新人教版八年级数学上册期末试卷(2)
新人教版八年级数学上册期末试卷
18.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1(不写画法);
(2)若网格上的每个小正方形的边长为2，则△ABC的面积是多少?写出解答过程.
【考点】作图-轴对称变换.
【分析】(1)作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可;
(2)利用矩形的面积减去各顶点上三角形的面积即可.
【解答】解：(1)如图;
(2)∵网格上的每个小正方形的边长为2，
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
=80﹣16﹣18﹣10=36.
答：△ABC的面积是36.
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.
19.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题;压轴题.
【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ.
【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中 ，
∴△ABQ≌△ACF(SAS)，
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理.
20.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成.
(1)求两队单独完成此项工程各需多少天?
(2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们3000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)首先表示出两工程队完成需要的时间，进而利用总工作量为1得出等式求出答案;
(2)根据(1)中所求，进而利用两队完成的工作量求出答案.
【解答】解：(1)设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需 x天，由题意得：
+ =1
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，
答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需15× =10(天).
(2)甲队所得报酬：3000× ×6=1200(元)，
乙队所得报酬：3000× ×6=1800(元)
答：甲队得到1200元，乙队得到1800元.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用总共量为1得出等式是解题关键.
21.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论：
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考点】等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
【专题】压轴题.
【分析】(1)由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG= AD;
(2)首先过点D作DH∥BC交AC于点H，易证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG= AD;
(2)过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S△ADG=S△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
22.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE=CF;
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.
【专题】证明题;几何综合题.
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.
【解答】证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角.
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