人教版八年级上册数学期末试题(2)
【考点】角平分线的性质;等腰直角三角形.
【分析】由∠C=90°，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，利用角平分线定理得到DC=DE，再利用HL证明三角形ACD与三角形AED全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，又AC=BC，可得BC=AE，然后由三角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC，由CD+DB=BC进行变形，再将BC换为AE，由AE+EB=AB，可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB的长可得出周长.
【解答】解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，
又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，
∴CD=ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，又AC=BC，
∴AC=AE=BC，又AB=6cm，
∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm.
故选A.
8.化简 的结果是( )
A.x+1 B.x﹣1 C.﹣x D.x
【考点】分式的加减法.
【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分.
【解答】解： = ﹣
=
=
=x，
故选：D.
9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间.
【解答】解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产(x+50)台.
依题意得： = .
故选：A.
10.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR;②QP∥AR;③△BPR≌△QSP中( )
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】判定线段相等的方法可以由全等三角形对应边相等得出;判定两条直线平行，可以由“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”得出;判定全等三角形可以由SSS、SAS、ASA、AAS或HL得出.
【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP
∴△ARP≌△ASP(HL)
∴AS=AR，∠RAP=∠SAP
∵AQ=PQ
∴∠QPA=∠SAP
∴∠RAP=∠QPA
∴QP∥AR
而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP
故本题仅①和②正确.
故选B.
二、填空题(每小题4分，共16分)
11.分解因式：ax4﹣9ay2= a(x2﹣3y)(x2+3y) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可.
【解答】解：ax4﹣9ay2=a(x4﹣9y2)=a(x2﹣3y)(x2+3y).
故答案为：a(x2﹣3y)(x2+3y).
12.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 45 (度).
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y.然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90°﹣y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小.
【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y.
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y.
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+(90°﹣y)+(x+y)=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°.
故答案为：45.
13.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 ①②③ .(将你认为正确的结论的序号都填上)
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确.
【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确;
∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，
∴ACN≌△ABM，即结论③正确;
∵∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC，∠2=∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1=∠2，即结论①正确;
∴△AEM≌△AFN，
∴AM=AN，∴CM=BN，
∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，
∴题中正确的结论应该是①②③.
故答案为：①②③.
14.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为 18 cm.
【考点】轴对称的性质.
【分析】根据对称轴的意义，可以求出PM=CM，ND=NP，CD=18cm，可以求出△PMN的周长.
【解答】解：∵点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
∴PM=CM，ND=NP，
∵△PMN的周长=PN+PM+MN，PN+PM+MN=CD=18cm，
∴△PMN的周长=18cm.
三、解答题(共74分)
15.分解因式：(x﹣1)(x﹣3)+1.
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】首先利用多项式乘法计算出(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3，再加上1后变形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式进行分解即可.
【解答】解：原式=x2﹣4x+3+1，
=x2﹣4x+4，
=(x﹣2)2.
16.解方程： = .
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解.
17.先化简，再求值：( ﹣ )÷ ，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x=1代入计算即可求出值.
【解答】解：原式= • =2x+8，
当x=1时，原式=2+8=10.
18.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数.
【考点】平行线的性质.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答.
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°.
19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2.
【考点】作图-轴对称变换;作图-平移变换.
【分析】(1)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案.
【解答】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求;
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求.
20.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.
求证：AB=BF.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC，则AB=BF.
【解答】证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，
，
∴△FBD≌△ABC(AAS)，
∴AB=BF.
21.从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度.
【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案;
(2)设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可;
【解答】解：(1)根据题意得：
400×1.3=520(千米)，
答：普通列车的行驶路程是520千米;
(2)设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：
﹣ =3，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，
答：高铁的平均速度是300千米/时.
22.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法);
(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).
【考点】作图—基本作图;平行线的判定.
【分析】(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可;
(2)根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A= ∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论.
【解答】解：(1)如图所示：
(2)DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A= ∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC.
23.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
(1)求证：BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF;
(2)再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF.
【解答】解：(1)∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF.
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF.
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