沪教版八年级上册数学期末试卷(2)
解得：x=2，
把x=2代入(2﹣k)x=2得：k=1.
故答案为：1.
【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目.
三、填空题(共63分)
20.计算.
(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140
(2)分解因式：x﹣2xy+xy2.
【考点】实数的运算;提公因式法与公式法的综合运用;零指数幂;负整数指数幂.
【分析】(1)分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可;
(2)先提取公因式，字啊根据完全平方公式进行分解即可.
【解答】解：(1)原式=4﹣1.5+1
=3.5;
(2)原式=x(1﹣2y+y2)
=x(1﹣y)2.
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
21.解方程： .
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母进行检验即可.
【解答】解：方程两边同时乘以2(3x﹣1)，得4﹣2(3x﹣1)=3，
化简，﹣6x=﹣3，解得x= .
检验：x= 时，2(3x﹣1)=2×(3× ﹣1)≠0
所以，x= 是原方程的解.
【点评】本题考查的是解分式方程.在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方.
22.先化简，再求值： ，其中x=3.
【考点】分式的化简求值.
【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解化简求出即可.
【解答】解： ，
=[ + ]×
= ×
= ，
当x=3时，原式=2.
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确因式分解得出是解题关键.
23.在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC(三角形的三个顶点都在小正方形上)
(1)画出△ABC关于直线l：x=﹣1的对称三角形△A1B1C1;并写出A1、B1、C1的坐标.
(2)在直线x=﹣l上找一点D，使BD+CD最小，满足条件的D点为 (﹣1，1) .
提示：直线x=﹣l是过点(﹣1，0)且垂直于x轴的直线.
【考点】作图-轴对称变换;轴对称-最短路线问题.
【分析】(1)分别作出点A、B、C关于直线l：x=﹣1的对称的点，然后顺次连接，并写出A1、B1、C1的坐标;
(2)作出点B关于x=﹣1对称的点B1，连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，此时BD+CD最小，写出点D的坐标.
【解答】解：(1)所作图形如图所示：
A1(3，1)，B1(0，0)，C1(1，3);
(2)作出点B关于x=﹣1对称的点B1，
连接CB1，与x=﹣1的交点即为点D，
此时BD+CD最小，
点D坐标为(﹣1，1).
故答案为：(﹣1，1).
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，并顺次连接.
24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.求证：AE=AF.
【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【专题】证明题;压轴题.
【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论.
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF.
【解答】证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF.
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵ ，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF.
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键.
25.阅读下面材料完成分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
这样，我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.
【考点】因式分解-十字相乘法等.
【专题】阅读型.
【分析】仿照上述的方法，将原式分解即可.
【解答】解：①x2+7x+10=(x+2)(x+5);
②2y2﹣14y+24=2(y2﹣7y+12)=2(y﹣3)(y﹣4).
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
26.问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由;
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答;
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可;
实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可.
【解答】解：问题背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此时两舰艇之间的距离是210海里.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点.
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