人教版初二数学上期末试卷
人教版初二数学上期末试卷
托星月寄到你窗前.祝八年级数学期末考顺意!小编整理了关于人教版初二数学上期末试卷，希望对大家有帮助!
人教版初二数学上期末试题
一、选择题(共15题，每题4分，共60分)
1.4的平方根是( )
A.2 B.4 C.±2 D.±
2.﹣ 的相反数是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
3.在平面直角坐标系中，点P(﹣2，﹣3)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )
A.5 B.6 C.7 D.25
5.下列语言是命题的是( )
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗?
C.延长线段AO到C，使OC=OA
D.两直线平行，内错角相等.
6.一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.如果 a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为( )
A.50° B.40° C.45° D.25°
9.为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是( )
阅读量(单位：本/周) 0 1 2 3 4
人数(单位：人) 1 4 6 2 2
A.中位数是2 B.平均数是2 C.众数是2 D.极差是2
10.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
11.如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m.为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为( )
A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m
12.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
13.九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个.”上面两名同学的议论能反映出的统计量是( )
A.平均数和众数 B.众数和极差 C.众数和方差 D.中位数和极差
14.在平面直角坐标系中，已知A(2，﹣2)，原点O(0，0)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
15.点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为(4，0).设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共6题，每题4分，共24分)
16.人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： = =80，S甲2=230，S乙2=190，则成绩较为稳定的班级是 班.
17.若 是方程2x﹣ay=4的一个解，则a= .
18.若y=(m﹣1)x|m|是正比例函数，则m的值为 .
19.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 .
20.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 度.
21.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= .
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
22.化简计算：
(1)
(2)解方程组 .
23.(1)已知：如图1，在锐角三角形ABC中，高BD与CE相交于点O，且BD=CE，求证：OB=OC;
(2)如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=50°，∠EDC=30°，求∠ADC的度数.
24.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.
班级 平均数(分) 中位数 众数
九(1) 85 85
九(2) 80
(1)根据图示填写上表;
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班级的成绩较稳定.
25.学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克?
(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元?
26.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD.
(2)如图1，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?并证明你的结论.
(3)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系.
27.如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.
(1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km.
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低?最低是多少?
28.如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l1上一点，另一直线l2：y2= x+b过点P，与x轴交于点C.
(1)直接写出m和b的值及点A、点C的坐标;
(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒.
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式;
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3;
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形?若存在，请直接写出t的值;若不存在，请说明理由.
人教版初二数学上期末试卷参考答案
一、选择题(共15题，每题4分，共60分)
1.4的平方根是( )
A.2 B.4 C.±2 D.±
【考点】平方根.
【分析】根据平方根的概念即可求出答案.
【解答】解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根是±2
故选(C)
2.﹣ 的相反数是( )
A.﹣ B. C. D.﹣
【考点】实数的性质.
【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果.
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选C
3.在平面直角坐标系中，点P(﹣2，﹣3)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】点的坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解：点P(﹣2，﹣3)所在的象限是第三象限.
故选C.
4.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )
A.5 B.6 C.7 D.25
【考点】勾股定理.
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可.
【解答】解：如图所示：
AB= =5.
故选：A.
5.下列语言是命题的是( )
A.画两条相等的线段
B.等于同一个角的两个角相等吗?
C.延长线段AO到C，使OC=OA
D.两直线平行，内错角相等.
【考点】命题与定理.
【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，分别判断得出答案即可.
【解答】解：根据命题的定义：
只有答案D、两直线平行，内错角相等.对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确;
故选：D.
6.一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】因为k=﹣2<0，b=﹣1<0，根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过第一象限.
【解答】解：对于一次函数y=﹣2x﹣1，
∵k=﹣2<0，
∴图象经过第二、四象限;
又∵b=﹣1<0，
∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，
∴一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过第一象限.
故选A.
7.如果 a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，则( )
A. B. C. D.
【考点】解二元一次方程组;同类项.
【分析】根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可.
【解答】解：∵ a3xby与﹣a2ybx+1是同类项，
∴ ，
②代入①得，3x=2(x+1)，
解得x=2，
把x=2代入②得，y=2+1=3，
所以，方程组的解是 .
故选D.
8.如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为( )
A.50° B.40° C.45° D.25°
【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论.
【解答】解：在△DEF中，∠1=∠F=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°﹣∠DEF﹣∠1=40°.
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°.
故选B.
9.为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是( )
阅读量(单位：本/周) 0 1 2 3 4
人数(单位：人) 1 4 6 2 2
A.中位数是2 B.平均数是2 C.众数是2 D.极差是2
【考点】极差;加权平均数;中位数;众数.
【分析】根据表格中的数据，求出中位数，平均数，众数，极差，即可做出判断.
【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
中位数为2;
平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2;
众数为2;
极差为4﹣0=4;
所以A、B、C正确，D错误.
故选D.
10.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论.
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN.
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选：D.
11.如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m.为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为( )
A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m
【考点】含30度角的直角三角形;相似三角形的判定.
【分析】直接利用∠B=30°，可得2EF=BE=6m，再利用垂直平分线的性质进而得出AB的长，即可得出答案.
【解答】解：∵立柱AD垂直平分横梁BC，
∴AB=AC=4m，
∵∠B=30°，
∴BE=2EF=6m，
∴AE=EB﹣AB=6﹣4=2(m).
故选：D.
12.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC.
【解答】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，EB=DE，
∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)，
故选：C.
13.九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个.”上面两名同学的议论能反映出的统计量是( )
A.平均数和众数 B.众数和极差 C.众数和方差 D.中位数和极差
【考点】统计量的选择.
【分析】根据众数和极差的概念进行判断即可.
【解答】解：一班同学投中次数为6个的最多反映出的统计量是众数，
二班同学投中次数最多与最少的相差6个能反映出的统计量极差，
故选：B.
14.在平面直角坐标系中，已知A(2，﹣2)，原点O(0，0)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质.
【分析】由点A的坐标可得，OA与y轴的夹角为45°，若点P在y轴上，△AOP构成的等腰三角形，应分OA是腰和是底，以及是等腰直角三角形还是普通等腰三角形来讨论.
【解答】解：∵A(2，﹣2)
∴OA=2 ，OA与y轴的夹角为45°
①当点P在y轴的正半轴上时，OP=OA=2 ，则点P的坐标为(0，2 );
②当△AOP为等腰直角三角形时，且OA是斜边时，OP=PA=2，则点P的坐标为(0，﹣2);
③当△AOP为等腰直角三角形时，且OA是直角边时，OA=PA=2 ，OP=4，则点P的坐标为(0，﹣4);
④当点P在y轴的负半轴上时，且OA=OP=2 ，则点P的坐标为(0，﹣2 ).
故选C
15.点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为(4，0).设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是( )
A. B. C. D.
【考点】一次函数的图象.
【分析】先用x表示出y，再利用三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解：∵点P(x，y)在第一象限内，且x+y=6，
∴y=6﹣x(0
∵点A的坐标为(4，0)，
∴S= ×4×(6﹣x)=12﹣2x(0
∴C符合.
故选C.
二、填空题(共6题，每题4分，共24分)
16.人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： = =80，S甲2=230，S乙2=190，则成绩较为稳定的班级是 乙 班.
【考点】方差.
【分析】根据方差的意义判断，方差越小数据越稳定.
【解答】解：因为S2甲=230，S2乙=190，则乙的方差小于甲的方差，故成绩较为整齐的是乙班.
故答案为：乙.
17.若 是方程2x﹣ay=4的一个解，则a= 1 .
【考点】二元一次方程的解.
【分析】将解代入二元一次方程，再解一个一元一次方程即可.
【解答】解：将 代入方程2x﹣ay=4，
得：6﹣2a=4，解得：a=1，
故答案为：1.
18.若y=(m﹣1)x|m|是正比例函数，则m的值为 ﹣1 .
【考点】正比例函数的定义.
【分析】根据正比例函数的定义，令m﹣1≠0，|m|=1即可.
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|=1，
解得：m=﹣1.
故答案为：﹣1.
19.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 4 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=(9﹣x)2，
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故答案为：4.
20.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 60 度.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解.
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°.
故答案为：60.
21.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 .
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD.
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE= PC= ×4=2(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)，
∴PD=PE=2，
故答案是：2.
三、解答题(本大题共7小题，共66分)
22.化简计算：
(1)
(2)解方程组 .
【考点】实数的运算;解二元一次方程组.
【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及立方根的定义化简，进而得出答案;
(2)直接利用加减消元法解方程得出答案.
【解答】解：(1)
= × ﹣3
=3﹣3
=0;
(2) ，
①+②得：
3x=15，
解得：x=5，
则2×5+y=7，
解得：y=﹣3，
故方程组的解为： .
23.(1)已知：如图1，在锐角三角形ABC中，高BD与CE相交于点O，且BD=CE，求证：OB=OC;
(2)如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=50°，∠EDC=30°，求∠ADC的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)欲证OB=OC，可证∠OBC=∠OCB，只要证明△BEC≌△CDB即可;由已知可得∠BEC=∠CDB=90°，BD=CE，BC是公共边，即可证得;
(2)根据两直线平行，内错角相等求出∠ACD，再根据角平分线的定义求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，再利用三角形内角和定理解答即可.
【解答】(1)证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC与Rt△DCB中 ，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC;
(2)解：∵DE∥AC，∠EDC=30°，
∴∠ACD=∠EDC=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠A=180°﹣30°﹣70°=80.
24.某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级(1)、(2)班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示.
班级 平均数(分) 中位数 众数
九(1) 85 85
九(2) 80
(1)根据图示填写上表;
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班级的成绩较稳定.
【考点】方差;条形统计图;算术平均数;中位数;众数.
【分析】(1)观察图分别写出九(1)班和九(2)班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可;
(2)在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好;
(3)根据方差公式计算即可：s2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2](可简单记忆为“等于差方的平均数”)
【解答】解：(1)由图可知九(1)班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九(2)班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
九(1)的平均数为(75+80+85+85+100)÷5=85，
九(1)的中位数为85，
九(1)的众数为85，
把九(2)的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
九(2)班的中位数是80;
九(2)班的众数是100;
九(2)的平均数为(70+75+80+100+100)÷5=85，
班级 平均数(分) 中位数(分) 众数(分)
九(1) 85 85 85
九(2) 85 80 100
(2)九(1)班成绩好些.因为九(1)班的中位数高，所以九(1)班成绩好些.(回答合理即可给分)
(3) = [(75﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(85﹣85)2+2]=70，
= [(70﹣85)2+2+2+(75﹣85)2+(80﹣85)2]=160.
25.学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克?
(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元?
【考点】二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设他当天采摘黄瓜x千克，茄子y千克，根据采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，列出方程，求出x的值，即可求出答案;
(2)根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数.
【解答】解：(1)设采摘黄瓜x千克，茄子y千克.根据题意，得
，
解得 .
答：采摘的黄瓜和茄子各30千克、10千克;
(2)30×(1.5﹣1)+10×(2﹣1.2)=23(元).
答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元.
26.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD.
(2)如图1，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?并证明你的结论.
(3)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系.
【考点】平行线的性质.
【分析】(1)过点P作直线EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论;
(2)根据平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论;
(3)连接QP并延长，由三角形外角的性质即可得出结论.
【解答】(1)解：如图2，过点P作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BPF=∠B=50°，∠DPF=∠D=30°，
∴∠BPD=50°+30°=80°;
(2)∠B=∠BPD+∠D.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD.
∵∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D.
(3)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
证明：如图3，连接QP并延长，
∵∠BPE=∠B+∠CQE，∠DPE=∠D+∠DQE，
∴∠BPE+DPE=∠B+∠CQE+∠D+∠DQE，即∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
27.如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位：L/km)与速度x(单位：km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.
(1)当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 0.13 L/km、 0.14 L/km.
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式.
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低?最低是多少?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)和(2)：先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所以将x=50代入计算即可，速度是100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得，也可以利用解析式求解;
(3)观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可.
【解答】解：(1)设AB的解析式为：y=kx+b，
把(30，0.15)和(60，0.12)代入y=kx+b中得：
解得
∴AB：y=﹣0.001x+0.18，
当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，
由线段BC上一点坐标(90，0.12)得：0.12+×0.002=0.14，
故答案为：0.13，0.14;
(2)由(1)得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18;
(3)设BC的解析式为：y=kx+b，
把(90，0.12)和代入y=kx+b中得：
解得 ，
∴BC：y=0.002x﹣0.06，
根据题意得 解得 ，
答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km.
28.如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l1上一点，另一直线l2：y2= x+b过点P，与x轴交于点C.
(1)直接写出m和b的值及点A、点C的坐标;
(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒.
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式;
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3;
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形?若存在，请直接写出t的值;若不存在，请说明理由.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)把点P坐标代入直线l1解析式可求得m，可求得P点坐标，代入直线l2可求得b，可求得直线l2的解析式，在y1=0可求得A点坐标，令y2=0可求得相应x的值，可求得C点坐标;
(2)①分点Q在A、C之间和点Q在A的右边两种情况，分别用t可表示出AQ，则可表示出S;
②令S=3可求得t的值;
③可设出Q坐标为(x，0)，用x可分别表示出PQ、AQ和AP的长，分PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三种情况可得到关于的方程，可求得相应的x的值，则可求得Q点的坐标，则可求得CQ的长，可求得t的值.
【解答】解：
(1)∵点P在直线l1上，
∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，
∴P(﹣1，3)，
∵y2= x+b过点P，
∴3= ×(﹣1)+b，解得b= ，
∴直线y2= x+ ，令y2=0可得0= x+ ，解得x=﹣7，
∴点C坐标为(﹣7，0)，
在y1=﹣x+2中，令y1=0可得﹣x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为(2，0);
(2)①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
∵A(2，0)，C(﹣7，0)，
∴AC=2﹣(﹣7)=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC﹣CQ=9﹣t，
∴S= ×3×(9﹣t)=﹣ t+ ;
当Q在A的右边时，则AQ=CQ﹣AC=t﹣9，
∴S= ×3×(t﹣9)= t﹣ ;
②令S=3可得﹣ t+ =3或 t﹣ =3，解得t=6或t=11，
即当t的值为6秒或11秒时△APQ的面积等于3;
③设Q(x，0)(x≥﹣7)，
∵A(2，0)，P(﹣1，3)，
∴PQ2=(x+1)2+32=x2+2x+10，AQ2=(x﹣2)2=x2﹣4x+4，AP2=(2+1)2+32=18，
∵△APQ为等腰三角形，
∴有PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三种情况，
当PQ=AQ时，则PQ2=AQ2，即x2+2x+10=x2﹣4x+4，解得x=﹣1，则Q点坐标为(﹣1，0)，
∴CQ=﹣1﹣(﹣7)=6，即t=6;
当PQ=AP时，则PQ2=AP2，即x2+2x+10=18，解得x=﹣4或x=2，则Q点坐标为(﹣4，0)或(2，0)(与A点重合，舍去)，
∴CQ=﹣4﹣(﹣7)=3，即t=3;
当AQ=AP时，则AQ2=AP2，即x2﹣4x+4=18，解得x=2±3 ，则Q点坐标为(2+3 ，0)或(2﹣3 ，0)，
∴CQ=2+3 ﹣(﹣7)=9+3 或CQ=2﹣3 ﹣(﹣7)=9﹣3 ，即t=9+3 或t=9﹣3 ;
综上可知存在满足条件的t，其值为6或3或t=9+3 或t=9﹣3 .
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