湘教版八年级上册数学期末测试卷及答案(2)
湘教版八年级上册数学期末测试卷及答案
二、填空题(每小题3分，共6小题，满分18分)
13.最小刻度为0.2nm(1nm=10﹣9m)的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为 2×10﹣10 m.
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：用科学记数法表示这一最小刻度为2×10﹣10m，
故答案为：2×10﹣10.
14.分式方程 =﹣4的解是x= ﹣1 .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：3x﹣1=﹣4x﹣8，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
故答案为：﹣1
15.计算： • = .
【考点】分式的乘除法.
【分析】原式变形后，约分即可得到结果.
【解答】解：原式= • = ，
故答案为：
16.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，使∠1=60°，∠2=100°，则∠3= 40 °.
【考点】平行线的性质.
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可.
【解答】解：如图，∵∠2=100°，并且是直尺，
∴∠4=∠2=100°(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=60°，
∴∠3=∠4﹣∠1=100°﹣60°=40°.
故答案为：40.
17.如图，已知∠BAC=∠DAC，则再添加一个条件 AB=AD(答案不唯一) ，可使△ABC≌△ADC.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据SAS推出两三角形全等即可.
【解答】解：添加AB=AD;理由如下：
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC;
故答案为：AB=AD(答案不唯一).
18.如图，已知在△ABC中，AB=7，BC=6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为 13 .
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=CD，推出CD+BD=AB，即可求出答案.
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=7，
∴AD+BD=7，
∴CD+BD=7，
∵BC=6，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC=7+6=13，
故答案为：13
三、解答题：(19题每小题8分，20题6分，满分14分)
19.(1)计算： ﹣
(2)计算：(2 ﹣5 )﹣( ﹣ )
【考点】二次根式的加减法;分式的加减法.
【分析】(1)利用分式的通分、约分法则化简;
(2)根据二次根式的性质吧原式化简，合并同类二次根式即可.
【解答】解：(1) ﹣
= ﹣
= ;
(2)计算：(2 ﹣5 )﹣( ﹣ )
=4 ﹣10 ﹣3 +3
= ﹣7 .
20.解下列不等式 ≤ ﹣1，并将解集在数轴上表示出来.
【考点】解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来.
【解答】解：去分母，得：4(2x﹣1)≤3(3x+2)﹣12，
去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项，得：﹣x≤﹣2，
系数化为1，得：x≥2，
解集在数轴上表示为：
四、分析与说理：(每小题8分，共2小题，满分16分)
21.已知：如图所示，AB=AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD.求证：DE=DF.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】欲证明DE=DF，只要证明△ABD≌△ACD(SSS)，推出∠B=∠C再证明△BDE≌△CDF即可.
【解答】证明：连接AD.
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠B=∠C，
在BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF.
22.已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2 ，以AD为一边向左作等边△ADE.
(1)求：△ABC的面积;
(2)判断AB与DE的位置关系是什么?请予以证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)根据等边三角形的性质，可知∠DAC=30°，在RtADC中求出DC，再根据BC=2DC，由此即可解决问题.
(2)通过计算只要证明∠AFD=90°即可.
【解答】(1)解：∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线
∴AD⊥BC(三线合一)，∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2 ，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面积= ×4×2 =4
(2)解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等边三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线
∴AD为∠BAC的平分线(三线合一)
∴∠FAD= ∠BAC= ×60°=30°
∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90°
∴AB⊥DE
(说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以)
五、实践与应用(每小题8分，共2小题，满分16分)
23.已知北海到南宁的铁路长210千米.动车投入使用后，其平均速度达到了普通火车的平均速度的3倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时.求普通火车的平均速度是多少?(列方程解答)
【考点】分式方程的应用.
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时，列方程即可.
【解答】解：设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时，
列方程得 = +1.75，
解得x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，
答：普通火车的平均速度是80千米/时.
24.张华老师揣着200元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品.他看好了一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本5元，钢笔的单价为每支2元.张老师计划购买两种奖品共50份，求他最多能买笔记本多少本?(列不等式解答)
【考点】一元一次不等式的应用.
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求出他最多能买笔记本多少本.
【解答】解：设他买笔记本x本，
5x+2(50﹣x)≤200，
解得，x≤ ，
即他最多能买笔记本33本.
六、阅读与探究(每小题10分，共2小题，满分20分)
25.先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
= = = =|1+ |=1+
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
= = = =| 3+ |= 3+
②根据上述思路，试将 予以化简.
【考点】二次根式的性质与化简.
【分析】①根据题目中的例子可以解答本题;
②根据题目中的例子可以解答本题.
【解答】解：①
=
=
=
=|3+ |
=3+ ，
故答案为：3+ ，3+ ;
②
=
=
=|5﹣ |
=5﹣ .
26.已知：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为线段BC上一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边向右作正方形ADEF，连接FC，探究：无论点D运动到何处，线段FC、DC、BC三者的长度之间都有怎样的数量关系?请予以证明.
【考点】正方形的性质.
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAD≌△FAC，根据全等三角形的性质证明即可.
【解答】解：无论点D运动到何处，都有BC=FC+DC，
理由如下：
在△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
∴△BAD≌△FAC(SAS)
∴BD=FC，
又∵BC=BD+DC，
∴BC=FC+DC.
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