﹣3﹣12，
=36﹣20，
=16;
(4)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形.
故答案为：(1)(﹣3，﹣2)，(2)(1，﹣3)，(3)16.
20.【分析】(1)根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC;
(2)由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证△OED≌△OEC，可得OC=OD;
(3)根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线.
【解答】证明：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC;
(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC(AAS)，
∴OC=OD;
(3)∵OC=OD，且DE=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线.
21.【分析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠B=∠BAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可;
(2)利用勾股定理列式求出BC=4，设AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解.
【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°;
(2)由勾股定理得，BC= = =4，
设AE=BE=x，则CE=4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，
即32+(4﹣x)2=x2，
解得x= ，
∴△AEB的周长= ×2+5=11.25.
22.【分析】可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可.
【解答】解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=30，解得x=7.5，此时三角形的三边长分别为：7.5、7.5和15，因为7.5+7.5=15，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意;
当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=30，解得x=6，此时三角形的三边长分别为：6、12、12，满足三角形的三边之间的关系，
所以这个三角形的各边长分别为6cm、12cm和12cm.
23.【分析】(1)根据EF∥BC，∠B、∠C的平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出的AB=AC，共5个等腰三角形;根据等腰三角形的性质，即可得出EF与BE、CF间有怎样的关系.
(2)根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形;利用几个等腰三角形的性质即可得出EF与BE，CF的关系.
(3)EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形.
【解答】解：(1)有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF.理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分线交于O点，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF.
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF;
(2)有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF;
第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF.
(3)有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG(G是BC延长线上的一点)
又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE﹣CF.
24.【分析】(1)画出图形，利用三角形内角和进行计算，可得等腰直角三角形是“少见的三角形”;
(2)画出图形，利用等腰三角形的性质、三角形内角和进行解答;
(3)有，画出图形，利用等腰三角形的性质、三角形内角和进行解答.
【解答】解：(1)如图1，
当过顶角∠C的顶点的直线CD把△ABC分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
则顶角是90°;
∴△ABC是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形是“少见的三角形”;
(2)如图2，
AC=CD=AB，BD=AD，
设∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=DC，
∴∠ADC=∠CAD=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，
x=36°，
则顶角∠BAC=108°.
(3)如图3，
当过底角∠CAB的角平分线AD把△ABC分成了两个等腰三角形，则有AC=BC，AB=AD=CD，
设∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
则顶角是36°.
25.【分析】(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可;
(2)过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可;
(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.
【解答】解：(1)故答案为：=.
(2)过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=.
(3)解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴ = ，
∴ = ，
∴BN= ，
∴CN=1+ = ，
∴CD=2CN=3;
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM= BC= ，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴ = ，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CN=1﹣ = ，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1.
26. 【分析】(1)当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB;
(2)类似(1)过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB;
(3)分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可.
【解答】解：(1)如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=;
(2)如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF，
∴AE=BD.
(3)解：分为四种情况：
如图3，
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)，
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半)，
即CD=1+2=3.
如图4，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ ，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1;
如图5，
∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°)，而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED;
如图6，
∵∠EDC<∠ABC，∠ECB>∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD>∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1.
故答案为：1或3.